Kalkulator wektorowy

Darmowy kalkulator wektorowy online z rozwiązaniami krok po kroku. Oblicz iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, długość wektora, wektor jednostkowy, kąt między wektorami, rzutowanie i inne parametry z interaktywną wizualizacją 3D.

Szybkie przykłady

1 Wprowadź wektory

Wektor A

Składowe oddzielone przecinkami

Wektor B

Wymagane dla operacji na dwóch wektorach

2 Wybierz operację

Operacja

Precyzja

Embed Kalkulator wektorowy Widget

O Kalkulator wektorowy

Witaj w naszym kalkulatorze wektorowym, kompleksowym narzędziu do wykonywania operacji na wektorach z szczegółowymi rozwiązaniami krok po kroku. Niezależnie od tego, czy jesteś studentem uczącym się algebry liniowej, inżynierem pracującym z siłami i prędkościami, czy kimkolwiek, kto potrzebuje obliczeń matematycznych na wektorach, ten kalkulator zapewnia dokładne wyniki z jasnymi wyjaśnieniami.

Co to jest wektor?

Wektor to obiekt matematyczny, który posiada zarówno moduł (długość), jak i kierunek (oraz zwrot). Wektory są zazwyczaj reprezentowane jako uporządkowane listy liczb zwane współrzędnymi. Na przykład wektor 3D może być zapisany jako [3, 4, 5], co reprezentuje przesunięcie o 3 jednostki wzdłuż osi x, 4 jednostki wzdłuż osi y i 5 jednostek wzdłuż osi z.

Wektory są fundamentalne w fizyce (reprezentują siły, prędkości, przyspieszenia), grafice komputerowej (transformacje 3D, oświetlenie), uczeniu maszynowym (wektory cech, embeddingi) i wielu innych dziedzinach.

Obsługiwane operacje wektorowe

Długość (Moduł)

Długość wektora, nazywana również jego modułem lub normą, mierzy jak długi jest wektor. Dla wektora A = [a, b, c]:

Wzór na długość

$$||A|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Wektor jednostkowy

Wektor jednostkowy ma długość 1 i wskazuje ten sam kierunek co wektor oryginalny. Oblicza się go, dzieląc każdą współrzędną przez długość wektora:

Wzór na wektor jednostkowy

$$\hat{A} = \frac{A}{||A||}$$

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny dwóch wektorów daje w wyniku skalar (pojedynczą liczbę). Mierzy on, w jakim stopniu jeden wektor pokrywa się z kierunkiem drugiego:

Wzór na iloczyn skalarny

$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos(\theta)$$

Kluczowe właściwości: Jeśli iloczyn skalarny wynosi zero, wektory są prostopadłe. Wartość dodatnia oznacza, że wektory mają podobne kierunki; ujemna oznacza przeciwne.

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów 3D daje nowy wektor prostopadły do obu wejść. Jego długość jest równa polu powierzchni równoległoboku utworzonego przez te wektory:

Wzór na iloczyn wektorowy

$$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Dodawanie i odejmowanie wektorów

Dodawanie wektorów łączy wektory poprzez dodanie odpowiadających sobie współrzędnych. Odejmowanie znajduje ich różnicę:

Dodawanie/Odejmowanie

$$A + B = [a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3]$$ $$A - B = [a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3]$$

Kąt między wektorami

Kąt między dwoma wektorami znajduje się przy użyciu zależności między iloczynem skalarnym a długościami wektorów:

Wzór na kąt

$$\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}\right)$$

Rzut wektora

Rzut wektora A na wektor B daje składową wektora A w kierunku wektora B:

Wzór na rzut

$$\text{proj}_B A = \frac{A \cdot B}{B \cdot B} \cdot B$$

Mnożenie przez skalar

Mnożenie przez skalar polega na pomnożeniu każdej współrzędnej wektora przez liczbę, co zmienia jego skalę:

Mnożenie przez skalar

$$k \cdot A = [k \cdot a_1, k \cdot a_2, k \cdot a_3]$$

Tabela podsumowująca operacje

Operacja	Wymagane wejście	Typ wyniku	Typowe zastosowania
Długość	Jeden wektor	Skalar	Znajdowanie odległości, normalizacja wektorów
Wektor jednostkowy	Jeden wektor	Wektor	Reprezentacja kierunku, normalizacja
Iloczyn skalarny	Dwa wektory	Skalar	Obliczanie kąta, rzutowanie, podobieństwo
Iloczyn wektorowy	Dwa wektory 3D	Wektor	Znajdowanie wektorów prostopadłych, obliczanie pola
Dodawanie	Dwa wektory	Wektor	Sumowanie sił, przesunięcie
Odejmowanie	Dwa wektory	Wektor	Znajdowanie pozycji względnej, różnica
Kąt	Dwa wektory	Skalar (stopnie)	Orientacja, pomiar podobieństwa
Rzut	Dwa wektory	Wektor	Obliczenia cieni, rozkład składowych
Mnożenie przez skalar	Wektor + skalar	Wektor	Skalowanie, zmiana rozmiaru wektorów

Jak korzystać z tego kalkulatora

Wprowadź Wektor A: Wpisz współrzędne pierwszego wektora, oddzielając je przecinkami (np. 3, 4, 0).
Wprowadź Wektor B (jeśli potrzebny): Dla operacji na dwóch wektorach, wprowadź drugi wektor.
Wybierz operację: Wybierz obliczenie, które chcesz wykonać z menu rozwijanego.
Ustaw precyzję: Wybierz liczbę miejsc po przecinku w wynikach.
Oblicz: Kliknij przycisk, aby zobaczyć wyniki wraz z wyjaśnieniami krok po kroku.

Często zadawane pytania

Co to jest iloczyn skalarny?

Iloczyn skalarny dwóch wektorów A i B to wartość skalarna obliczana przez pomnożenie odpowiadających sobie współrzędnych i zsumowanie wyników: A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Jest on równy |A||B|cos(θ), gdzie θ jest kątem między wektorami. Iloczyn skalarny równy zero oznacza, że wektory są prostopadłe.

Co to jest iloczyn wektorowy?

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów 3D A i B daje nowy wektor prostopadły do obu wektorów wejściowych. Oblicza się go za pomocą wzoru A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁). Długość |A×B| jest równa polu powierzchni równoległoboku utworzonego przez wektory A i B.

Jak obliczyć długość wektora?

Długość wektora (moduł) oblicza się za pomocą normy euklidesowej: |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²) dla wektora 3D. Wzór ten rozszerza się na dowolny wymiar poprzez sumowanie kwadratów wszystkich współrzędnych i wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego.

Co to jest wektor jednostkowy?

Wektor jednostkowy to wektor o długości 1, który ma ten sam kierunek i zwrot co wektor oryginalny. Oblicza się go, dzieląc każdą współrzędną przez długość wektora: Â = A/|A|. Wektory jednostkowe są przydatne do reprezentowania kierunków bez uwzględniania ich wielkości.

Jak znaleźć kąt między dwoma wektorami?

Kąt θ między wektorami A i B znajduje się za pomocą wzoru na iloczyn skalarny: cos(θ) = (A·B)/(|A||B|). Oblicz arcus cosinus (arccos) tej wartości, aby uzyskać kąt w radianach, a następnie przelicz na stopnie, mnożąc przez 180/π.

Co to jest rzut wektora?

Rzut wektora A na wektor B daje składową wektora A w kierunku wektora B. Wzór to proj_B(A) = ((A·B)/(B·B)) × B. Rzut skalarny (składowa) to (A·B)/|B|. Jest to przydatne w fizyce do rozkładania sił i prędkości.

Zastosowania matematyki wektorowej

Fizyka: Reprezentowanie sił, prędkości, przyspieszeń, pól elektrycznych i magnetycznych
Grafika komputerowa: Transformacje 3D, obliczenia oświetlenia, ray tracing
Inżynieria: Analiza strukturalna, dynamika płynów, robotyka
Uczenie maszynowe: Wektory cech, embeddingi słów, miary podobieństwa
Tworzenie gier: Ruch postaci, wykrywanie kolizji, symulacja fizyki
Nawigacja: Obliczenia GPS, trasy lotów, routing morski

Dodatkowe zasoby

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator wektorowy" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-wektorowy/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Aktualizacja: 27 stycznia 2026

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Kalkulator wektorowy

O Kalkulator wektorowy

Co to jest wektor?

Obsługiwane operacje wektorowe

Długość (Moduł)

Wektor jednostkowy

Iloczyn skalarny

Iloczyn wektorowy

Dodawanie i odejmowanie wektorów

Kąt między wektorami

Rzut wektora

Mnożenie przez skalar

Tabela podsumowująca operacje

Jak korzystać z tego kalkulatora

Często zadawane pytania

Co to jest iloczyn skalarny?

Co to jest iloczyn wektorowy?

Jak obliczyć długość wektora?

Co to jest wektor jednostkowy?

Jak znaleźć kąt między dwoma wektorami?

Co to jest rzut wektora?

Zastosowania matematyki wektorowej

Dodatkowe zasoby

Algebra Liniowa:

Polecane narzędzia: