Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính > Máy tính Vector
 

Máy tính Vector

Máy tính vector trực tuyến miễn phí với lời giải từng bước. Tính tích vô hướng, tích có hướng, độ dài, vector đơn vị, góc giữa các vector, hình chiếu và nhiều hơn nữa với hình ảnh minh họa 3D tương tác.

Máy tính Vector
Ví dụ nhanh
1 Nhập các Vector
Các thành phần cách nhau bằng dấu phẩy
Yêu cầu cho phép toán hai vector
2 Chọn phép toán

Embed Máy tính Vector Widget

Giới thiệu về Máy tính Vector

Chào mừng bạn đến với Máy tính vector của chúng tôi, một công cụ toàn diện để thực hiện các phép toán vector với lời giải chi tiết từng bước. Cho dù bạn là sinh viên đang học đại số tuyến tính, kỹ sư đang làm việc với lực và vận tốc, hay bất kỳ ai cần tính toán toán học vector, máy tính này đều cung cấp kết quả chính xác cùng giải thích rõ ràng.

Vector là gì?

Một vector là một đối tượng toán học có cả độ lớn (độ dài) và hướng. Các vector thường được biểu diễn dưới dạng danh sách các số có thứ tự được gọi là các thành phần. Ví dụ, một vector 3D có thể được viết là [3, 4, 5] đại diện cho sự di chuyển 3 đơn vị dọc theo trục x, 4 đơn vị dọc theo trục y và 5 đơn vị dọc theo trục z.

Vector là nền tảng trong vật lý (biểu diễn lực, vận tốc, gia tốc), đồ họa máy tính (biến đổi 3D, chiếu sáng), học máy (vector đặc trưng, nhúng) và nhiều lĩnh vực khác.

Các phép toán Vector được hỗ trợ

Độ lớn (Độ dài)

Độ lớn của một vector, còn được gọi là độ dài hoặc chuẩn của nó, đo lường độ dài của vector đó. Đối với vector A = [a, b, c]:

Công thức tính độ lớn
$$||A|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Vector đơn vị

Một vector đơn vị có độ lớn bằng 1 và cùng hướng với vector ban đầu. Nó được tính bằng cách chia mỗi thành phần cho độ lớn của nó:

Công thức Vector đơn vị
$$\hat{A} = \frac{A}{||A||}$$

Tích vô hướng (Scalar Product)

Tích vô hướng của hai vector tạo ra một đại lượng vô hướng (một số đơn lẻ). Nó đo lường mức độ một vector đi theo hướng của vector kia:

Công thức tích vô hướng
$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos(\theta)$$

Tính chất chính: Nếu tích vô hướng bằng không, các vector vuông góc với nhau. Giá trị dương nghĩa là chúng cùng hướng; giá trị âm nghĩa là ngược hướng.

Tích có hướng (Vector Product)

Tích có hướng của hai vector 3D tạo ra một vector mới vuông góc với cả hai đầu vào. Độ lớn của nó bằng diện tích của hình bình hành được tạo bởi các vector đó:

Công thức tích có hướng
$$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Cộng và Trừ Vector

Phép cộng vector kết hợp các vector bằng cách cộng các thành phần tương ứng. Phép trừ tìm ra sự khác biệt:

Cộng/Trừ
$$A + B = [a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3]$$ $$A - B = [a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3]$$

Góc giữa các Vector

Góc giữa hai vector được tìm thấy bằng cách sử dụng mối quan hệ giữa tích vô hướng và độ lớn:

Công thức tính góc
$$\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}\right)$$

Hình chiếu Vector

Hình chiếu của vector A lên vector B cho thành phần của A theo hướng của B:

Công thức hình chiếu
$$\text{proj}_B A = \frac{A \cdot B}{B \cdot B} \cdot B$$

Nhân với vô hướng

Nhân với vô hướng là nhân mỗi thành phần của vector với một số, làm thay đổi kích thước của vector:

Nhân vô hướng
$$k \cdot A = [k \cdot a_1, k \cdot a_2, k \cdot a_3]$$

Bảng tóm tắt các phép toán

Phép toán Yêu cầu đầu vào Loại kết quả Công dụng phổ biến
Độ lớn Một vector Vô hướng Tìm khoảng cách, chuẩn hóa vector
Vector đơn vị Một vector Vector Biểu diễn hướng, chuẩn hóa
Tích vô hướng Hai vector Vô hướng Tính góc, hình chiếu, độ tương đồng
Tích có hướng Hai vector 3D Vector Tìm vector vuông góc, tính diện tích
Phép cộng Hai vector Vector Kết hợp các lực, độ dời
Phép trừ Hai vector Vector Tìm vị trí tương đối, hiệu số
Góc Hai vector Vô hướng (độ) Định hướng, đo lường sự tương đồng
Hình chiếu Hai vector Vector Tính toán bóng đổ, phân tích thành phần
Nhân vô hướng Một vector + số vô hướng Vector Thay đổi kích thước vector

Cách sử dụng máy tính này

  1. Nhập Vector A: Nhập các thành phần của vector đầu tiên, cách nhau bằng dấu phẩy (ví dụ: 3, 4, 0).
  2. Nhập Vector B (nếu cần): Đối với các phép toán hai vector, hãy nhập vector thứ hai.
  3. Chọn phép toán: Chọn phép tính bạn muốn thực hiện từ menu thả xuống.
  4. Đặt độ chính xác: Chọn số chữ số thập phân bạn muốn hiển thị trong kết quả.
  5. Tính toán: Nhấp vào nút để xem kết quả với giải thích từng bước.

Câu hỏi thường gặp

Tích vô hướng là gì?

Tích vô hướng (còn gọi là tích nội) của hai vector A và B là một giá trị vô hướng được tính bằng cách nhân các thành phần tương ứng và cộng các kết quả lại: A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Nó bằng |A||B|cos(θ) với θ là góc giữa hai vector. Tích vô hướng bằng không nghĩa là các vector vuông góc với nhau.

Tích có hướng là gì?

Tích có hướng (còn gọi là tích vector) của hai vector 3D A và B tạo ra một vector mới vuông góc với cả hai vector đầu vào. Nó được tính bằng A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁). Độ lớn |A×B| bằng diện tích của hình bình hành được tạo bởi A và B.

Làm thế nào để tính độ lớn của vector?

Độ lớn vector (độ dài) được tính bằng chuẩn Euclid: |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²) đối với vector 3D. Công thức này mở rộng cho bất kỳ chiều nào bằng cách lấy tổng bình phương của tất cả các thành phần và khai căn bậc hai.

Vector đơn vị là gì?

Vector đơn vị là một vector có độ lớn bằng 1 và cùng hướng với vector ban đầu. Nó được tính bằng cách chia mỗi thành phần cho độ lớn của vector: Â = A/|A|. Vector đơn vị hữu ích để biểu diễn hướng mà không cần độ lớn.

Làm thế nào để tìm góc giữa hai vector?

Góc θ giữa hai vector A và B được tìm bằng công thức tích vô hướng: cos(θ) = (A·B)/(|A||B|). Lấy hàm cosine nghịch đảo (arccos) của giá trị này để có góc tính bằng radian, sau đó chuyển sang độ nếu cần bằng cách nhân với 180/π.

Hình chiếu vector là gì?

Hình chiếu vector của A lên B cho thành phần của A theo hướng của B. Công thức là proj_B(A) = ((A·B)/(B·B)) × B. Hình chiếu vô hướng (thành phần) là (A·B)/|B|. Điều này rất hữu ích trong vật lý để phân tích lực và vận tốc.

Ứng dụng của toán học Vector

Tài nguyên bổ sung

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính Vector" tại https://MiniWebtool.com/vi/máy-tính-vector/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 27 tháng 1, 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Các công cụ liên quan khác:

Chuyển Đổi GócMới
Công cụ chuyển đổi tọa độ Descartes sang CựcMới
Máy Tính Định Thức
Máy tính Giá trị riêng và Vectơ riêng
Máy tính phân sốNổi bật
Máy Tính Ma Trận
Công cụ chuyển đổi tọa độ cực sang tọa độ Đề-cácMới
Máy tính Tỷ lệ
Máy Tính Tam Giác VuôngMới

Đại số Tuyến tính:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiCông cụ đổi Pound sang KilogramTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoMáy tính thương và số dưCông cụ chuyển đổi kg sang lbsMáy tính giảm giá phần trămMáy tính phân số tối giảnCông cụ Mã hóa CaesarParaphraser AICông cụ chuyển đổi chữ số La MãCông cụ đếm hàngTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênMáy tính thập phân sang phân sốTrình Tạo Mã MorseTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênSắp xếp sốXóa dấu cáchĐảo ngược văn bảnMáy tính nhị phânMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốMáy tính ModuloTrình tạo mê cungCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênMáy tính căn bậc haiCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânmáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-caoBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânMáy tính HEXMáy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiCông cụ chuyển đổi kPa sang psiMáy tính phân sốTrình tạo tên ngẫu nhiênMáy tính Cạnh huyềnCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchMáy tính giai thừaBộ chuyển đổi hex sang thập phânTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênBộ chuyển đổi RGB sang HexChuyển đổi Nhị phân sang Bát phânBộ chuyển đổi HEXBộ lặp MP3Bộ chuyển đổi Nhị phân sang HexCông cụ chuyển đổi thập phân sang BCDMáy tính TổngMáy tính So sánh Phân sốCon số may mắn của tôi là gì?📅 Máy tính ngàyGhép VideoSo sánh hai chuỗiĐây có phải là Số Nguyên Tố?Trình nén VideoCông cụ chuyển đổi psi sang kPaTrình chuyển đổi SRT sang TXTCông cụ chuyển đổi centimet sang inchMáy tính One Rep Max (1RM)Sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânMáy Tính Chia Đa ThứcMáy Tính Giờ Làm ViệcMáy tính tương hợp tình yêuMáy tính BSAMáy tính LogaritCông cụ chuyển đổi inch sang centimetMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Trình trích xuất âm thanhBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânCông cụ chia ảnhTrình tạo số xổ sốTrình tạo đồ vật ngẫu nhiênAI Trình thêm dấu câuBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmMáy tính Kiểm tra Chia hếtTrình tạo bài tây ngẫu nhiênBộ chuyển đổi Hex sang RGBBộ chuyển đổi FPSCông cụ tính điểm trung bình GPALịch trăng non và trăng trònMáy tính BitwiseMáy Tính Chu Vi Hình ElipChọn tên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi gam sang poundMáy tính lãi suất tích lũyMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămĐơn giản hóa phân sốMáy tính Ước số chung lớn nhấttra-cứu-địa-chỉ-macBộ chuyển đổi GIF sang MP4Bộ Chuyển Đổi Số Sang ChữCông cụ chuyển đổi bát phân sang thập phânCông cụ tạo faviconMáy tính thời gianBộ Chuyển Đổi Mã Nhị Phân Sang Mã XámDanh sách Dãy số FibonacciMáy tính Hình trònQuay vòng quayTung đồng xuBộ Chia Âm ThanhCông cụ chuyển đổi bát phân sang nhị phânCông cụ chuyển đổi pound sang gamMáy tính năng lượng Chuột HamsterMáy tính Tỷ lệ Lỗi Dịch chuyển Tức thờiMáy tính nấu gà bằng năng lượng động năngMáy tính lực nâng bóng bay HeliMáy tính Thời gian Sống sót ZombieTrình Kiểm Tra Kích Thước Thu Thập GooglebotMáy tính tỷ lệ bãi đỗ xeMáy tính Cây thông NoelMáy Tính Ngày Tận Thế Ma Cà RồngMáy tính giá trị PizzaMáy tính Quầy nước chanhTrình tạo tiểu bang Mỹ ngẫu nhiênTrình tạo lý do ngẫu nhiênTrình tạo hoạt động ngẫu nhiênTrình tạo công thức cocktail ngẫu nhiênCông cụ chọn phim ngẫu nhiênTrình tạo tên miền ngẫu nhiênTrình tạo siêu năng lực ngẫu nhiênTrình tạo Haiku ngẫu nhiênTrình tạo lời nhắc viết ngẫu nhiênTrình tạo IMEI Ngẫu nhiênTrình tạo chân dung người dùng ngẫu nhiênTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênTrình tạo số cổng ngẫu nhiênTrình tạo NanoID ngẫu nhiênTrình tạo PIN ngẫu nhiênMáy tính tuổi thọ pinMáy tính độ rộng đường mạch PCBMáy tính sụt ápMáy tính định luật OhmMáy tính mã màu điện trởTrình tạo chuyển hướng HtaccessCông cụ tối ưu SVGCông cụ tạo biểu thức CrontabTrình định dạng SQLCông cụ chuyển đổi cURL sang JSONBộ giải mã JWTCông cụ chuyển đổi JSON sang YAMLMáy tính Chuyển đổi MenCông cụ chuyển đổi kích thước khuôn bánhMáy tính độ ẩm bột nhàomáy-tính-tỷ-lệ-bánh-mìMáy tính kích thước thêu chữ thậpMáy tính vảiMáy tính sợi lenMáy tính nước muối và độ mặnMáy tính tỷ lệ pha cà phêMáy tính ABV bia thủ côngMáy tính sáp và tinh dầu thơm nếnMáy tính xút làm xà phòng (SAP)Máy tính kích thước in và độ phân giải (DPI/PPI)Máy tính Golden Hour và Blue HourMáy tính độ sâu trường ảnh (DoF)Máy tính xác suất xúc xắcMáy tính khoảng cách trồng câyMáy tính Chuyển đổi Tỷ lệ Mô hìnhMáy tính vật liệu nền bể cáMáy tính thể tích và mật độ cá bểĐổ xúc xắcTrình tạo oẳn tù tìQuả cầu Thần kỳ 8Công cụ tạo địa chỉ IP ngẫu nhiênTrình tạo thời gian ngẫu nhiênTrình tạo ngày ngẫu nhiênCông cụ tạo tọa độ ngẫu nhiênCông cụ tạo User-Agent ngẫu nhiênTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình tạo JSON ngẫu nhiênTrình tạo quốc gia ngẫu nhiênCông cụ tạo bảng màu ngẫu nhiênCông cụ tạo Sự thật hay Thách đốCông cụ tạo Emoji ngẫu nhiênCông cụ tạo bữa ăn ngẫu nhiênTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênCông Cụ Tạo Phân Phối GaussMáy tính Giá trị PipMáy tính Lãi kép Hàng ngàyMáy tính Chiến lược MartingaleMáy tính Tiêu chí KellyMáy tính Stop Loss & Take ProfitMáy tính mở rộng Fibonaccimáy-tính-điểm-xoayMáy tính đòn bẩy tiền điện tửBộ chuyển đổi Satoshi sang Đô laMáy Tính Chênh Lệch Giá Tiền Điện TửMáy tính tổn thất tạm thờiMáy Tính Lợi Nhuận Quyền ChọnMáy Tính Biến Động Ngầm ĐịnhMáy tính Greek Quyền chọnMáy tính Định giá Quyền chọn Black-ScholesMáy tính rủi ro phá sảnMáy tính lợi nhuận bán khốngMáy tính Margin CallMáy Tính Kích Thước Vị Thếmáy tính giá trung bình cổ phiếuCông cụ xóa ký tự vô hìnhCông cụ Chuyển đổi Văn bản sang Danh sách SQLCông cụ trích xuất cột văn bảnMáy tính sự khác biệt danh sáchCông cụ tạo văn bản ZalgoCông cụ tạo nghệ thuật ASCIICông cụ tạo văn bản vô hìnhcông-cụ-tạo-văn-bản-ngược-đầuCông cụ tạo văn bản ZalgoCông Cụ Tạo Chữ ĐẹpTrình đọc văn bản thành giọng nóiCông cụ Chuyển đổi Đọc BionicCông cụ kiểm tra mật độ từ khóaMáy tính điểm dễ đọcTrình tạo Lorem IpsumMáy tính Tiết kiệm Thời gian Hàng ngàyCông Cụ Xóa Dấu Ngoặc Kép Thông MinhTrình tạo bảng MarkdownEscape Unescape Chuỗi JSONTrình Tạo Slug URLCông cụ Mã hóa/Giải mã Thực thể HTMLMáy tính Tìm Giao điểm X và YMáy Tính Đỉnh và Trục Đối XứngMáy tính hợp hàmMáy Tính Hàm NgượcMáy Tính Miền Xác Định và Miền Giá TrịCông cụ vẽ đồ thị hàm sốCông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhCông cụ giải bất phương trình trị tuyệt đốiCông cụ giải bất phương trìnhCông cụ Giải Hệ Phương Trình Tuyến TínhCông cụ giải phương trình căn thứcCông cụ giải phương trình trị tuyệt đốiCông cụ giải phương trình tuyến tínhMáy Tính Phép Chia Tổng HợpMáy Tính Mở Rộng Đa ThứcMáy tính phân tích thừa số đa thứcMáy tính biểu thức hữu tỉCông Cụ Đơn Giản Hóa Căn ThứcCông cụ Đơn giản hóa Biểu thức Đại sốCông cụ vẽ đồ thị hàm lượng giácMáy tính đẳng thức lượng giácCông cụ Trực quan hóa Vòng tròn Đơn vị Tương tácCông cụ chuyển đổi tọa độ Descartes sang CựcCông cụ chuyển đổi tọa độ cực sang tọa độ Đề-cácCông cụ chuyển đổi độ thập phân sang DMSCông cụ chuyển đổi DMS sang độ thập phânMáy tính Định lý CosinMáy tính Định lý SinCông cụ Giải Tam giác Tổng quátMáy Tính Tam Giác VuôngMáy Tính Hàm HyperbolMáy tính Cosec, Sec và CotangMáy tính atan2Máy tính arctanMáy tính Arccos (Cosin Nghịch đảo)Máy tính ArcsinMáy tính Tang chính xác caoMáy tính CosMáy tính SinMáy tính Độ dốc và Cấp 📐Máy tính góc cắt nghiêng 📐Công cụ kiểm tra góc vuông (Quy tắc 3-4-5) 📐Máy tính bảng chânMáy tính sàn thềmMáy tính hàng ràoMáy tính lớp phủ, đất và sỏiMáy tính khung tườngMáy tính mái nhàMáy tính độ dốc mái nhàMáy tính Cầu thangMáy tính Giấy dán tườngMáy tính sàn nhàMáy tính gạchMáy tính sơnMáy tính Gạch và VữaMáy tính bê tôngCông cụ tìm đá sinh nhật và hoa cung hoàng đạoMáy Tính Cung Hoàng Đạo Cây CelticMáy tính tương hợp cung Mặt trăngTrình phân tích tương hợp cung hoàng đạo nâng caoMáy tính Sự trở lại của Sao ThổLịch Sao Thủy Nghịch HànhMáy tính Cân bằng Modality Chiêm tinhMáy Tính Cân Bằng Nguyên Tố Chiêm TinhMáy tính cung sao ThủyMáy tính Cung Sao HỏaMáy tính Cung Sao KimTrình kiểm tra độ mạnh mật khẩuMáy tính phân quyền Unix (chmod)Tạo Cron JobMáy tính căn bậc n độ chính xác caoCông cụ Chuyển đổi Tần số và Bước sóngTrình xác thực XMLĐiều chỉnh tốc độ videoThêm hoặc Thay thế Âm thanh trong VideoThêm hình mờ vào Video