อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งแตกต่างจากอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยอย่างไร?

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยจะวัดความชันของเส้นตัดคอร์ดในช่วง [a, b] ในขณะที่อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสที่จุดเดียว เมื่อช่วงแคบลงจนเป็นศูนย์ (b เข้าใกล้ a) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยจะลู่เข้าสู่อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง ซึ่งก็คืออนุพันธ์นั่นเอง

เส้นสัมผัสแสดงถึงอะไร?

เส้นสัมผัสคือเส้นตรงที่สัมผัสกราฟที่จุดเดียวพอดีและมีความชันเท่ากับกราฟที่จุดนั้น ความชันของเส้นสัมผัสจะเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง (อนุพันธ์) ณ จุดนั้น เส้นสัมผัสคือการประมาณค่าเชิงเส้นที่ดีที่สุดของฟังก์ชันในช่วงใกล้จุดนั้น

อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งเป็นศูนย์ได้หรือไม่?

ได้ เมื่ออัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งเป็นศูนย์ เส้นสัมผัสจะเป็นเส้นแนวนอน สิ่งนี้เกิดขึ้นที่จุดวิกฤตของฟังก์ชัน ซึ่งอาจเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ หรือจุดเปลี่ยนโค้ง ตัวอย่างเช่น f(x) = x^2 จะมี f'(0) = 0 ที่จุดต่ำสุด

เครื่องคำนวณนี้รองรับฟังก์ชันใดบ้าง?

เครื่องคำนวณนี้รองรับพหุนาม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin, cos, tan), ตรีโกณมิติผกผัน (asin, acos, atan), ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก (sinh, cosh, tanh), ลอการิทึม (ln, log, log10, log2), เอกซ์โพเนนเชียล (exp), รากที่สอง (sqrt), รากที่สาม (cbrt), ค่าสัมบูรณ์ (abs) และค่าคงที่ pi และ e นอกจากนี้ยังรองรับการคูณแบบละเครื่องหมาย เช่น 2x

เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง

คำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่งของฟังก์ชันใดๆ ที่จุดหนึ่งโดยใช้นิยามลิมิต รับวิธีทำทีละขั้นพร้อมสูตร MathJax กราฟเส้นสัมผัสแบบโต้ตอบ และตารางการลู่เข้าเมื่อ h เข้าใกล้ศูนย์

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที

เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่งลองใช้เลย — ฟรี ▼

Embed เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง

เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งนี้จะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ใดๆ ณ จุด x₀ ที่กำหนดโดยใช้นิยามของลิมิต ป้อนฟังก์ชันอย่างเช่น $x^2$, $\sin(x)$, หรือ $e^x$ ระบุค่า x และรับค่าอนุพันธ์ สมการเส้นสัมผัส ตารางการลู่เข้าที่แสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนต่างเข้าใกล้ลิมิตอย่างไรเมื่อ h → 0 พร้อมแผนภูมิแบบโต้ตอบที่มีภาพเคลื่อนไหวการเปลี่ยนจากเส้นตัดคอร์ดเป็นเส้นสัมผัส

อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งคืออะไร?

อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง ของฟังก์ชัน $f(x)$ ณ จุด $x = a$ คือ อนุพันธ์ $f'(a)$ ซึ่งแสดงถึงความชันของ เส้นสัมผัส กราฟ ณ จุดนั้น โดยมีนิยามอย่างเป็นทางการคือ:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

ต่างจากอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย (ซึ่งใช้เส้นตัดคอร์ดในช่วงกว้าง) อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งจะจับค่าอัตราที่ แม่นยำ ณ จุดเดียว นี่คือแนวคิดพื้นฐานของวิชาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

แนวคิดหลัก

เส้นสัมผัส (Tangent Line)

สัมผัสกราฟที่จุดเดียวโดยมีความชันเท่ากับอนุพันธ์ f'(a)

เส้นตัดคอร์ด (Secant Line)

เชื่อมต่อจุดสองจุดบนกราฟ เมื่อ h → 0 เส้นนี้จะกลายเป็นเส้นสัมผัส

กระบวนการลิมิต

อนุพันธ์คือลิมิตของอัตราส่วนต่างเมื่อช่วงเวลาลดลงจนเป็นศูนย์

จุดวิกฤต

จุดที่ f'(x) = 0 — เส้นสัมผัสจะเป็นแนวนอน อาจเป็นจุดสูงสุด ต่ำสุด หรือจุดเปลี่ยนโค้ง

นิยามลิมิต — ในเชิงภาพ

ลองจินตนาการถึงจุดสองจุดบนกราฟ: $(a, f(a))$ และ $(a+h, f(a+h))$ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดทั้งสองคือ เส้นตัดคอร์ด ที่มีความชันเป็น:

$$\text{ความชันเส้นตัดคอร์ด} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

เมื่อคุณทำให้ $h$ เล็กลงเรื่อยๆ จุดที่สองจะเลื่อนเข้าใกล้จุดแรกมากขึ้น เส้นตัดคอร์ดจะหมุนและลู่เข้าหา เส้นสัมผัส ความชันที่มันลู่เข้าหานั้นก็คืออนุพันธ์ หรืออัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง ฟีเจอร์ "เล่นภาพเคลื่อนไหว h → 0" ของเครื่องคำนวณนี้ช่วยให้คุณเห็นเหตุการณ์นี้เกิดขึ้นจริงได้

วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับอนุพันธ์

วิธี	สูตร	ความแม่นยำ
ผลต่างไปข้างหน้า (Forward Difference)	$\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$	O(h) — อันดับที่หนึ่ง
ผลต่างย้อนหลัง (Backward Difference)	$\frac{f(a) - f(a-h)}{h}$	O(h) — อันดับที่หนึ่ง
ผลต่างจากจุดศูนย์กลาง (Central Difference)	$\frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$	O(h²) — อันดับที่สอง

เครื่องคำนวณนี้ใช้วิธี ผลต่างจากจุดศูนย์กลาง สำหรับคำตอบสุดท้ายเนื่องจากมันลู่เข้าหาค่าจริงได้เร็วกว่ามาก (แบบกำลังสอง) ตารางการลู่เข้าจะแสดงทั้งสามวิธีเพื่อให้คุณสามารถเปรียบเทียบความแม่นยำในแต่ละขนาดของ h ได้

การประยุกต์ใช้ในโลกจริง

สาขา	ฟังก์ชัน	ความหมายของอนุพันธ์
ฟิสิกส์	ตำแหน่ง s(t)	ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง ณ เวลา t
ฟิสิกส์	ความเร็ว v(t)	ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง ณ เวลา t

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-14

เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง

อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งคืออะไร?

แนวคิดหลัก

นิยามลิมิต — ในเชิงภาพ

วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับอนุพันธ์

การประยุกต์ใช้ในโลกจริง

แคลคูลัส:

ตัวช่วยแก้โจทย์คณิตศาสตร์

จำนวนและตัวประกอบ

เศษส่วนและการหาร

เลขยกกำลัง ราก และลอการิทึม

พีชคณิตและสมการ

แคลคูลัส

เรขาคณิตและตรีโกณมิติ

เครื่องมือยอดนิยมและอัปเดตล่าสุด:

ดาวน์โหลดทุกไฟล์เป็น ZIP เดียวด้วย Pro

วิธี	สูตร	ความแม่นยำ
ผลต่างไปข้างหน้า (Forward Difference)	\(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)	O(h) — อันดับที่หนึ่ง
ผลต่างย้อนหลัง (Backward Difference)	\(\frac{f(a) - f(a-h)}{h}\)	O(h) — อันดับที่หนึ่ง
ผลต่างจากจุดศูนย์กลาง (Central Difference)	\(\frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}\)	O(h²) — อันดับที่สอง