เครื่องคำนวณอินทิกรัลไม่ตรงแบบ

คำนวณอินทิกรัลไม่แท้ที่มีขอบเขตเป็นอนันต์หรือมีความไม่ต่อเนื่อง รองรับทั้งขอบเขตอนันต์แบบ Type I และฟังก์ชันไม่มีขอบเขตแบบ Type II พร้อมวิธีทำทีละขั้น การวิเคราะห์การลู่เข้า ภาพประกอบ และการเทียบขีดจำกัดการตัดขอบ

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที

เครื่องคำนวณอินทิกรัลไม่ตรงแบบลองใช้เลย — ฟรี ▼

ลองใช้:

→∞ a ถึง ∞ -∞→ -∞ ถึง b ±∞ -∞ ถึง ∞ ⚡a ไม่ต่อเนื่องที่ a b⚡ ไม่ต่อเนื่องที่ b

ตัวอย่างอินทิกรัล

$$\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx$$

📐 ตัวถูกอินทิเกรต

f(x)

รองรับ: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e

📏 ขอบเขต

ขอบเขตล่าง (a)

ขอบเขตล่างที่เป็นค่าคงที่

ขอบเขตบน (b)

ขอบเขตบนคือ ∞

Embed เครื่องคำนวณอินทิกรัลไม่ตรงแบบ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณอินทิกรัลไม่ตรงแบบ

เครื่องคำนวณอินทิกรัลไม่ตรงแบบ จะประเมินค่าอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องกับขอบเขตที่เป็นอนันต์หรือความไม่ต่อเนื่องในตัวถูกอินทิเกรต ซึ่งเป็นกรณีที่เทคนิคการอินทิเกรตมาตรฐานไม่สามารถนำมาใช้ได้โดยตรง อินทิกรัลเหล่านี้มักปรากฏในวิชาความน่าจะเป็น, ฟิสิกส์, วิศวกรรมศาสตร์ และคณิตศาสตร์ขั้นสูง เครื่องคำนวณนี้ใช้วิธีเชิงตัวเลขแบบปรับตัวเพื่อพิจารณาว่าอินทิกรัลไม่ตรงแบบนั้นลู่เข้าหรือลู่ออก และให้ค่าประมาณเชิงตัวเลขที่แม่นยำพร้อมกับการแสดงภาพแบบเคลื่อนไหวและการวิเคราะห์การลู่เข้า

ประเภทของอินทิกรัลไม่ตรงแบบ

→∞

ชนิดที่ 1: ขอบเขตบนเป็นอนันต์

อินทิกรัล $ \int_a^{\infty} f(x)\,dx $ ประเมินค่าเป็น $ \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x)\,dx $ ตัวอย่าง: $ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = 1 $

-∞→

ชนิดที่ 1: ขอบเขตล่างเป็นอนันต์

อินทิกรัล $ \int_{-\infty}^b f(x)\,dx $ ประเมินค่าเป็น $ \lim_{t\to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx $ ตัวอย่าง: $ \int_{-\infty}^0 e^x\,dx = 1 $

±∞

ชนิดที่ 1: ขอบเขตเป็นอนันต์ทั้งสองข้าง

แยกที่จุดที่สะดวก: $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + \int_0^{\infty} f(x)\,dx $ ทั้งสองส่วนต้องลู่เข้าแยกจากกัน

⚡

ชนิดที่ 2: ความไม่ต่อเนื่อง

เมื่อ f(x) มีเส้นกำกับแนวตั้งที่ขอบเขต ให้เข้าใกล้จุดนั้นในรูปของลิมิต: $ \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx $ ตัวอย่าง: $ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2 $

วิธีใช้งาน เครื่องคำนวณอินทิกรัลไม่ตรงแบบ

ป้อนฟังก์ชันของคุณ — พิมพ์ f(x) โดยใช้สัญลักษณ์มาตรฐาน ตัวอย่าง: 1/x^2, exp(-x^2), 1/(1+x^2), 1/sqrt(x)
เลือกประเภทของอินทิกรัล — เลือกว่าอินทิกรัลมีขอบเขตบนเป็นอนันต์, ขอบเขตล่างเป็นอนันต์, อนันต์ทั้งสองข้าง หรือมีความไม่ต่อเนื่องที่ขอบเขตใดขอบเขตหนึ่ง
ตั้งค่าขอบเขตที่เป็นค่าคงที่ — ป้อนขอบเขตที่จำเป็น สำหรับขอบเขตที่เป็นอนันต์ ต้องการเพียงขอบเขตที่เป็นค่าคงที่เท่านั้น สำหรับประเภทที่ไม่ต่อเนื่อง ให้ป้อนขอบเขตทั้งสองข้าง
คลิกประเมินค่า — เครื่องคำนวณจะกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออก แสดงค่าเชิงตัวเลข (หากลู่เข้า) ให้การแสดงภาพพื้นที่แบบเคลื่อนไหว ตารางการลู่เข้าที่แสดงให้เห็นว่าค่าคงที่อย่างไรเมื่อขีดจำกัดการตัดปลายเพิ่มขึ้น และวิธีทำทีละขั้นตอน

p-Test สำหรับการลู่เข้า

หนึ่งในการทดสอบการลู่เข้าที่สำคัญที่สุดสำหรับอินทิกรัลไม่ตรงแบบ:

อินทิกรัล	เงื่อนไข	ผลลัพธ์
$ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx $	p > 1	ลู่เข้าสู่ค่า $ \frac{1}{p-1} $
$ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx $	p ≤ 1	ลู่ออก
$ \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx $	p < 1	ลู่เข้าสู่ค่า $ \frac{1}{1-p} $
$ \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx $	p ≥ 1	ลู่ออก

อินทิกรัลไม่ตรงแบบที่มีชื่อเสียง

อินทิกรัล	ค่าที่แน่นอน	ชื่อ/การประยุกต์ใช้
$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx $	$ \sqrt{\pi} \approx 1.7725 $	อินทิกรัลเกาส์เซียน (ความน่าจะเป็น, ฟิสิกส์)
$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx $	$ \pi \approx 3.1416 $	การกระจายตัวแบบ Cauchy/Lorentz
$ \int_0^{\infty} e^{-x}\,dx $	1	การสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล
$ \int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\,dx $	$ \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 $	อินทิกรัล Dirichlet (การประมวลผลสัญญาณ)
$ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx $	2	ชนิดที่ 2, p-test โดยที่ p = 1/2

การประยุกต์ใช้ทั่วไป

ความน่าจะเป็นและสถิติ — การคำนวณค่าคาดหมาย, ความแปรปรวน และโมเมนต์ของการแจกแจงแบบต่อเนื่อง PDF ของการแจกแจงแบบปกติจะอินทิเกรตได้ 1 ผ่านอินทิกรัลเกาส์เซียน
ฟิสิกส์ — การคำนวณศักย์โน้มถ่วงและศักย์ไฟฟ้า, พลังงานในกลศาสตร์ควอนตัม และปัญหาการนำความร้อน
วิศวกรรมศาสตร์ — การแปลง Laplace และ Fourier ถูกนิยามในรูปของอินทิกรัลไม่ตรงแบบ การประมวลผลสัญญาณอาศัยอินทิกรัลเช่น $ \int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\,dx $
การศึกษาแคลคูลัส — การทำความเข้าใจเรื่องการลู่เข้าและลู่ออกเป็นรากฐานสำคัญของแคลคูลัสเชิงอินทิกรัลและการวิเคราะห์อนุกรม

คำถามที่พบบ่อย

อินทิกรัลไม่ตรงแบบคืออะไร?

อินทิกรัลไม่ตรงแบบคืออินทิกรัลที่ขอบเขตการอินทิเกรตอย่างน้อยหนึ่งข้างเป็นอนันต์ หรือฟังก์ชันที่ถูกอินทิเกรตมีความไม่ต่อเนื่อง (เส้นกำกับแนวตั้ง) ภายในช่วงนั้น โดยจะถูกประเมินในรูปของลิมิต: ขอบเขตที่เป็นอนันต์จะถูกแทนที่ด้วยตัวแปรที่เข้าใกล้อนันต์ หรือเข้าใกล้จุดที่ไม่ต่อเนื่องจากด้านที่เหมาะสม

จะพิจารณาได้อย่างไรว่าอินทิกรัลไม่ตรงแบบลู่เข้าหรือลู่ออก?

อินทิกรัลไม่ตรงแบบจะลู่เข้าหากลิมิตมีอยู่จริงและเป็นค่าคงที่ และจะลู่ออกหากลิมิตเป็นอนันต์หรือไม่มีลิมิต การทดสอบการลู่เข้าที่พบบ่อย ได้แก่ p-test (อินทิกรัลของ 1/x^p ลู่เข้าสำหรับ p > 1), การทดสอบการเปรียบเทียบ และการทดสอบการเปรียบเทียบลิมิต เครื่องคำนวณนี้จะกำหนดการลู่เข้าเชิงตัวเลขโดยการประเมินด้วยขีดจำกัดการตัดปลายที่เพิ่มขึ้นและตรวจสอบว่าค่าคงที่หรือไม่

อินทิกรัลไม่ตรงแบบชนิดที่ 1 และชนิดที่ 2 แตกต่างกันอย่างไร?

อินทิกรัลไม่ตรงแบบชนิดที่ 1 จะมีขอบเขตการอินทิเกรตเป็นอนันต์อย่างน้อยหนึ่งข้าง (เช่น อินทิกรัลจาก 1 ถึงอนันต์) ส่วนชนิดที่ 2 จะมีความไม่ต่อเนื่องในฟังก์ชันภายในช่วงการอินทิเกรต (เช่น อินทิกรัลของ 1/sqrt(x) จาก 0 ถึง 1 โดยที่ฟังก์ชันไม่นิยามที่ x = 0)

อินทิกรัลเกาส์เซียนคืออะไร?

อินทิกรัลเกาส์เซียนคืออินทิกรัลของ e^(-x²) จากลบอนันต์ถึงบวกอนันต์ ซึ่งมีค่าเท่ากับรากที่สองของพาย (ประมาณ 1.7725) เป็นหนึ่งในอินทิกรัลไม่ตรงแบบที่มีชื่อเสียงที่สุดและเป็นพื้นฐานในทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติ และฟิสิกส์ ไม่สามารถประเมินได้โดยใช้ปฏิยานุพันธ์พื้นฐาน

เครื่องคำนวณนี้สามารถหาคำตอบแบบสัญลักษณ์ที่แม่นยำได้หรือไม่?

เครื่องคำนวณนี้ใช้วิธีการเชิงตัวเลข (adaptive Simpson's quadrature) เพื่อประมาณค่าอินทิกรัลไม่ตรงแบบ โดยให้ผลลัพธ์เชิงตัวเลขที่มีความแม่นยำสูงและระบุการลู่เข้าหรือลู่ออก สำหรับอินทิกรัลที่มีชื่อเสียงบางตัว เช่น อินทิกรัลเกาส์เซียน จะมีการแสดงค่าที่แน่นอนที่ทราบกันดีเพื่อการเปรียบเทียบด้วย

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณอินทิกรัลไม่ตรงแบบ" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณอินทิกรัลไม่ตรงแบบ/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน MiniWebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-05

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.