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Q: 内積とは何ですか？

2つのベクトルAとBの内積（スカラー積とも呼ばれる）は、対応する成分を掛け合わせてその結果を合計することによって計算されるスカラー値です：A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。これは |A||B|cos(θ) に等しく、θはベクトル間の角度です。内積がゼロの場合、ベクトルは垂直であることを意味します。

ステップバイステップの解説付きの無料オンラインベクター電卓。内積、外積、大きさ、単位ベクトル、ベクトル間の角度、投影などをインタラクティブな3D可視化機能とともに計算します。

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クイック例

1 ベクトルを入力

ベクトル A

成分をカンマで区切る

ベクトル B

2ベクトル演算に必要

2 演算を選択

演算

精度

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ベクター電卓へようこそ。このツールは、詳細なステップバイステップの解法とともにベクトル演算を実行するための包括的なツールです。線形代数を学んでいる学生、力や速度を扱うエンジニア、あるいはベクトルの数学的計算を必要とするすべての方に、この電卓は明確な解説とともに正確な結果を提供します。

ベクトルとは何ですか？

ベクトルとは、大きさ（長さ）と方向の両方を持つ数学的な対象です。ベクトルは通常、成分と呼ばれる数値の順序付けられたリストとして表されます。例えば、3Dベクトルは [3, 4, 5] と記述され、x軸に沿って3ユニット、y軸に沿って4ユニット、z軸に沿って5ユニットの移動を表します。

ベクトルは、物理学（力、速度、加速度の表現）、コンピュータグラフィックス（3D変換、ライティング）、機械学習（特徴ベクトル、埋め込み）、その他多くの分野で不可欠なものです。

サポートされているベクトル演算

大きさ（長さ）

ベクトルの大きさ（長さやノルムとも呼ばれる）は、ベクトルの長さを測定します。ベクトル A = [a, b, c] の場合：

大きさの公式

$$||A|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

単位ベクトル

単位ベクトルは大きさが1で、元のベクトルと同じ方向を指します。各成分を大きさで割ることで計算されます：

単位ベクトルの公式

$$\hat{A} = \frac{A}{||A||}$$

内積（スカラー積）

2つのベクトルの内積はスカラー（単一の数値）を生成します。これは、あるベクトルが別のベクトルの方向にどれだけ進んでいるかを測定します：

内積の公式

$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos(\theta)$$

主な性質：内積がゼロの場合、ベクトルは垂直です。正の場合は同じような方向を向き、負の場合は逆方向を向いていることを意味します。

外積（ベクトル積）

2つの3Dベクトルの外積は、両方の入力に対して垂直な新しいベクトルを生成します。その大きさは、ベクトルによって形成される平行四辺形の面積に等しくなります：

外積の公式

$$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

ベクトルの加算と減算

ベクトルの加算は、対応する成分を加算することでベクトルを結合します。減算は差を求めます：

加算/減算

$$A + B = [a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3]$$ $$A - B = [a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3]$$

ベクトル間の角度

2つのベクトル間の角度は、内積と大きさの関係を使用して求められます：

角度の公式

$$\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}\right)$$

ベクトルの射影

ベクトルAのベクトルBへの射影は、Bの方向におけるAの成分を与えます：

射影の公式

$$\text{proj}_B A = \frac{A \cdot B}{B \cdot B} \cdot B$$

スカラー倍

スカラー倍はベクトルの各成分に数値を掛け、ベクトルをスケーリング（拡大・縮小）します：

スカラー倍

$$k \cdot A = [k \cdot a_1, k \cdot a_2, k \cdot a_3]$$

演算概要表

演算	必要な入力	出力タイプ	主な用途
大きさ	1つのベクトル	スカラー	距離の算出、ベクトルの正規化
単位ベクトル	1つのベクトル	ベクトル	方向の表現、正規化
内積	2つのベクトル	スカラー	角度計算、射影、類似度
外積	2つの3Dベクトル	ベクトル	垂直なベクトルの算出、面積計算
加算	2つのベクトル	ベクトル	力の合成、変位
減算	2つのベクトル	ベクトル	相対位置の算出、差分
角度	2つのベクトル	スカラー (度)	向き、類似度の測定
射影	2つのベクトル	ベクトル	影の計算、成分分解
スカラー倍	1つのベクトル + スカラー	ベクトル	スケーリング、ベクトルのサイズ変更

この電卓の使い方

ベクトルAを入力： 最初のベクトルの成分をカンマで区切って入力します（例：3, 4, 0）。
ベクトルBを入力（必要な場合）： 2つのベクトルを使用する演算の場合、2番目のベクトルを入力します。
演算を選択： ドロップダウンメニューから実行したい計算を選択します。
精度を設定： 結果に表示する小数点以下の桁数を選択します。
計算する： ボタンをクリックすると、ステップバイステップの解説付きで結果が表示されます。

よくある質問

内積とは何ですか？

2つのベクトルAとBの内積（スカラー積または内部積とも呼ばれる）は、対応する成分を掛け合わせてその結果を合計することによって計算されるスカラー値です：A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。これは |A||B|cos(θ) に等しく、θはベクトル間の角度です。内積がゼロの場合、ベクトルは垂直であることを意味します。

外積とは何ですか？

2つの3DベクトルAとBの外積（ベクトル積とも呼ばれる）は、両方の入力ベクトルに対して垂直な新しいベクトルを生成します。これは A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁) を使用して計算されます。大きさ |A×B| は、AとBによって形成される平行四辺形の面積に等しくなります。