สูตรสำหรับการแจกแจงเรขาคณิตคืออะไร?

ในการกำหนดพารามิเตอร์ตามจำนวนการทดลอง P(X = k) = (1 - p)^(k-1) คูณ p โดยที่ k คือลำดับการทดลอง (1, 2, 3, ...) และ p คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จต่อการทดลอง ในการกำหนดพารามิเตอร์ตามจำนวนความล้มเหลว P(Y = k) = (1 - p)^k คูณ p โดยที่ k คือจำนวนครั้งที่ล้มเหลว (0, 1, 2, ...) ก่อนสำเร็จครั้งแรก

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงเรขาคณิตคืออะไร?

สำหรับการกำหนดพารามิเตอร์ตามจำนวนการทดลอง (X = การทดลองที่สำเร็จครั้งแรก) ค่าเฉลี่ยคือ 1/p และความแปรปรวนคือ (1-p)/p^2 สำหรับการกำหนดพารามิเตอร์ตามจำนวนความล้มเหลว (Y = ล้มเหลวก่อนสำเร็จครั้งแรก) ค่าเฉลี่ยคือ (1-p)/p และความแปรปรวนคือ (1-p)/p^2

คุณสมบัติการไม่มีความจำของการแจกแจงเรขาคณิตคืออะไร?

คุณสมบัติการไม่มีความจำหมายความว่า ความน่าจะเป็นที่ต้องทดลองเพิ่มอีก k ครั้งเพื่อให้สำเร็จครั้งแรกนั้นเท่าเดิมเสมอ ไม่ว่าจะล้มเหลวมาแล้วกี่ครั้งก็ตาม ในทางคณิตศาสตร์คือ P(X > s + t | X > s) = P(X > t) นี่คือการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องเพียงหนึ่งเดียวที่มีคุณสมบัตินี้

ควรใช้การแจกแจงเรขาคณิตเมื่อใด?

ใช้การแจกแจงเรขาคณิตเมื่อคุณต้องการจำลองจำนวนการทดลองที่เป็นอิสระต่อกันด้วยความน่าจะเป็นที่สำเร็จคงที่ จนกว่าจะพบความสำเร็จครั้งแรก ตัวอย่างทั่วไป ได้แก่ จำนวนครั้งที่โยนเหรียญจนกว่าจะออกหัวครั้งแรก, จำนวนการโทรขายจนกว่าจะปิดการขายได้ครั้งแรก, จำนวนผลิตภัณฑ์ที่ตรวจสอบจนกว่าจะพบข้อบกพร่องชิ้นแรก หรือจำนวนครั้งที่พยายามสอบจนกว่าจะสอบผ่าน

เครื่องคำนวณการแจกแจงเรขาคณิต

คำนวณความน่าจะเป็นของการแจกแจงเรขาคณิตสำหรับจำนวนครั้งของการทดลองจนกว่าจะพบความสำเร็จครั้งแรก ป้อนความน่าจะเป็นของความสำเร็จต่อการทดลองและลำดับการทดลองเพื่อดูค่า PMF, CDF, ความน่าจะเป็นสะสม, วิธีทำทีละขั้นตอน, แผนภูมิ PMF/CDF แบบโต้ตอบ และภาพจำลองลำดับการทดลองแบบเคลื่อนไหว

📌 ลองจำลองสถานการณ์:

k = ลำดับการทดลอง (1, 2, 3, …) k = จำนวนความล้มเหลวก่อนสำเร็จ (0, 1, 2, …)

ป้อนลำดับการทดลองที่เกิดความสำเร็จครั้งแรก

p — ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ ความน่าจะเป็นที่สำเร็จต่อการทดลอง (0 < p ≤ 1)

k — ลำดับการทดลอง การทดลองที่สำเร็จครั้งแรก (k ≥ 1)

Embed เครื่องคำนวณการแจกแจงเรขาคณิต Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณการแจกแจงเรขาคณิต

เครื่องคำนวณการแจกแจงเรขาคณิตจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนสำหรับจำนวนการทดลองแบบแบร์นูลลีที่เป็นอิสระต่อกันซึ่งจำเป็นเพื่อให้เกิดความสำเร็จครั้งแรก เพียงป้อนความน่าจะเป็นของความสำเร็จต่อการทดลองและลำดับการทดลอง (หรือจำนวนความล้มเหลว) เพื่อรับความน่าจะเป็นแบบจุดและแบบสะสม, วิธีทำทีละขั้นตอน, ภาพเคลื่อนไหวแสดงลำดับการทดลอง, แผนภูมิ PMF/CDF และตารางการแจกแจงที่สมบูรณ์ รองรับการกำหนดพารามิเตอร์ทั้งสองรูปแบบ ทั้งแบบลำดับการทดลองและแบบจำนวนความล้มเหลวก่อนสำเร็จ

การแจกแจงเรขาคณิตคืออะไร?

การแจกแจงเรขาคณิตเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่จำลองจำนวนครั้งของการทดลองที่จำเป็นเพื่อให้ได้ความสำเร็จครั้งแรกในชุดการทดลองแบบแบร์นูลลี การทดลองแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของความสำเร็จเท่ากับ p และความน่าจะเป็นของความล้มเหลว q = 1 − p เป็นรูปแบบไม่ต่อเนื่องของการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล (exponential distribution) และเป็น การแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องเพียงชนิดเดียวที่มีคุณสมบัติการไม่มีความจำ (memoryless property)

การกำหนดพารามิเตอร์ที่พบบ่อย 2 รูปแบบ

การแจกแจงเรขาคณิตมีรูปแบบมาตรฐาน 2 แบบที่มักทำให้เกิดความสับสน เครื่องคำนวณนี้รองรับทั้งสองแบบ:

การกำหนดพารามิเตอร์ตามจำนวนการทดลอง (X): X คือลำดับครั้งที่ความสำเร็จครั้งแรกเกิดขึ้น X มีค่าเป็น 1, 2, 3, … และ P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p โดยมีค่าเฉลี่ยคือ 1/p
การกำหนดพารามิเตอร์ตามจำนวนความล้มเหลว (Y): Y คือจำนวนครั้งที่ล้มเหลวก่อนจะสำเร็จครั้งแรก Y มีค่าเป็น 0, 1, 2, … และ P(Y = k) = (1 − p)^k × p โดยมีค่าเฉลี่ยคือ (1 − p)/p โปรดสังเกตว่า Y = X − 1

สูตร PMF ของเรขาคณิต

สำหรับการกำหนดพารามิเตอร์ตามจำนวนการทดลอง (ค่าเริ่มต้นของเครื่องคำนวณนี้):

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p, สำหรับ k = 1, 2, 3, …

แนวคิดนั้นเรียบง่าย: การทดลอง (k − 1) ครั้งแรกต้องล้มเหลวทั้งหมด (แต่ละครั้งมีความน่าจะเป็น 1 − p) และการทดลองครั้งที่ k ต้องสำเร็จ (ความน่าจะเป็น p) เนื่องจากแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน เราจึงคูณความน่าจะเป็นเหล่านี้เข้าด้วยกัน

CDF (ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม)

CDF มีรูปแบบสูตรที่ชัดเจน:

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

นี่คือความน่าจะเป็นที่ความสำเร็จครั้งแรกจะเกิดขึ้นภายในการทดลอง k ครั้งแรก ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1 ลบด้วยความน่าจะเป็นที่การทดลองทั้ง k ครั้งจะล้มเหลวทั้งหมด

ค่าเฉลี่ย, ความแปรปรวน และสถิติอื่นๆ

ค่าเฉลี่ย (ค่าคาดหวัง): E[X] = 1/p — โดยเฉลี่ยแล้ว คุณต้องทดลอง 1/p ครั้งเพื่อให้สำเร็จครั้งแรก
ความแปรปรวน: Var(X) = (1 − p) / p² — ความแปรปรวนจะสูงขึ้นเมื่อ p มีค่าน้อย (ความสำเร็จเกิดขึ้นได้ยาก)
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: σ = √((1 − p) / p²)
มัธยฐาน: ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — ค่า k ที่เล็กที่สุดที่ทำให้ P(X ≤ k) ≥ 0.5
ฐานนิยม: คือ 1 เสมอ — ผลลัพธ์ที่มีโอกาสเกิดมากที่สุดคือสำเร็จในการทดลองครั้งแรก
ความเบ้: (2 − p) / √(1 − p) — เป็นบวกเสมอ (เบ้ขวา)

คุณสมบัติการไม่มีความจำ

การแจกแจงเรขาคณิตเป็น การแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องเพียงชนิดเดียว ที่มีคุณสมบัติไม่มีความจำ:

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

หมายความว่าหากคุณล้มเหลวมาแล้ว s ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ต้องทดลองเพิ่มอีกอย่างน้อย t ครั้งจะเท่ากับตอนที่คุณเริ่มใหม่ตั้งแต่ต้น ความล้มเหลวในอดีตไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นในอนาคต ซึ่งสมเหตุสมผลเพราะการทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน

การประยุกต์ใช้ทั่วไป

การโยนเหรียญ — ต้องโยนกี่ครั้งถึงจะออกหัวครั้งแรก? ถ้า p = 0.5 ค่าคาดหวังคือ 2 ครั้ง
การขายและการตลาด — ต้องโทรหาลูกค้ากี่คนถึงจะปิดการขายได้ครั้งแรก? หากอัตราการเปลี่ยนใจ (conversion rate) คือ 5% โดยเฉลี่ยจะต้องโทรประมาณ 20 ครั้ง
การควบคุมคุณภาพ — ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้นถึงจะพบของเสียชิ้นแรก? ใช้จำลองเวลารอคอยสำหรับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ยาก
การพนันและเกม — ต้องทอยลูกเต๋ากี่ครั้งถึงจะออกเลข 6? ถ้า p = 1/6 ค่าคาดหวังคือ 6 ครั้ง
ความน่าเชื่อถือของเครือข่าย — ต้องส่งแพ็กเกจข้อมูลกี่ครั้งถึงจะสำเร็จหนึ่งครั้ง? ใช้จำลองโปรโตคอลการส่งซ้ำในเครือข่ายคอมพิวเตอร์
พันธุศาสตร์ — ต้องมีลูกกี่คนจนกว่าจะมีลูกที่มีลักษณะเฉพาะปรากฏออกมา? ใช้เมื่อการถ่ายทอดลักษณะเป็นไปตามอัตราส่วนของเมนเดล

ความสัมพันธ์กับการแจกแจงอื่นๆ

ทวินามลบ (Negative Binomial): การแจกแจงเรขาคณิตเป็นกรณีพิเศษของทวินามลบที่มี r = 1 (รอความสำเร็จเพียง 1 ครั้ง)
เอกซ์โพเนนเชียล (Exponential): การแจกแจงเรขาคณิตเป็นรูปแบบไม่ต่อเนื่องของการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่ต่อเนื่อง ทั้งคู่มีคุณสมบัติไม่มีความจำ
แบร์นูลลี (Bernoulli): การทดลองแต่ละครั้งเป็นไปตามการแจกแจงแบร์นูลลี การแจกแจงเรขาคณิตนับจำนวนการทดลองแบร์นูลลีจนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก

วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้

ป้อน ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ (p) ต่อการทดลอง โดยต้องอยู่ระหว่าง 0 (ไม่รวม) ถึง 1 (รวม)
เลือก การกำหนดพารามิเตอร์: ลำดับการทดลอง (k = 1, 2, 3, …) หรือจำนวนความล้มเหลวก่อนสำเร็จ (k = 0, 1, 2, …)
ป้อนค่าของ k
คลิก "คำนวณความน่าจะเป็น" เพื่อดูความน่าจะเป็นแบบจุดและแบบสะสม, วิธีทำทีละขั้นตอน, ภาพลำดับการทดลอง, แผนภูมิ PMF/CDF และตารางการแจกแจงที่สมบูรณ์
ใช้ ปุ่มสถานการณ์ด่วน เพื่อสำรวจตัวอย่างในโลกความเป็นจริงที่พบบ่อยได้ทันที

คำถามที่พบบ่อย

การแจกแจงเรขาคณิตใช้ทำอะไร?

การแจกแจงเรขาคณิตใช้จำลองจำนวนการทดลองที่เป็นอิสระต่อกันที่จำเป็นเพื่อให้สำเร็จครั้งแรก ใช้ตอบคำถามที่ว่า "ฉันต้องพยายามกี่ครั้งกว่าจะสำเร็จ?" โดยสมมติว่าการพยายามแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นสำเร็จเท่าเดิม ตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์การโทรขาย การตรวจสอบคุณภาพ การพนัน การส่งข้อมูลซ้ำ และพันธุศาสตร์

ความแตกต่างระหว่างการกำหนดพารามิเตอร์ทั้งสองแบบคืออะไร?

แบบลำดับการทดลองจะนับลำดับครั้งที่ความสำเร็จเกิดขึ้น (เริ่มจาก 1) ในขณะที่แบบความล้มเหลวจะนับจำนวนครั้งที่พลาดก่อนจะสำเร็จครั้งแรก (เริ่มจาก 0) ทั้งสองแบบต่างกันอยู่ 1 เสมอ: ถ้า X คือลำดับการทดลอง Y = X − 1 จะเป็นจำนวนความล้มเหลว ซึ่งทั้งสองจะให้ค่าความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันสำหรับค่า k นั้นๆ

คุณสมบัติการไม่มีความจำคืออะไร?

คุณสมบัติการไม่มีความจำหมายถึงความล้มเหลวในอดีตไม่มีผลต่อความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จในอนาคต หากคุณโยนเหรียญแล้วไม่ออกหัวมา 10 ครั้งติดกัน ความน่าจะเป็นที่จะต้องโยนเพิ่มอีก 1 ครั้งแล้วออกหัวก็ยังเป็น 0.5 เท่าเดิม เหรียญไม่ได้ "จำ" สิ่งที่เกิดขึ้นไปแล้ว การแจกแจงเรขาคณิตเป็นการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องเพียงชนิดเดียวที่มีคุณสมบัตินี้

การแจกแจงเรขาคณิตสัมพันธ์กับทวินามลบอย่างไร?

การแจกแจงเรขาคณิตเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงทวินามลบที่คุณรอความสำเร็จครั้งที่ r = 1 ส่วนทวินามลบจะขยายขอบเขตเป็นการรอความสำเร็จครั้งที่ r ใดๆ โดยที่ r เป็นจำนวนเต็มบวก

ทำไมฐานนิยม (Mode) ถึงเป็น 1 เสมอ?

ฐานนิยมจะเป็น 1 เสมอ (หรือ 0 ในแบบจำนวนความล้มเหลว) เพราะผลลัพธ์ที่มีโอกาสเกิดสูงสุดเพียงอย่างเดียวคือการสำเร็จตั้งแต่ครั้งแรก ซึ่งมีความน่าจะเป็น p ซึ่งเป็นค่าสูงสุดของ PMF การทดลองในลำดับถัดๆ ไปจะมีโอกาสน้อยลงเรื่อยๆ เพราะต้องอาศัยเงื่อนไขว่าต้องล้มเหลวเพิ่มขึ้นอีกครั้งก่อนจะสำเร็จ

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณการแจกแจงเรขาคณิต" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณการแจกแจงเรขาคณิต/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตล่าสุด: 2026-04-14

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.