เครื่องคำนวณการแจกแจงเรขาคณิต

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณการแจกแจงเรขาคณิต

เครื่องคำนวณการแจกแจงเรขาคณิตจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนสำหรับจำนวนการทดลองแบบแบร์นูลลีที่เป็นอิสระต่อกันซึ่งจำเป็นเพื่อให้เกิดความสำเร็จครั้งแรก เพียงป้อนความน่าจะเป็นของความสำเร็จต่อการทดลองและลำดับการทดลอง (หรือจำนวนความล้มเหลว) เพื่อรับความน่าจะเป็นแบบจุดและแบบสะสม, วิธีทำทีละขั้นตอน, ภาพเคลื่อนไหวแสดงลำดับการทดลอง, แผนภูมิ PMF/CDF และตารางการแจกแจงที่สมบูรณ์ รองรับการกำหนดพารามิเตอร์ทั้งสองรูปแบบ ทั้งแบบลำดับการทดลองและแบบจำนวนความล้มเหลวก่อนสำเร็จ

การแจกแจงเรขาคณิตคืออะไร?

การแจกแจงเรขาคณิตเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่จำลองจำนวนครั้งของการทดลองที่จำเป็นเพื่อให้ได้ความสำเร็จครั้งแรกในชุดการทดลองแบบแบร์นูลลี การทดลองแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของความสำเร็จเท่ากับ p และความน่าจะเป็นของความล้มเหลว q = 1 − p เป็นรูปแบบไม่ต่อเนื่องของการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล (exponential distribution) และเป็น การแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องเพียงชนิดเดียวที่มีคุณสมบัติการไม่มีความจำ (memoryless property)

การกำหนดพารามิเตอร์ที่พบบ่อย 2 รูปแบบ

การแจกแจงเรขาคณิตมีรูปแบบมาตรฐาน 2 แบบที่มักทำให้เกิดความสับสน เครื่องคำนวณนี้รองรับทั้งสองแบบ:

• การกำหนดพารามิเตอร์ตามจำนวนการทดลอง (X): X คือลำดับครั้งที่ความสำเร็จครั้งแรกเกิดขึ้น X มีค่าเป็น 1, 2, 3, … และ P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p โดยมีค่าเฉลี่ยคือ 1/p
• การกำหนดพารามิเตอร์ตามจำนวนความล้มเหลว (Y): Y คือจำนวนครั้งที่ล้มเหลวก่อนจะสำเร็จครั้งแรก Y มีค่าเป็น 0, 1, 2, … และ P(Y = k) = (1 − p)^k × p โดยมีค่าเฉลี่ยคือ (1 − p)/p โปรดสังเกตว่า Y = X − 1

สูตร PMF ของเรขาคณิต

สำหรับการกำหนดพารามิเตอร์ตามจำนวนการทดลอง (ค่าเริ่มต้นของเครื่องคำนวณนี้):

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p, สำหรับ k = 1, 2, 3, …

แนวคิดนั้นเรียบง่าย: การทดลอง (k − 1) ครั้งแรกต้องล้มเหลวทั้งหมด (แต่ละครั้งมีความน่าจะเป็น 1 − p) และการทดลองครั้งที่ k ต้องสำเร็จ (ความน่าจะเป็น p) เนื่องจากแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน เราจึงคูณความน่าจะเป็นเหล่านี้เข้าด้วยกัน

CDF (ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม)

CDF มีรูปแบบสูตรที่ชัดเจน:

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

นี่คือความน่าจะเป็นที่ความสำเร็จครั้งแรกจะเกิดขึ้นภายในการทดลอง k ครั้งแรก ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1 ลบด้วยความน่าจะเป็นที่การทดลองทั้ง k ครั้งจะล้มเหลวทั้งหมด

ค่าเฉลี่ย, ความแปรปรวน และสถิติอื่นๆ

• ค่าเฉลี่ย (ค่าคาดหวัง): E[X] = 1/p — โดยเฉลี่ยแล้ว คุณต้องทดลอง 1/p ครั้งเพื่อให้สำเร็จครั้งแรก
• ความแปรปรวน: Var(X) = (1 − p) / p² — ความแปรปรวนจะสูงขึ้นเมื่อ p มีค่าน้อย (ความสำเร็จเกิดขึ้นได้ยาก)
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: σ = √((1 − p) / p²)
• มัธยฐาน: ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — ค่า k ที่เล็กที่สุดที่ทำให้ P(X ≤ k) ≥ 0.5
• ฐานนิยม: คือ 1 เสมอ — ผลลัพธ์ที่มีโอกาสเกิดมากที่สุดคือสำเร็จในการทดลองครั้งแรก
• ความเบ้: (2 − p) / √(1 − p) — เป็นบวกเสมอ (เบ้ขวา)

คุณสมบัติการไม่มีความจำ

การแจกแจงเรขาคณิตเป็น การแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องเพียงชนิดเดียว ที่มีคุณสมบัติไม่มีความจำ:

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

หมายความว่าหากคุณล้มเหลวมาแล้ว s ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ต้องทดลองเพิ่มอีกอย่างน้อย t ครั้งจะเท่ากับตอนที่คุณเริ่มใหม่ตั้งแต่ต้น ความล้มเหลวในอดีตไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นในอนาคต ซึ่งสมเหตุสมผลเพราะการทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน

การประยุกต์ใช้ทั่วไป

• การโยนเหรียญ — ต้องโยนกี่ครั้งถึงจะออกหัวครั้งแรก? ถ้า p = 0.5 ค่าคาดหวังคือ 2 ครั้ง
• การขายและการตลาด — ต้องโทรหาลูกค้ากี่คนถึงจะปิดการขายได้ครั้งแรก? หากอัตราการเปลี่ยนใจ (conversion rate) คือ 5% โดยเฉลี่ยจะต้องโทรประมาณ 20 ครั้ง
• การควบคุมคุณภาพ — ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้นถึงจะพบของเสียชิ้นแรก? ใช้จำลองเวลารอคอยสำหรับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ยาก
• การพนันและเกม — ต้องทอยลูกเต๋ากี่ครั้งถึงจะออกเลข 6? ถ้า p = 1/6 ค่าคาดหวังคือ 6 ครั้ง
• ความน่าเชื่อถือของเครือข่าย — ต้องส่งแพ็กเกจข้อมูลกี่ครั้งถึงจะสำเร็จหนึ่งครั้ง? ใช้จำลองโปรโตคอลการส่งซ้ำในเครือข่ายคอมพิวเตอร์
• พันธุศาสตร์ — ต้องมีลูกกี่คนจนกว่าจะมีลูกที่มีลักษณะเฉพาะปรากฏออกมา? ใช้เมื่อการถ่ายทอดลักษณะเป็นไปตามอัตราส่วนของเมนเดล

ความสัมพันธ์กับการแจกแจงอื่นๆ

• ทวินามลบ (Negative Binomial): การแจกแจงเรขาคณิตเป็นกรณีพิเศษของทวินามลบที่มี r = 1 (รอความสำเร็จเพียง 1 ครั้ง)
• เอกซ์โพเนนเชียล (Exponential): การแจกแจงเรขาคณิตเป็นรูปแบบไม่ต่อเนื่องของการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่ต่อเนื่อง ทั้งคู่มีคุณสมบัติไม่มีความจำ
• แบร์นูลลี (Bernoulli): การทดลองแต่ละครั้งเป็นไปตามการแจกแจงแบร์นูลลี การแจกแจงเรขาคณิตนับจำนวนการทดลองแบร์นูลลีจนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก

วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้

1. ป้อน ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ (p) ต่อการทดลอง โดยต้องอยู่ระหว่าง 0 (ไม่รวม) ถึง 1 (รวม)
2. เลือก การกำหนดพารามิเตอร์: ลำดับการทดลอง (k = 1, 2, 3, …) หรือจำนวนความล้มเหลวก่อนสำเร็จ (k = 0, 1, 2, …)
3. ป้อนค่าของ k
4. คลิก "คำนวณความน่าจะเป็น" เพื่อดูความน่าจะเป็นแบบจุดและแบบสะสม, วิธีทำทีละขั้นตอน, ภาพลำดับการทดลอง, แผนภูมิ PMF/CDF และตารางการแจกแจงที่สมบูรณ์
5. ใช้ ปุ่มสถานการณ์ด่วน เพื่อสำรวจตัวอย่างในโลกความเป็นจริงที่พบบ่อยได้ทันที

คำถามที่พบบ่อย

การแจกแจงเรขาคณิตใช้ทำอะไร?

การแจกแจงเรขาคณิตใช้จำลองจำนวนการทดลองที่เป็นอิสระต่อกันที่จำเป็นเพื่อให้สำเร็จครั้งแรก ใช้ตอบคำถามที่ว่า "ฉันต้องพยายามกี่ครั้งกว่าจะสำเร็จ?" โดยสมมติว่าการพยายามแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นสำเร็จเท่าเดิม ตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์การโทรขาย การตรวจสอบคุณภาพ การพนัน การส่งข้อมูลซ้ำ และพันธุศาสตร์

ความแตกต่างระหว่างการกำหนดพารามิเตอร์ทั้งสองแบบคืออะไร?

แบบลำดับการทดลองจะนับลำดับครั้งที่ความสำเร็จเกิดขึ้น (เริ่มจาก 1) ในขณะที่แบบความล้มเหลวจะนับจำนวนครั้งที่พลาดก่อนจะสำเร็จครั้งแรก (เริ่มจาก 0) ทั้งสองแบบต่างกันอยู่ 1 เสมอ: ถ้า X คือลำดับการทดลอง Y = X − 1 จะเป็นจำนวนความล้มเหลว ซึ่งทั้งสองจะให้ค่าความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันสำหรับค่า k นั้นๆ

คุณสมบัติการไม่มีความจำคืออะไร?

คุณสมบัติการไม่มีความจำหมายถึงความล้มเหลวในอดีตไม่มีผลต่อความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จในอนาคต หากคุณโยนเหรียญแล้วไม่ออกหัวมา 10 ครั้งติดกัน ความน่าจะเป็นที่จะต้องโยนเพิ่มอีก 1 ครั้งแล้วออกหัวก็ยังเป็น 0.5 เท่าเดิม เหรียญไม่ได้ "จำ" สิ่งที่เกิดขึ้นไปแล้ว การแจกแจงเรขาคณิตเป็นการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องเพียงชนิดเดียวที่มีคุณสมบัตินี้

การแจกแจงเรขาคณิตสัมพันธ์กับทวินามลบอย่างไร?

การแจกแจงเรขาคณิตเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงทวินามลบที่คุณรอความสำเร็จครั้งที่ r = 1 ส่วนทวินามลบจะขยายขอบเขตเป็นการรอความสำเร็จครั้งที่ r ใดๆ โดยที่ r เป็นจำนวนเต็มบวก

ทำไมฐานนิยม (Mode) ถึงเป็น 1 เสมอ?

ฐานนิยมจะเป็น 1 เสมอ (หรือ 0 ในแบบจำนวนความล้มเหลว) เพราะผลลัพธ์ที่มีโอกาสเกิดสูงสุดเพียงอย่างเดียวคือการสำเร็จตั้งแต่ครั้งแรก ซึ่งมีความน่าจะเป็น p ซึ่งเป็นค่าสูงสุดของ PMF การทดลองในลำดับถัดๆ ไปจะมีโอกาสน้อยลงเรื่อยๆ เพราะต้องอาศัยเงื่อนไขว่าต้องล้มเหลวเพิ่มขึ้นอีกครั้งก่อนจะสำเร็จ