Uprość swój przepływ pracy: Wyszukaj miniwebtool.
Dodaj
Strona główna > Matematyka > Algebra Liniowa > Kalkulator wektorowy
 

Kalkulator wektorowy

Darmowy kalkulator wektorowy online z rozwiązaniami krok po kroku. Oblicz iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, długość wektora, wektor jednostkowy, kąt między wektorami, rzutowanie i inne parametry z interaktywną wizualizacją 3D.

Kalkulator wektorowy
Szybkie przykłady
1 Wprowadź wektory
Składowe oddzielone przecinkami
Wymagane dla operacji na dwóch wektorach
2 Wybierz operację

Embed Kalkulator wektorowy Widget

O Kalkulator wektorowy

Witaj w naszym kalkulatorze wektorowym, kompleksowym narzędziu do wykonywania operacji na wektorach z szczegółowymi rozwiązaniami krok po kroku. Niezależnie od tego, czy jesteś studentem uczącym się algebry liniowej, inżynierem pracującym z siłami i prędkościami, czy kimkolwiek, kto potrzebuje obliczeń matematycznych na wektorach, ten kalkulator zapewnia dokładne wyniki z jasnymi wyjaśnieniami.

Co to jest wektor?

Wektor to obiekt matematyczny, który posiada zarówno moduł (długość), jak i kierunek (oraz zwrot). Wektory są zazwyczaj reprezentowane jako uporządkowane listy liczb zwane współrzędnymi. Na przykład wektor 3D może być zapisany jako [3, 4, 5], co reprezentuje przesunięcie o 3 jednostki wzdłuż osi x, 4 jednostki wzdłuż osi y i 5 jednostek wzdłuż osi z.

Wektory są fundamentalne w fizyce (reprezentują siły, prędkości, przyspieszenia), grafice komputerowej (transformacje 3D, oświetlenie), uczeniu maszynowym (wektory cech, embeddingi) i wielu innych dziedzinach.

Obsługiwane operacje wektorowe

Długość (Moduł)

Długość wektora, nazywana również jego modułem lub normą, mierzy jak długi jest wektor. Dla wektora A = [a, b, c]:

Wzór na długość
$$||A|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Wektor jednostkowy

Wektor jednostkowy ma długość 1 i wskazuje ten sam kierunek co wektor oryginalny. Oblicza się go, dzieląc każdą współrzędną przez długość wektora:

Wzór na wektor jednostkowy
$$\hat{A} = \frac{A}{||A||}$$

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny dwóch wektorów daje w wyniku skalar (pojedynczą liczbę). Mierzy on, w jakim stopniu jeden wektor pokrywa się z kierunkiem drugiego:

Wzór na iloczyn skalarny
$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos(\theta)$$

Kluczowe właściwości: Jeśli iloczyn skalarny wynosi zero, wektory są prostopadłe. Wartość dodatnia oznacza, że wektory mają podobne kierunki; ujemna oznacza przeciwne.

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów 3D daje nowy wektor prostopadły do obu wejść. Jego długość jest równa polu powierzchni równoległoboku utworzonego przez te wektory:

Wzór na iloczyn wektorowy
$$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Dodawanie i odejmowanie wektorów

Dodawanie wektorów łączy wektory poprzez dodanie odpowiadających sobie współrzędnych. Odejmowanie znajduje ich różnicę:

Dodawanie/Odejmowanie
$$A + B = [a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3]$$ $$A - B = [a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3]$$

Kąt między wektorami

Kąt między dwoma wektorami znajduje się przy użyciu zależności między iloczynem skalarnym a długościami wektorów:

Wzór na kąt
$$\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}\right)$$

Rzut wektora

Rzut wektora A na wektor B daje składową wektora A w kierunku wektora B:

Wzór na rzut
$$\text{proj}_B A = \frac{A \cdot B}{B \cdot B} \cdot B$$

Mnożenie przez skalar

Mnożenie przez skalar polega na pomnożeniu każdej współrzędnej wektora przez liczbę, co zmienia jego skalę:

Mnożenie przez skalar
$$k \cdot A = [k \cdot a_1, k \cdot a_2, k \cdot a_3]$$

Tabela podsumowująca operacje

Operacja Wymagane wejście Typ wyniku Typowe zastosowania
Długość Jeden wektor Skalar Znajdowanie odległości, normalizacja wektorów
Wektor jednostkowy Jeden wektor Wektor Reprezentacja kierunku, normalizacja
Iloczyn skalarny Dwa wektory Skalar Obliczanie kąta, rzutowanie, podobieństwo
Iloczyn wektorowy Dwa wektory 3D Wektor Znajdowanie wektorów prostopadłych, obliczanie pola
Dodawanie Dwa wektory Wektor Sumowanie sił, przesunięcie
Odejmowanie Dwa wektory Wektor Znajdowanie pozycji względnej, różnica
Kąt Dwa wektory Skalar (stopnie) Orientacja, pomiar podobieństwa
Rzut Dwa wektory Wektor Obliczenia cieni, rozkład składowych
Mnożenie przez skalar Wektor + skalar Wektor Skalowanie, zmiana rozmiaru wektorów

Jak korzystać z tego kalkulatora

  1. Wprowadź Wektor A: Wpisz współrzędne pierwszego wektora, oddzielając je przecinkami (np. 3, 4, 0).
  2. Wprowadź Wektor B (jeśli potrzebny): Dla operacji na dwóch wektorach, wprowadź drugi wektor.
  3. Wybierz operację: Wybierz obliczenie, które chcesz wykonać z menu rozwijanego.
  4. Ustaw precyzję: Wybierz liczbę miejsc po przecinku w wynikach.
  5. Oblicz: Kliknij przycisk, aby zobaczyć wyniki wraz z wyjaśnieniami krok po kroku.

Często zadawane pytania

Co to jest iloczyn skalarny?

Iloczyn skalarny dwóch wektorów A i B to wartość skalarna obliczana przez pomnożenie odpowiadających sobie współrzędnych i zsumowanie wyników: A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Jest on równy |A||B|cos(θ), gdzie θ jest kątem między wektorami. Iloczyn skalarny równy zero oznacza, że wektory są prostopadłe.

Co to jest iloczyn wektorowy?

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów 3D A i B daje nowy wektor prostopadły do obu wektorów wejściowych. Oblicza się go za pomocą wzoru A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁). Długość |A×B| jest równa polu powierzchni równoległoboku utworzonego przez wektory A i B.

Jak obliczyć długość wektora?

Długość wektora (moduł) oblicza się za pomocą normy euklidesowej: |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²) dla wektora 3D. Wzór ten rozszerza się na dowolny wymiar poprzez sumowanie kwadratów wszystkich współrzędnych i wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego.

Co to jest wektor jednostkowy?

Wektor jednostkowy to wektor o długości 1, który ma ten sam kierunek i zwrot co wektor oryginalny. Oblicza się go, dzieląc każdą współrzędną przez długość wektora: Â = A/|A|. Wektory jednostkowe są przydatne do reprezentowania kierunków bez uwzględniania ich wielkości.

Jak znaleźć kąt między dwoma wektorami?

Kąt θ między wektorami A i B znajduje się za pomocą wzoru na iloczyn skalarny: cos(θ) = (A·B)/(|A||B|). Oblicz arcus cosinus (arccos) tej wartości, aby uzyskać kąt w radianach, a następnie przelicz na stopnie, mnożąc przez 180/π.

Co to jest rzut wektora?

Rzut wektora A na wektor B daje składową wektora A w kierunku wektora B. Wzór to proj_B(A) = ((A·B)/(B·B)) × B. Rzut skalarny (składowa) to (A·B)/|B|. Jest to przydatne w fizyce do rozkładania sił i prędkości.

Zastosowania matematyki wektorowej

Dodatkowe zasoby

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator wektorowy" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-wektorowy/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Aktualizacja: 27 stycznia 2026

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Inne powiązane narzędzia:

Kalkulator Odległości 3DNowy
Rozwiązywacz Równań Wartości Bezwzględnej
Rozwiązywacz nierówności wartości bezwzględnej
Solver Zadań o WiekuNowy
Konwerter katow
Konwerter współrzędnych kartezjańskich na biegunowe
Kalkulator Mnożenia KrzyżowegoNowy
Kalkulator Iloczynu WektorowegoNowy
Kalkulator Iloczynu SkalarnegoNowy
Kalkulator wartości własnych i wektorów własnychPolecane

Algebra Liniowa:

Polecane narzędzia:

Kalkulator Kompatybilności MiłosnejKalkulator Znaku WenusGenerator Prawda czy WyzwanieKalkulator znaków słońca, księżyca i ascendentu 🌞🌙✨Kalkulator kompatybilności znaków KsiężycaRozdzielacz obrazówLosowy Generator GrupLosowanie listyLosowy generator przedmiotówLosowy Generator Drabinki TurniejowejKalkulator prędkości jazdy na rowerzewyszukiwanie-adresu-MACKalkulator numerów aniołaPrzelicznik stóp na metryGenerator losowych kart kredytowychMagiczna Kula 8Kalkulator Liczby ImieniaLosowy selektor filmówGenerator Losowych PosiłkówGenerator wykreślanekSortować alfabetycznieRozdzielacz AudioStatystyki Kanału YouTubeKalkulator Obwodu ElipsyKalkulator przedawkowania kofeinyLosowy generator zwierzątGenerator losowych słów angielskichKalkulator Dnia Roku - Który Dzień Roku Jest Dzisiaj?Generator krzyżówekGenerator kodu Morse'aCyfrowy Kalkulator DuszyKonwerter ułamkowy czasuKalkulator nachylenia i stopniaLosowy Generator KolorówKonwerter Radianów na StopnieKalkulator PrzeciwprostokątnejGenerator Kart BingoLicznik SylabGenerator losowych dat⏱️ Kalkulator GodzinKalkulator podwójnych całekLosowy Selektor NazwKonwerter szesnastkowy na dziesiętnyGenerator szablonu rozwinięcia stożkaKalkulator testu chi-kwadratKalkulator pochodnych cząstkowychKalkulator znaku księżycowegoKalkulator rozmiaru wydruku i rozdzielczości (DPI/PPI)Kalkulator inflacji w USAKalkulator Zmiany ProcentowejGenerator losowej godzinyKalkulator dziennego procentu składanegoJaki jest mój szczęśliwy numer?Kalkulator Trójkąta ProstokątnegoLosowanie komentarzy YouTubeDekoder Alfabetu Morse'aKalkulator ilości cyfrKalkulator arcus tangensa🔍 Sprawdzacz PlagiatuKonwerter stóp i cali na centymetryKonwerter liczb rzymskichWalidator XMLKalkulator decybeli (dB)Kalkulator tempa pływaniaKalkulator średniej arytmetycznejDetektor treści AIGenerator anagramówGenerator numerów loteriiSortuj LiczbyGenerator losowych ciągówKalkulator Czasu TrwaniaKalkulator liczby ścieżek życiaKalkulator Numerów MistrzowskichKalkulator Regresji LiniowejRzut monetąKalkulator schodówKalkulator zarobków YouTubePrzelicznik cm na stopy i caleWyszukiwanie IDentyfikatora użytkownika InstagramGenerator Losowych UrodzinKonwerter HEX na CMYKKonwerter Czasu na DziesiętnyGenerator Małego Tekstu ⁽ᶜᵒᵖʸ ⁿ ᵖᵃˢᵗᵉ⁾Kalkulator Długości ŁukuGenerator losowych krajówKalkulator HexKalkulator liczb zespolonychPrzelicznik kg na funtyLosowy Generator LiterKonwerter binarny na dziesiętnyKonwerter Rozmiarów UbrańLosowanie liczbKalkulator dnia tygodniaPierwsze n cyfr PiPredyktor wagi szczeniakaLooper MP3Generator LabiryntówGenerator losowych supermocyKalkulator ciąży u psaKalkulator wiekuKonwerter HTML na tekstKalendarz retrogradacji MerkuregoPrzesunięcie czasu SRTLista Lat PrzestępnychNarzędzie do liczenia wierszyEkstraktor Obrazów z Wideokalkulator-hba1cKalkulator pozycji słońcaOdwrotny TekstNazwij generator losowyKalkulator konwersji skali modeluKalkulator Znaku MarsaSolver Tablicy Karnaugha (K-Map)Zaawansowany analizator kompatybilności znaków zodiakuGenerator Losowych Zadań MatematycznychKalkulator pochodnychKalkulator Temperatury WrzeniaNarzędzie do Szyfru CezaraSelektor liczb losowychGenerator kodów kreskowychKalkulator Powrotu SaturnaKalkulator ZaokrąglaniaRozwiązywacz Układu Równań NieliniowychGenerator połącz kropkiHumanizator tekstu AIKalkulator Numeru PrzeznaczeniaKalkulator odwrotnej transformaty Laplace'aKalkulator KwartyliLosuj liczbyGenerator HasłaKalkulator budowy ciałaKalkulator celtyckiego zodiaku drzewaKalkulator Rozkładu NormalnegoKalkulator Wspolczynnika KorelacjiKalkulator testów podzielnościGenerator losowych wymówekKalkulator Zarobków na TikTokuKonwerter rozmiarów butówKalkulator dnia tygodnia urodzeniaKalkulator Momentu BezwładnościKalkulator Obciążenia BelkiKalkulator Rozkładu PoissonaPrzelicznik Metrów na StopySprawdzacz Nazwy Użytkownika w Mediach SpołecznościowychEkstraktor AudioGenerator losowych emojiKalkulator kołowyKalkulator TransformatoraKalkulator Wymiany CiepłaKonwerter Stopni Dziesiętnych na DMSKonwerter szesnastkowy na binarnyRzut kostkąWyszukiwanie identyfikatora użytkownika FacebookaGenerator losowych współrzędnychKalkulator sumy kontrolnej CRC32Kalkulator ułamka zwykłego na dziesiętnyKalkulator Współczynnika DyskontowegoGenerator Losowych Tematów DebatyKalkulator notacji naukowejKalkulator NumerologiiKonwerter HexadecymalnyUniksowy Konwerter CzasuKalkulator czasu chłodzenia piwaKalkulator kwadratowyKalkulator Monetyzacji YouTube ShortsKalkulator wartości własnych i wektorów własnychKalkulator średniej ocen GPAObróć WideoPołącz filmySymulator Bramek LogicznychUsuń puste linieGenerator Liczb LosowychGenerator losowych kart do gryKalkulator CałekKalkulator percentyla wzrostuKalkulator prawdopodobieństwaKalkulator Równania Sześciennego👙 Kalkulator Rozmiaru BiustonoszaKalkulator Równowagi Żywiołów AstrologicznychKalkulator Ściętego StożkaKalkulator sinusaKalkulator Względnego Odchylenia StandardowegoKalkulator ZbrojeniaKompresor WideoKonwerter binarny na szesnastkowyKonwerter adresu IP na binarneSymulator Liczydła SorobanUsuń dźwięk z wideoKalkulator Logarytmu o Podstawie 10Kalkulator Mnożenia KrzyżowegoKalkulator Pierwiastka PierwotnegoKalkulator Prawa CosinusówKalkulator rozkładu dwumianowegoKalkulator spalonych kaloriiKalkulator włóczkiKonwerter dziesiętny na szesnastkowyKonwerter rozmiaru plikuLosowy selektor wierszyKonwerter funtów na kilogramyPrzelicznik liczby mieszanej na ułamekKalkulator Krzywej UczeniaPlaner Powtórek Interwałowych FiszekKalkulator Mieszania Kolorów FarbKalkulator Fugi do PłytekOptymalizator Załadunku ZmywarkiKalkulator Dawkowania Detergentu do PraniaKalkulator Mieszania Farby do WłosówKalkulator Kosztów DrukuPorównanie Kosztów Gaz vs PrądKalkulator napiwku z karty podarunkowejKalkulator Liczby Kartonów do PrzeprowadzkiKalkulator Wielkości Boksu MagazynowegoKalkulator Szafy KapsułowejKalkulator Długości PasaKalkulator siły siłownika hydraulicznegoKalkulator Systemu BloczkówKalkulator przełożenia mechanicznyKalkulator Ciepła WłaściwegoKalkulator Rozszerzalności CieplnejKalkulator Równania BernoulliegoKalkulator Liczby ReynoldsaKalkulator Czasu PływówKalkulator Widoczności GwiazdNarzędzie Referencyjne Wiązania WęzłówPrzewodnik Po Klasyfikacji Temperatury ŚpiworaKalkulator Rozmiaru Podłogi pod NamiotKalkulator Wagi Jedzenia na BackpackingKalkulator tempa wędrówki (Reguła Naismitha)Kalkulator Długości Nici do HaftuKalkulator objętości odlewów z żywicyKalkulator wzorów koralikówKalkulator skurczu gliny garncarskiejKalkulator rozmiaru papieru do origamiKalkulator Lamówki do PikowaniaKalkulator Muliny do Haftu KrzyżykowegoKalkulator Wzorów DziewiarskichKonwerter Rozmiarów Drutów do RobótekKonwerter Rozmiarów SzydełekKalkulator siana dla koniWyszukiwarka rozmiaru transportera podróżnego dla zwierzątKalkulator UVB do Terrarium dla GadówKalkulator Rozmiaru Klatki dla PtakówKalkulator Mocy Grzałki AkwariowejKalkulator kuwet dla kotaKalkulator Zasięgu Świateł ReflektorówKalkulator Stopnia Sprężania SilnikaKalkulator Zużycia Bieżnika OponyKalkulator Nacisku na Dyszel PrzyczepyKalkulator Rozkładu Masy PojazduKalkulator Podziału Kosztów PodróżyKalkulator Drogi HamowaniaKalkulator Odszkodowań PracowniczychKalkulator podziału spadku i majątkuWyszukiwarka Klas Znaków TowarowychKalkulator opłat za zgłoszenie patentoweWeryfikator Nexusu Podatku od SprzedażyKalkulator Skrócenia KaryKalkulator przedawnieniaOptymalizator Cen AirbnbKalkulator Podziału Czynszu dla WspółlokatorówKalkulator Czynszu Section 8Kalkulator Metody BRRRRKalkulator Zwrotu Cash-on-CashKalkulator Rentowności NajmuKalkulator Wymiany 1031Wizualizator Wzrostu MajątkuKalkulator Kosztów LunchuKalkulator Kosztów Siłownia vs Trening w DomuKalkulator Kosztów KawyKalkulator Oszczędności Pracy ZdalnejKalkulator ROI Dodatkowej PracyŚledzenie Kosztów SubskrypcjiKalkulator Cen SaaSKalkulator Wyceny Projektów FreelancePrzewodnik doboru drewna do wędzeniaKalkulator Czasu FermentacjiKalkulator Czasu MarynowaniaFiltr przepisów według ograniczeń dietetycznychWyszukiwarka Zamienników PrzyprawTracker okresu półtrwania kofeinyKalkulator Standardowych DrinkówDoradca Doboru WinaKonwerter Skali WspinaczkowejKalkulator Przełożenia RoweruKalkulator Wytrzymałości Węzłów WędkarskichMinutnik Pozycji JogiKalkulator SWOLF PływanieKalkulator Przewidywania Czasu BieguKalkulator Siły Ciosu BokserskiegoKalkulator Punktów RugbyKalkulator Run Rate w KrykiecieKalkulator xG (Oczekiwane Gole) w Piłce NożnejLicznik Punktów w TenisieKalkulator Skali Wellsa (DVT/PE)Kalkulator Skali Śpiączki GlasgowKalkulator Punktacji APGARKalkulator FFMIKalkulator Biegu 12-Minutowego CooperaKalkulator Testu Marszu na Jedną Milę (Rockport)Kalkulator Masy Beztłuszczowej do SiłyKalkulator stosunku węglowodanów do insulinyKalkulator Współczynnika Wrażliwości na InsulinęKonwerter Kalendarza HebrajskiegoKonwerter Kalendarza HidżriKonwerter Kalendarza KsiężycowegoKalkulator Wieku KulturowegoKalkulator Jak Dawno TemuKalkulator Ile Zostało DoGenerator Wzorca DatKalkulator Daty ŚrodkowejDodaj Dni Robocze do DatyKalkulator Dni RoboczychAnalizator Częstotliwości SłówAnalizator Wariancji Długości ZdańEdytor Czytelności w Stylu HemingwayaKonwerter Wymowy IPANarzędzie Szyfru Vigenère’aNarzędzie Szyfru AtbashKoder i Dekoder ROT13Przeglądarka i Usuwacz Danych EXIFTłumacz Pig LatinGenerator BackronimówGenerator AkronimówSprawdzanie PangramówSprawdzacz LipogramuTracer Obrazu do SVGKonwerter obrazu na sztukę ASCIIGenerator Schematu JSONPlayground TypeScriptKompilator Less do CSSKompilator SCSS do CSSKonwerter SVG na React/JSXGenerator Ciągów ZapytaniaParser URLWalidator i dekoder UUIDReferencja Kodów Stanu HTTPGenerator Poleceń cURLGenerator Trójkąta SierpińskiegoKreślarka Powierzchni 3DPloter Równań BiegunowychGenerator Zbioru JuliiEksplorator Zbioru MandelbrotaGenerator Fraktali L-SystemGenerator triangulacji DelaunayaGenerator Diagramów WoronojaGenerator SpirografuGenerator TeselacjiKalkulator Zdolności Procesu Six SigmaGenerator Diagramów ParetoKalkulator NPS (Net Promoter Score)Kalkulator wskaźnika retencji kohortowejKalkulator Wskaźnika RezygnacjiKalkulator Kosztu Pozyskania Klienta (CAC)Kalkulator Wartości Życiowej Klienta (CLV)Kalkulator Współczynnika KonwersjiKalkulator Wielkości Próby Testu A/BKalkulator Istotności Testu A/BKalkulator Równania SoczewkiKalkulator Pola Magnetycznego PrzewoduKalkulator Pola ElektrycznegoKalkulator Prawa CoulombaKalkulator Prawa SnellaKalkulator Prędkości KątowejKalkulator siły dośrodkowejKalkulator Okresu WahadłaKalkulator Stałej SprężynyKalkulator Efektu DoppleraKalkulator Wskaźnika SortinoKalkulator Wskaźnika TreynoraKalkulator Beta AkcjiKalkulator Obligacji Skarbowych Chronionych przed Inflacją (TIPS)Kalkulator Rekalkulacji HipotekiKalkulator Stopy ForwardKalkulator Duracji Obligacji (Macaulay i Zmodyfikowana)Kalkulator Wypukłości ObligacjiKalkulator Stałej Renty IndeksowanejKalkulator Renty ZmiennejKalkulator Odwróconej HipotekiKalkulator Wypłat RentyMnożenie Rosyjskich ChłopówKalkulator Trików Matematyki WedyjskiejKalkulator Egipskiego MnożeniaKalkulator Matematyczny Liczb RzymskichTrener Liczenia w PamięciQuiz Tabliczki MnożeniaWizualizator Przeniesień i PożyczekGenerator Rozkładu LiczbRozwiązywacz Zadań z MonetamiKalkulator Trójkąta Droga-Prędkość-CzasSolver Zadań o Tempie PracySolver Zadań MieszankowychSolver Zadań o WiekuSolver zadań o spotkaniu pociągówKalkulator NawodnieniaKalkulator Tempa na KalorieKalkulator Dawki LekuKalkulator Kalorii AlkoholuKalkulator Rekompozycji CiałaGenerator Losowych Imion dla Kotów i PsówPobieracz Miniatur YouTubeLosowy Generator Postaci RPG