เครื่องคำนวณอินทิกรัลตามเส้น

คำนวณอินทิกรัลเส้นของสนามสเกลาร์และสนามเวกเตอร์ตามเส้นโค้งพาราเมตริกทั้งใน 2 มิติและ 3 มิติ ใส่สนาม สมการพาราเมตริก และขอบเขต เพื่อได้ผลลัพธ์เชิงสัญลักษณ์พร้อมวิธีทำทีละขั้น ความยาวส่วนโค้ง และภาพจำลองเส้นโค้ง

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที

เครื่องคำนวณอินทิกรัลตามเส้นลองใช้เลย — ฟรี ▼

ตัวอย่าง:

สนาม (Field)

f f(x, y)

P P(x, y)

Q Q(x, y)

R R(x, y, z)

เส้นโค้งพารามิเตอร์ r(t)

x x(t)

y y(t)

z z(t)

ขอบเขตพารามิเตอร์

t จาก → ถึง

ตัวอย่างอินทิกรัล

ป้อนสนามและเส้นโค้งเพื่อดูตัวอย่าง

Embed เครื่องคำนวณอินทิกรัลตามเส้น Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณอินทิกรัลตามเส้น

เครื่องคำนวณอินทิกรัลตามเส้น ใช้สำหรับหาค่าทั้งอินทิกรัลตามเส้นแบบสเกลาร์ \(\int_C f\,ds\) และอินทิกรัลตามเส้นแบบเวกเตอร์ \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) ตามแนวเส้นโค้งพารามิเตอร์ในพื้นที่ 2D และ 3D เพียงป้อนสนาม, สมการพารามิเตอร์ และขอบเขตพารามิเตอร์ เพื่อรับวิธีการแก้ปัญหาแบบละเอียดทีละขั้นตอน พร้อมผลลัพธ์ที่เป็นสัญลักษณ์, การคำนวณความยาวส่วนโค้ง และการแสดงภาพเส้นโค้งแบบแอนิเมชัน

∫ อินทิกรัลตามเส้นแบบสเกลาร์ อินทิเกรต f ตามเส้นโค้งโดยถ่วงน้ำหนักด้วยความยาวส่วนโค้ง ds

⟳ อินทิกรัลตามเส้นแบบเวกเตอร์ ดอทโปรดักต์ของ F กับเส้นสัมผัส dr เพื่อวัดปริมาณงาน

📏 ความยาวส่วนโค้ง ความยาวรวมของเส้นโค้งจาก r(a) ถึง r(b)

🔄 สนามอนุรักษ์ อินทิกรัลที่ไม่ขึ้นกับเส้นทางเมื่อ ∇×F = 0

สูตรอินทิกรัลตามเส้น

ประเภท	สูตร	คำอธิบาย
สเกลาร์ ∫f ds	\(\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt\)	อินทิเกรตฟังก์ชันสเกลาร์ตามเส้นโค้งถ่วงน้ำหนักด้วยอัตราเร็ว
เวกเตอร์ ∫F·dr	\(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)	อินทิกรัลดอทโปรดักต์ใช้วัดงานหรือการไหลเวียน
ความยาวส่วนโค้ง	\(L = \int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt\)	ความยาวรวมของเส้นโค้งพารามิเตอร์
สนามอนุรักษ์	\(\int_C \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{r}(b)) - \phi(\mathbf{r}(a))\)	ทฤษฎีบทหลักมูลของอินทิกรัลตามเส้น

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณอินทิกรัลตามเส้น

เลือกประเภทอินทิกรัล: เลือก "∫f ds" สำหรับอินทิกรัลตามเส้นแบบสเกลาร์ หรือ "∫F·dr" สำหรับอินทิกรัลตามเส้นแบบเวกเตอร์ (งาน/การไหลเวียน)
เลือกมิติ: เลือก 2D หรือ 3D ขึ้นอยู่กับเส้นโค้งและสนามของคุณ
ป้อนสนาม: สำหรับอินทิกรัลสเกลาร์ ให้พิมพ์ฟังก์ชัน f(x, y) หรือ f(x, y, z) สำหรับอินทิกรัลเวกเตอร์ ให้ป้อนแต่ละส่วนประกอบ P, Q และ R
กำหนดเส้นโค้งพารามิเตอร์: ป้อน x(t), y(t) และ z(t) (ถ้ามี) โดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน — cos(t), t^2, sin(t) เป็นต้น
ตั้งค่าขอบเขต: ป้อนค่าเริ่มต้นและค่าสิ้นสุดของ t คุณสามารถใช้นิพจน์เช่น pi หรือ 2*pi ได้
คลิก คำนวณ เพื่อดูวิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอน, ผลลัพธ์ตัวเลข, ความยาวส่วนโค้ง และแอนิเมชันเส้นโค้ง

เส้นโค้งพารามิเตอร์ที่พบบ่อย

เส้นโค้ง	สมการพารามิเตอร์	ขอบเขต
วงกลม (รัศมี R)	x = R cos(t), y = R sin(t)	t ∈ [0, 2π]
ส่วนของเส้นตรง A→B	r(t) = (1−t)A + tB	t ∈ [0, 1]
พาราโบลา y = x²	x = t, y = t²	t ∈ [a, b]
เกลียว (Helix)	x = cos(t), y = sin(t), z = t	t ∈ [0, 2π]
วงรี	x = a cos(t), y = b sin(t)	t ∈ [0, 2π]

การทำความเข้าใจผลลัพธ์

เครื่องคำนวณจะแสดงข้อมูลหลายส่วนในผลลัพธ์:

ค่าอินทิกรัล (Integral Value): ผลลัพธ์ในรูปสัญลักษณ์ที่แม่นยำ (ถ้าเป็นไปได้) และค่าประมาณทางตัวเลข
ความยาวส่วนโค้ง (Arc Length): ความยาวรวมของเส้นโค้ง คำนวณจาก \(\int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\)
อัตราเร็ว |r'(t)|: ขนาดของเวกเตอร์ความเร็ว ซึ่งทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบความยาวส่วนโค้ง
การตรวจสอบสนามอนุรักษ์: สำหรับอินทิกรัลเวกเตอร์ เครื่องคำนวณจะตรวจสอบว่า ∇×F = 0 (สนามเป็นสนามอนุรักษ์) หรือไม่ ซึ่งสนามอนุรักษ์จะมีค่าอินทิกรัลที่ไม่ขึ้นกับเส้นทาง
การแสดงภาพเส้นโค้ง: กราฟแอนิเมชันของเส้นโค้งพารามิเตอร์ที่แสดงทิศทางของการเคลื่อนที่พร้อมจุดที่วิ่งตามเส้นทาง

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

อินทิกรัลตามเส้นคืออะไร?

อินทิกรัลตามเส้นคือการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันตามแนวเส้นโค้ง สำหรับสนามสเกลาร์ จะเป็นการรวมค่าของ f โดยถ่วงน้ำหนักด้วยความยาวส่วนโค้ง (∫f ds) สำหรับสนามเวกเตอร์ จะเป็นการรวมส่วนประกอบของ F ตามทิศทางของเส้นสัมผัส (∫F·dr) ซึ่งมักตีความว่าเป็นงานที่ทำโดยสนามแรง

อินทิกรัลตามเส้นแบบสเกลาร์และแบบเวกเตอร์ต่างกันอย่างไร?

อินทิกรัลตามเส้นแบบสเกลาร์ ∫_C f ds จะอินทิเกรตฟังก์ชันสเกลาร์ f ตามแนวเส้นโค้งโดยถ่วงน้ำหนักด้วยองค์ประกอบความยาวส่วนโค้ง ds ให้ค่าสะสมรวมของ f ตลอดเส้นทาง ส่วนอินทิกรัลตามเส้นแบบเวกเตอร์ ∫_C F·dr จะอินทิเกรตสนามเวกเตอร์ F ตามแนวเส้นโค้งโดยการดอทโปรดักต์กับเวกเตอร์สัมผัส dr เพื่อวัดว่า F ผลักไปตามทิศทางของเส้นโค้งมากน้อยเพียงใด อินทิกรัลสเกลาร์ใช้สำหรับปัญหาเรื่องมวลและค่าเฉลี่ย ส่วนอินทิกรัลเวกเตอร์ใช้คำนวณงานและการไหลเวียน

วิธีการสร้างสมการพารามิเตอร์สำหรับอินทิกรัลตามเส้นทำอย่างไร?

เส้นโค้งพารามิเตอร์ r(t) จะแสดงแต่ละพิกัดเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ตัวเดียว t ตัวอย่างเช่น วงกลมรัศมี R สามารถเขียนในรูปพารามิเตอร์ได้เป็น x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t) โดยที่ t จาก 0 ถึง 2π สูตรอินทิกรัลตามเส้นจะเปลี่ยนอินทิกรัลบนเส้นโค้งให้เป็นอินทิกรัลจำกัดเขตมาตรฐานบนตัวแปร t

อินทิกรัลตามเส้นของเวกเตอร์จะไม่ขึ้นกับเส้นทางเมื่อใด?

อินทิกรัลตามเส้นของเวกเตอร์จะไม่ขึ้นกับเส้นทางเมื่อสนามเวกเตอร์ F เป็นสนามอนุรักษ์ ซึ่งหมายความว่าค่าเคิร์ล (curl) ของมันเป็นศูนย์ทุกที่ในโดเมนที่เชื่อมโยงกันอย่างง่าย ในกรณีนั้น F จะเท่ากับเกรเดียนต์ของฟังก์ชันศักย์ φ และอินทิกรัลจะขึ้นอยู่กับค่าของ φ ที่จุดปลายเท่านั้น ไม่ขึ้นกับเส้นทางเฉพาะที่ใช้ เครื่องคำนวณจะตรวจสอบเงื่อนไขนี้ให้โดยอัตโนมัติ

ความหมายทางกายภาพของอินทิกรัลตามเส้นคืออะไร?

ในทางกายภาพ อินทิกรัลตามเส้นแบบสเกลาร์สามารถแทนมวลของเส้นลวดที่มีความหนาแน่นแปรผัน หรือความร้อนรวมตลอดเส้นทาง ส่วนอินทิกรัลตามเส้นแบบเวกเตอร์มักแทนงานที่ทำโดยสนามแรงบนอนุภาคที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง หรือการไหลเวียนของสนามความเร็วของของไหลรอบวงปิด ในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า อินทิกรัลตามเส้นจะปรากฏในกฎของแอมแปร์และกฎของฟาราเดย์

เครื่องคำนวณยอมรับสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์แบบใดบ้าง?

ใช้สัญลักษณ์คณิตศาสตร์มาตรฐาน: ^ สำหรับเลขยกกำลัง (x^2), * สำหรับการคูณ (2*x แม้ว่าการคูณแบบละเครื่องหมายอย่าง 2x จะใช้ได้เช่นกัน) และชื่อฟังก์ชันมาตรฐานเช่น sin, cos, tan, exp, log, sqrt สำหรับขอบเขตพารามิเตอร์ คุณสามารถป้อนนิพจน์เช่น pi, 2*pi หรือค่าตัวเลขได้

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณอินทิกรัลตามเส้น" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณอินทิกรัลตามเส้น/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-08

มี Developer API ให้ใช้งาน: เรียกใช้เครื่องมือนี้จากแอป ระบบอัตโนมัติ หรือเอเจนต์ของคุณด้วยคำขอ JSON HTTP หนึ่งครั้ง ดูเอกสาร API

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.