Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính > Máy tính Vector
 

Máy tính Vector

Máy tính vector trực tuyến miễn phí với lời giải từng bước. Tính tích vô hướng, tích có hướng, độ dài, vector đơn vị, góc giữa các vector, hình chiếu và nhiều hơn nữa với hình ảnh minh họa 3D tương tác.

Máy tính Vector
Ví dụ nhanh
1 Nhập các Vector
Các thành phần cách nhau bằng dấu phẩy
Yêu cầu cho phép toán hai vector
2 Chọn phép toán

Embed Máy tính Vector Widget

Giới thiệu về Máy tính Vector

Chào mừng bạn đến với Máy tính vector của chúng tôi, một công cụ toàn diện để thực hiện các phép toán vector với lời giải chi tiết từng bước. Cho dù bạn là sinh viên đang học đại số tuyến tính, kỹ sư đang làm việc với lực và vận tốc, hay bất kỳ ai cần tính toán toán học vector, máy tính này đều cung cấp kết quả chính xác cùng giải thích rõ ràng.

Vector là gì?

Một vector là một đối tượng toán học có cả độ lớn (độ dài) và hướng. Các vector thường được biểu diễn dưới dạng danh sách các số có thứ tự được gọi là các thành phần. Ví dụ, một vector 3D có thể được viết là [3, 4, 5] đại diện cho sự di chuyển 3 đơn vị dọc theo trục x, 4 đơn vị dọc theo trục y và 5 đơn vị dọc theo trục z.

Vector là nền tảng trong vật lý (biểu diễn lực, vận tốc, gia tốc), đồ họa máy tính (biến đổi 3D, chiếu sáng), học máy (vector đặc trưng, nhúng) và nhiều lĩnh vực khác.

Các phép toán Vector được hỗ trợ

Độ lớn (Độ dài)

Độ lớn của một vector, còn được gọi là độ dài hoặc chuẩn của nó, đo lường độ dài của vector đó. Đối với vector A = [a, b, c]:

Công thức tính độ lớn
$$||A|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Vector đơn vị

Một vector đơn vị có độ lớn bằng 1 và cùng hướng với vector ban đầu. Nó được tính bằng cách chia mỗi thành phần cho độ lớn của nó:

Công thức Vector đơn vị
$$\hat{A} = \frac{A}{||A||}$$

Tích vô hướng (Scalar Product)

Tích vô hướng của hai vector tạo ra một đại lượng vô hướng (một số đơn lẻ). Nó đo lường mức độ một vector đi theo hướng của vector kia:

Công thức tích vô hướng
$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos(\theta)$$

Tính chất chính: Nếu tích vô hướng bằng không, các vector vuông góc với nhau. Giá trị dương nghĩa là chúng cùng hướng; giá trị âm nghĩa là ngược hướng.

Tích có hướng (Vector Product)

Tích có hướng của hai vector 3D tạo ra một vector mới vuông góc với cả hai đầu vào. Độ lớn của nó bằng diện tích của hình bình hành được tạo bởi các vector đó:

Công thức tích có hướng
$$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Cộng và Trừ Vector

Phép cộng vector kết hợp các vector bằng cách cộng các thành phần tương ứng. Phép trừ tìm ra sự khác biệt:

Cộng/Trừ
$$A + B = [a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3]$$ $$A - B = [a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3]$$

Góc giữa các Vector

Góc giữa hai vector được tìm thấy bằng cách sử dụng mối quan hệ giữa tích vô hướng và độ lớn:

Công thức tính góc
$$\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}\right)$$

Hình chiếu Vector

Hình chiếu của vector A lên vector B cho thành phần của A theo hướng của B:

Công thức hình chiếu
$$\text{proj}_B A = \frac{A \cdot B}{B \cdot B} \cdot B$$

Nhân với vô hướng

Nhân với vô hướng là nhân mỗi thành phần của vector với một số, làm thay đổi kích thước của vector:

Nhân vô hướng
$$k \cdot A = [k \cdot a_1, k \cdot a_2, k \cdot a_3]$$

Bảng tóm tắt các phép toán

Phép toán Yêu cầu đầu vào Loại kết quả Công dụng phổ biến
Độ lớn Một vector Vô hướng Tìm khoảng cách, chuẩn hóa vector
Vector đơn vị Một vector Vector Biểu diễn hướng, chuẩn hóa
Tích vô hướng Hai vector Vô hướng Tính góc, hình chiếu, độ tương đồng
Tích có hướng Hai vector 3D Vector Tìm vector vuông góc, tính diện tích
Phép cộng Hai vector Vector Kết hợp các lực, độ dời
Phép trừ Hai vector Vector Tìm vị trí tương đối, hiệu số
Góc Hai vector Vô hướng (độ) Định hướng, đo lường sự tương đồng
Hình chiếu Hai vector Vector Tính toán bóng đổ, phân tích thành phần
Nhân vô hướng Một vector + số vô hướng Vector Thay đổi kích thước vector

Cách sử dụng máy tính này

  1. Nhập Vector A: Nhập các thành phần của vector đầu tiên, cách nhau bằng dấu phẩy (ví dụ: 3, 4, 0).
  2. Nhập Vector B (nếu cần): Đối với các phép toán hai vector, hãy nhập vector thứ hai.
  3. Chọn phép toán: Chọn phép tính bạn muốn thực hiện từ menu thả xuống.
  4. Đặt độ chính xác: Chọn số chữ số thập phân bạn muốn hiển thị trong kết quả.
  5. Tính toán: Nhấp vào nút để xem kết quả với giải thích từng bước.

Câu hỏi thường gặp

Tích vô hướng là gì?

Tích vô hướng (còn gọi là tích nội) của hai vector A và B là một giá trị vô hướng được tính bằng cách nhân các thành phần tương ứng và cộng các kết quả lại: A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Nó bằng |A||B|cos(θ) với θ là góc giữa hai vector. Tích vô hướng bằng không nghĩa là các vector vuông góc với nhau.

Tích có hướng là gì?

Tích có hướng (còn gọi là tích vector) của hai vector 3D A và B tạo ra một vector mới vuông góc với cả hai vector đầu vào. Nó được tính bằng A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁). Độ lớn |A×B| bằng diện tích của hình bình hành được tạo bởi A và B.

Làm thế nào để tính độ lớn của vector?

Độ lớn vector (độ dài) được tính bằng chuẩn Euclid: |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²) đối với vector 3D. Công thức này mở rộng cho bất kỳ chiều nào bằng cách lấy tổng bình phương của tất cả các thành phần và khai căn bậc hai.

Vector đơn vị là gì?

Vector đơn vị là một vector có độ lớn bằng 1 và cùng hướng với vector ban đầu. Nó được tính bằng cách chia mỗi thành phần cho độ lớn của vector: Â = A/|A|. Vector đơn vị hữu ích để biểu diễn hướng mà không cần độ lớn.

Làm thế nào để tìm góc giữa hai vector?

Góc θ giữa hai vector A và B được tìm bằng công thức tích vô hướng: cos(θ) = (A·B)/(|A||B|). Lấy hàm cosine nghịch đảo (arccos) của giá trị này để có góc tính bằng radian, sau đó chuyển sang độ nếu cần bằng cách nhân với 180/π.

Hình chiếu vector là gì?

Hình chiếu vector của A lên B cho thành phần của A theo hướng của B. Công thức là proj_B(A) = ((A·B)/(B·B)) × B. Hình chiếu vô hướng (thành phần) là (A·B)/|B|. Điều này rất hữu ích trong vật lý để phân tích lực và vận tốc.

Ứng dụng của toán học Vector

Tài nguyên bổ sung

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính Vector" tại https://MiniWebtool.com/vi/máy-tính-vector/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 27 tháng 1, 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Các công cụ liên quan khác:

Chuyển Đổi Góc
Công cụ chuyển đổi tọa độ Descartes sang cực
Máy Tính Định Thức
Máy tính Giá trị riêng và Vectơ riêng
Máy tính phân số
Máy tính Gram-SchmidtMới
Máy Tính Ma Trận
Công cụ chuyển đổi tọa độ cực sang tọa độ Đề-các
Máy tính Tỷ lệ
Máy Tính Tam Giác Vuông

Đại số Tuyến tính:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiCông cụ đổi Pound sang KilogramCông cụ chuyển đổi kg sang lbsTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoMáy tính giảm giá phần trămMáy tính thương và số dưMáy tính phân số tối giảnCông cụ Mã hóa CaesarCông cụ chuyển đổi chữ số La MãTrình Tạo Mã MorseMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốMáy tính thập phân sang phân sốCông cụ đếm hàngCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênParaphraser AIMáy tính nhị phânBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânCông cụ xáo trộn chữ cáiBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexXóa dấu cáchĐảo ngược văn bảnCon số may mắn của tôi là gì?máy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-caoMáy tính căn bậc haiTrình chuyển đổi SRT sang TXTBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữTrình tạo tên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi kPa sang psiSắp xếp sốCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchMáy tính Cạnh huyềnMáy tính Kiểm tra Chia hếtBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiBộ chuyển đổi HEX📅 Máy tính ngàyTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênTạo Trò Chơi Tìm TừCông cụ chia ảnhMáy tính HEXMáy tính thời gianMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Công cụ chuyển đổi inch sang centimetTrình tạo bài tây ngẫu nhiênGhép VideoMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămTìm kiếm trích dẫn (Tiếng Anh)Tung đồng xuBộ chuyển đổi Hex sang RGBMáy tính So sánh Phân sốMáy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmĐây có phải là Số Nguyên Tố?Trình chuyển đổi HTML sang văn bảnMáy tính ModuloBộ chuyển đổi FPSCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânCông cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMCông cụ chuyển đổi psi sang kPaTrình trích xuất âm thanhDanh sách Dãy số Fibonaccitra-cứu-địa-chỉ-MACCông cụ chuyển đổi pound sang gamMáy tính giai thừaTrình tạo mê cungTrình tạo oẳn tù tìMáy tính One Rep Max (1RM)Tạo Ô ChữMáy tính độ lệch chuẩn - Độ chính xác caoMáy Tính Giờ Làm ViệcCông cụ chuyển đổi bát phân sang nhị phânCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênSo sánh hai chuỗiBộ lặp MP3Lịch Sao Thủy Nghịch HànhTrình tạo số xổ sốBộ chuyển đổi RGB sang HexBộ chuyển đổi mã Gray sang nhị phânMáy tính Ước số chung lớn nhấtTrình nén VideoChuyển đổi Nhị phân sang Bát phânCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânTrình tạo anagramDanh sách năm nhuậnTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênTrình tạo thẻ BingoCông cụ chuyển đổi thời gian phân sốCông cụ chuyển đổi centimet sang inchCông cụ chuyển đổi gam sang poundCông cụ cắt ảnhCông cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnMáy tính BitwiseMáy tính TổngChuyển đổi Thời gian SRTMáy tính giá trị tương laiMáy tính lãi suất tích lũyMáy tính nhânMáy Tính Chia Đa ThứcMáy Tính Handicap GolfMáy tính điểm BowlingMáy tính Tốc độ Ba môn Phối hợpMáy tính Pace MarathonMáy tính Tiêu chuẩn Sức mạnhMáy tính mỡ cơ thể Quân độiMáy tính bước chân sang khoảng cáchMáy tính Nhịp độ BơiMáy tính Tốc độ Đạp xeMáy tính nguy cơ bệnh timMáy tính Carb ròngMáy tính CarbohydrateMáy tính Khối lượng Cơ thể Không mỡMáy tính Loại Cơ thểMáy tính nhóm máuMáy tính tuổi sinh họcMáy tính Tuổi thọ Trung bìnhMáy tính Phân vị Chiều caoTrình phiên dịch Huyết ápMáy tính Độ thanh thải CreatinineMáy tính GFRMáy Tính Giảm CânMáy tính nhịn ăn gián đoạnMáy tính KetoMáy tính Lượng ProteinMáy tính Nồng độ Cồn trong MáuMáy tính Cân nặng Lý tưởngMáy tính Vốn chủ sở hữu NhàMáy tính Lợi nhuận Lật nhàMáy tính hoa hồng bất động sảnMáy tính Chi phí Đóng Giao dịchMáy Tính Bất Động Sản Cho ThuêMáy tính Thuê vs MuaMáy tính Lợi suất Tương đương ThuếMáy tính Trợ cấp Ly hônMáy tính tiền cấp dưỡng conMáy tính Thuế Thừa kếMáy tính Thuế Tài sảnMáy tính Khấu trừ Thuế W-4Máy tính thuế 1099Máy tính Thuế Tự kinh doanhMáy tính Thuế Lợi tức VốnƯớc tính hoàn thuếMáy tính Bậc thuếMáy tính thuế thu nhậpMáy tính Đầu tư BitcoinMáy tính Lãi Lỗ Tiền Điện TửMáy tính Chi phí Nhân viênMáy tính Định giá Doanh nghiệpMáy tính Điểm Hòa vốnMáy tính HELOCMáy tính khoản vay FHAMáy tính tiền đặt cọcMáy tính Trả hết Thế chấpMáy tính Quỹ khẩn cấpMáy tính Mục tiêu Tiết kiệmMáy tính ngân sáchMáy tính Giá trị ròngMáy tính Hợp nhất NợMáy tính trả nợMáy tính khoản vay cá nhânMáy tính vay kinh doanhMáy tính Bình quân giáMáy tính Tái đầu tư Cổ tứcMáy tính lãi lỗ cổ phiếuMáy tính Quỹ tương hỗMáy tính SIPMáy tính RMDMáy tính lương hưuMáy tính Quyền lợi Bảo hiểm Xã hộiMáy tính Hưu tríMáy tính Roth IRAMáy tính 401kCông cụ chuyển đổi tiền tệMáy tính tiền tipTrình tạo Nối các ChấmTrình tạo chuỗi từ (Word Ladder Generator)Công cụ tạo mật mã chữTạo SlitherlinkTạo Hashi Cầu NốiTạo FutoshikiTạo Killer SudokuMáy tính Căn nguyên thủyMô phỏng mã hóa RSA từng bướcMáy tính đặc trưng EulerMáy tính đường chéo đa giácTrình tạo mẫu hình nón trải phẳngKiểm tra hàm chẵn lẻMáy tính Hệ số Chuỗi FourierMáy tính Phương pháp Runge-Kutta (RK4)Máy tính WronskianMáy tính Vết Ma trậnMáy tính Hạng Ma trậnTrình tạo tần số âm thanh ngẫu nhiênTrình tạo hợp âm ngẫu nhiênTrình tạo loadout ngẫu nhiênTrình tạo bài Poker ngẫu nhiênTrình tạo khai cuộc cờ vua ngẫu nhiênTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiênMáy tính Phân tích Giá trị Kỳ dị (SVD)Máy tính Hệ số GiniMáy tính Phân phối Dừng Chuỗi MarkovMáy tính Nguyên lý Chuồng bồ câuMáy tính số StirlingMáy tính Hoán vị lệch (Giai thừa phụ)Trình tạo Số CatalanTrình xác thực dãy bậc đồ thịMáy tính Cây khung nhỏ nhấtMáy tính Đường đi Ngắn nhất DijkstraTrình tạo Ma phươngMáy tính Số Hạnh phúcMáy tính Phỏng đoán CollatzMáy tính Độ congMáy tính Bán kính Hội tụMáy tính Phân tích LU Ma trậnMáy tính Phép chiếu VectorMáy tính Gram-SchmidtMáy tính Phương trình Hình cầuMáy tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳngMáy tính Trực tâm Tam giácMáy tính Trọng tâm Tam giácMáy tính Công thức Dây giàyMáy tính Phân số liên tụcMáy tính Nghịch đảo Nhân theo Mô-đunMáy tính Thuật toán Euclid Mở rộngMáy tính Hàm Phi EulerMáy tính Định lý Số dư Trung QuốcCông cụ tạo Biểu đồ Venn (3 Tập hợp)Máy tính lý thuyết tập hợpCông cụ tạo bảng chân trịCông cụ chuyển đổi cân nặng người sang kiếnMáy tính Calo cho MèoMáy tính tiết kiệm bóng đènMáy tính Chi phí TắmMáy tính chi phí điện đào BitcoinMáy tính Giá trị Giấy vệ sinhTra cứu ID người dùng InstagramMáy tính Quãng đường Bàn phímTrình tạo Bingo từ thông dụngMáy tính Xác suất Ngày nghỉ ốmMáy tính lương thực tế theo giờMáy tính Cà phê vs. Giấc ngủMáy tính thời gian trả lời emailMáy tính FIRE - Tự do Tài chính, Nghỉ hưu sớmMáy tính thời gian lãng phí đi làmBộ đếm Chi phí Cuộc họpMáy tính lương trong nhà vệ sinhTrình tạo KakuroTrình tạo KenKen (Calcudoku)trình-tạo-nonogram-picrossGiải và luyện trò chơi 24Tạo và giải SudokuMáy tính khay phô maiMáy tính đài phun sô cô laMáy tính ABV CocktailMáy tính khẩu phần mì SpaghettiMáy tính thời gian làm lạnh biaMáy tính Taco BarMáy tính BBQMáy tính quá liều CaffeineCông cụ lập kế hoạch tiệc pizzaMáy tính rượu tiệc cướiMáy tính Nhà gạch LegoMáy tính Lấp đầy Phòng Bỏng ngôMáy tính va chạm đồng xu rơiMáy tính rơi xuyên Trái đấtMáy tính bức xạ chuốiMáy tính năng lượng Chuột HamsterMáy tính Tỷ lệ Lỗi Dịch chuyển Tức thờiMáy tính nấu gà bằng năng lượng động năngMáy tính lực nâng bóng bay HeliMáy tính Thời gian Sống sót ZombieTrình Kiểm Tra Kích Thước Thu Thập GooglebotMáy tính tỷ lệ bãi đỗ xeMáy tính Cây thông NoelMáy Tính Ngày Tận Thế Ma Cà RồngMáy tính giá trị PizzaMáy tính Quầy nước chanhTrình tạo tiểu bang Mỹ ngẫu nhiênTrình tạo lý do ngẫu nhiênTrình tạo hoạt động ngẫu nhiênTrình tạo công thức cocktail ngẫu nhiênCông cụ chọn phim ngẫu nhiênTrình tạo tên miền ngẫu nhiênTrình tạo siêu năng lực ngẫu nhiênTrình tạo Haiku ngẫu nhiênTrình tạo lời nhắc viết ngẫu nhiênTrình tạo IMEI Ngẫu nhiênTrình tạo chân dung người dùng ngẫu nhiênTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênTrình tạo số cổng ngẫu nhiênTrình tạo NanoID ngẫu nhiênTrình tạo PIN ngẫu nhiênMáy tính tuổi thọ pinMáy tính độ rộng đường mạch PCBMáy tính sụt ápMáy tính định luật OhmMáy tính mã màu điện trởTrình tạo chuyển hướng HtaccessCông cụ tối ưu SVGCông cụ tạo faviconCông cụ tạo biểu thức CrontabTrình định dạng SQLCông cụ chuyển đổi cURL sang JSONBộ giải mã JWTCông cụ chuyển đổi JSON sang YAMLMáy tính Chuyển đổi MenCông cụ chuyển đổi kích thước khuôn bánhMáy tính độ ẩm bột nhàomáy-tính-tỷ-lệ-bánh-mìMáy tính kích thước thêu chữ thậpMáy tính vảiMáy tính sợi lenMáy tính nước muối và độ mặnMáy tính tỷ lệ pha cà phêMáy tính ABV bia thủ côngMáy tính sáp và tinh dầu thơm nếnMáy tính xút làm xà phòng (SAP)Máy tính kích thước in và độ phân giải (DPI/PPI)Máy tính Golden Hour và Blue HourMáy tính độ sâu trường ảnh (DoF)Máy tính xác suất xúc xắcMáy tính khoảng cách trồng câyMáy tính Chuyển đổi Tỷ lệ Mô hìnhMáy tính vật liệu nền bể cáMáy tính thể tích và mật độ cá bểQuay vòng quayĐổ xúc xắcQuả cầu Thần kỳ 8Công cụ tạo địa chỉ IP ngẫu nhiênTrình tạo thời gian ngẫu nhiênTrình tạo ngày ngẫu nhiênCông cụ tạo tọa độ ngẫu nhiênCông cụ tạo User-Agent ngẫu nhiênTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình tạo JSON ngẫu nhiênTrình tạo quốc gia ngẫu nhiênCông cụ tạo bảng màu ngẫu nhiênCông cụ tạo Sự thật hay Thách đốCông cụ tạo Emoji ngẫu nhiênCông cụ tạo bữa ăn ngẫu nhiênTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênCông Cụ Tạo Phân Phối GaussMáy tính Giá trị PipMáy tính Lãi kép Hàng ngàyMáy tính Chiến lược MartingaleMáy tính Tiêu chí KellyMáy tính Stop Loss & Take ProfitMáy tính mở rộng Fibonaccimáy-tính-điểm-xoayMáy tính đòn bẩy tiền điện tửBộ chuyển đổi Satoshi sang Đô laMáy Tính Chênh Lệch Giá Tiền Điện TửMáy tính tổn thất tạm thờiMáy Tính Lợi Nhuận Quyền ChọnMáy Tính Biến Động Ngầm ĐịnhMáy tính Greek Quyền chọnMáy tính Định giá Quyền chọn Black-ScholesMáy tính rủi ro phá sảnMáy tính lợi nhuận bán khốngMáy tính Margin CallMáy Tính Kích Thước Vị Thếmáy tính giá trung bình cổ phiếuCông cụ xóa ký tự vô hìnhCông cụ Chuyển đổi Văn bản sang Danh sách SQLCông cụ trích xuất cột văn bảnMáy tính sự khác biệt danh sáchCông cụ tạo văn bản ZalgoCông cụ tạo nghệ thuật ASCIICông cụ tạo văn bản vô hình