ตั้งแต่ปี 2010 · รองรับการใช้งานเครื่องมือกว่า 2 ล้านครั้งต่อเดือน
ตั้งแต่ปี 2010
เพิ่มใน Chrome

กล่องเครื่องมือของฉัน

โหมดอัตโนมัติ

ยังไม่มีเครื่องมือที่บันทึกไว้

อัปเกรดเป็นเวอร์ชันพรีเมียม
เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง
ขั้นตอนถัดไป
เครื่องคำนวณพื้นผิวของการหมุน
เครื่องมือเพิ่มเติม
เครื่องคำนวณปริมาตรและจำนวนปลาในตู้ปลาเครื่องคำนวณอินทิกรัลไม่ตรงแบบเครื่องคำนวณกฎสี่เหลี่ยมคางหมูเครื่องคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย
หน้าแรก > คณิตศาสตร์ > แคลคูลัส
 

เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน

เครื่องคำนวณปริมาตรของแข็งจากการหมุนของ MiniWebtool จำลองรูปทรงที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้ง เลือกวิธีจาน แหวน หรือเปลือก ป้อนฟังก์ชันและขอบเขต แล้วตรวจการตั้งอินทิกรัลพร้อมภาพสามมิติ

ไม่แน่ใจว่าใช้อย่างไร? ถาม AI
Gemini (คัดลอกและเปิด)

เมื่อใช้ Gemini ให้วางคำถามที่คัดลอกลงในแชต คุณคัดลอกคำถามด้านล่างได้เช่นกัน

ดูคำถาม

ใช้ฟรีวันละ 3 ครั้งไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที
เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุนลองใช้เลย — ฟรี ▼
หมุนบริเวณรอบแกนแล้วรวมแผ่นจานบาง ๆ: V = ∫πf(x)²dx

เลือกวิธีแผ่นจาน วิธีแหวน หรือวิธีเปลือกทรงกระบอกด้านล่าง แล้วกรอกฟังก์ชัน ขอบเขต และแกนหมุน เพื่อหาปริมาตรพร้อมขั้นตอนและภาพ 3 มิติของทรงตัน

ลองเลย:
ตัวอย่างเส้นโค้ง
📐 ฟังก์ชัน
รองรับ: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
พื้นที่ระหว่าง f(x) และ g(x) จะถูกหมุน
📏 ขอบเขตการอินทิเกรต
🔄 แกนหมุน
y = k (disk/washer) หรือ x = k (shell)

Embed เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน

เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน จะคำนวณปริมาตรของรูปทรงสามมิติที่เกิดจากการหมุนพื้นที่สองมิติรอบแกนหมุน นี่เป็นหนึ่งในการประยุกต์ใช้ที่สำคัญที่สุดของแคลคูลัสการอินทิเกรต ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านวิศวกรรม ฟิสิกส์ และการผลิตเพื่อหาปริมาตรของวัตถุที่มีความสมมาตรของการหมุน ตั้งแต่กระบอกสูบเครื่องยนต์ไปจนถึงจานดาวเทียม

สรุปภาพรวม

เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน หาปริมาตรทรงตันที่เกิดจากการหมุนบริเวณหนึ่งรอบแกน โดยใช้วิธีแผ่นจาน แหวน หรือเปลือกทรงกระบอก ป้อนฟังก์ชันและขอบเขตแล้วดูการตั้งอินทิกรัลได้

เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน: ฟีเจอร์โดยสรุป
ฟีเจอร์สิ่งที่ได้รับเหมาะสำหรับ
สามวิธีวิธีแผ่นจานใช้กับเส้นโค้งเดียว วิธีแหวนใช้กับบริเวณระหว่างเส้นโค้งสองเส้น และวิธีเปลือกใช้เปลือกทรงกระบอกหมุนรอบแกนโจทย์แคลคูลัสเกี่ยวกับทรงตันจากการหมุน
ป้อนฟังก์ชันพิมพ์ f(x) และ g(x) สำหรับวิธีแหวน รองรับพหุนาม ตรีโกณมิติ ตรีโกณผกผัน exp, ln, log, sqrt, pi และ eป้อนเส้นโค้งตามรูปแบบในโจทย์
ขอบเขตกำหนดขอบเขตล่าง a และขอบเขตบน b ของอินทิกรัลบริเวณที่มีขอบเขตเฉพาะ เช่น 0 ถึง 2
แกนหมุนหมุนรอบแกน x แกน y หรือค่าแกนที่กำหนดเอง เช่น -1 หรือ 3โจทย์ที่หมุนรอบเส้นอื่นนอกเหนือจากแกน
ขั้นตอนและเปรียบเทียบแสดงสูตรอินทิกรัลโดยแทนค่าของคุณและเปรียบเทียบทั้งสามวิธีดูว่าเหตุใดวิธีหนึ่งจึงง่ายกว่าในกรณีที่กำหนด
โปรไฟล์และทรงตัน 3Dสลับระหว่างโปรไฟล์ 2D และทรงตัน 3D พร้อมตัวเลือก Animateเห็นรูปทรงก่อนเชื่อค่าตัวเลข
ตัวอย่างค่าที่ตั้งไว้ปุ่มโหลดตัวอย่างแผ่นจาน x², sin(x), พาราโบลาราก √x, แหวน x เทียบ x² และเปลือก x²เรียนรู้แต่ละวิธีจากตัวอย่างที่ทำแล้ว

สามวิธีการคำนวณ

⊚
วิธี Disk
การวางแผ่นวงกลมที่บางมากซ้อนกันในแนวตั้งฉากกับแกนหมุน เหมาะสำหรับเส้นโค้งเดี่ยวที่หมุนรอบแกน x: \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \)
◎
วิธี Washer
เหมือนกับวิธี Disk แต่มีรูตรงกลาง สำหรับพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น: \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \)
◌
วิธี Shell
การห่อหุ้มเปลือกทรงกระบอกรอบแกนหมุน เหมาะสำหรับการหมุนรอบแกน y: \( V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \)

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน

  1. เลือกวิธีการ — เลือก Disk, Washer หรือ Shell ขึ้นอยู่กับโจทย์ของคุณ
  2. ป้อนฟังก์ชัน — พิมพ์ฟังก์ชัน f(x) ของคุณโดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน (เช่น x^2, sqrt(x), sin(x)) สำหรับวิธี Washer ให้ป้อนฟังก์ชันภายใน g(x) ด้วย
  3. กำหนดขอบเขต — ป้อนขอบเขตล่าง (a) และขอบเขตบน (b) ของการอินทิเกรต
  4. เลือกแกนหมุน — เลือกจากแกน x, แกน y หรือป้อนค่าแกนที่กำหนดเอง
  5. คลิก คำนวณปริมาตร — ดูผลลัพธ์พร้อมสูตร MathJax ทีละขั้นตอน การแสดงภาพ 3 มิติแบบโต้ตอบ และการเปรียบเทียบทั้งสามวิธี

ควรใช้วิธีใดเมื่อใด

เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน: ควรใช้วิธีใดเมื่อใด
สถานการณ์วิธีที่เหมาะสมที่สุดเหตุผล
เส้นโค้งเดี่ยวหมุนรอบแกน xDiskตั้งค่าง่ายที่สุด — ต้องการเพียง f(x)
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น หมุนรอบแกน xWasherจัดการรัศมีภายนอกและภายในได้โดยตรง
เส้นโค้งหมุนรอบแกน yShellหลีกเลี่ยงการหาอินเวอร์สของ f(x) เพื่อแสดง x ในรูปของ y
ฟังก์ชันยากต่อการหาอินเวอร์สShellไม่จำเป็นต้องแก้สมการหา x ในเทอมของ y
แกนหมุนเป็นแนวนอนDisk/Washerแผ่นวงกลมจะตั้งฉากกับแกนแนวนอน
แกนหมุนเป็นแนวตั้งShellเปลือกทรงกระบอกจะล้อมรอบแกนแนวตั้งอย่างเป็นธรรมชาติ

ตัวอย่างที่พบบ่อย

เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน: ตัวอย่างที่พบบ่อย
รูปทรงฟังก์ชันขอบเขตปริมาตร
กรวยf(x) = x[0, r]\( \frac{1}{3}\pi r^3 \)
ทรงกลมf(x) = √(r² − x²)[−r, r]\( \frac{4}{3}\pi r^3 \)
พาราโบลอยด์f(x) = √x[0, h]\( \frac{1}{2}\pi h^2 \)
ทอรัส (วงแหวน)Washer พร้อมแกนออฟเซ็ตวงกลม\( 2\pi^2 R r^2 \)

ฟังก์ชันที่รองรับ

เครื่องคำนวณนี้ยอมรับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย:

คำถามที่พบบ่อย

ปริมาตรของการหมุนคืออะไร?

ปริมาตรของการหมุน (หรือรูปทรงแข็งของการหมุน) คือปริมาตรของวัตถุ 3 มิติที่สร้างขึ้นโดยการหมุนเส้นโค้งหรือพื้นที่ 2 มิติรอบแกนหมุน คำนวณโดยใช้แคลคูลัสการอินทิเกรตด้วยวิธี Disk, Washer หรือ Shell ตัวอย่างในโลกแห่งความเป็นจริงที่พบบ่อย ได้แก่ ขวด, ชาม, แจกัน และลูกสูบเครื่องยนต์

ควรใช้วิธี Disk เทียบกับวิธี Shell เมื่อใด?

ใช้วิธี Disk เมื่อแกนหมุนขนานกับตัวแปรของการอินทิเกรต (โดยทั่วไปคือการหมุนรอบแกน x ด้วยฟังก์ชันของ x) ใช้วิธี Shell เมื่อแกนหมุนตั้งฉากกับตัวแปรของการอินทิเกรต (โดยทั่วไปคือการหมุนรอบแกน y ด้วยฟังก์ชันของ x) วิธี Shell มักจะง่ายกว่าเมื่อฟังก์ชันยากต่อการหาอินเวอร์ส

วิธี Washer คืออะไร?

วิธี Washer เป็นส่วนขยายของวิธี Disk สำหรับพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งสองเส้น โดยจะลบปริมาตรของรูปทรงภายในออกจากรูปทรงภายนอกโดยใช้สูตร \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \) โดยที่ R(x) คือรัศมีภายนอก และ r(x) คือรัศมีภายใน

จะเลือกแกนหมุนได้อย่างไร?

แกนที่พบบ่อยที่สุดคือแกน x (y = 0) และแกน y (x = 0) คุณยังสามารถหมุนรอบเส้นแนวนอน y = k หรือเส้นแนวตั้ง x = k ได้ด้วย การเลือกแกนจะมีผลต่อการเลือกวิธีที่สะดวกที่สุดและเปลี่ยนนิพจน์ของรัศมีในอินทิกรัล

เครื่องคำนวณนี้รองรับฟังก์ชันใดบ้าง?

เครื่องคำนวณนี้รองรับพหุนาม (x^2, x^3), ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin, cos, tan), ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม (exp, ln, log), รากที่สอง (sqrt) และการรวมกันด้วยตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน ใช้ x เป็นตัวแปร

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-04

พูดคุยกับ AI ที่คุณชื่นชอบ

Gemini (คัดลอกและเปิด)

เมื่อใช้ Gemini ให้วางคำถามที่คัดลอกลงในแชต คุณคัดลอกคำถามด้านล่างได้เช่นกัน

ดูคำถาม

แคลคูลัส:

ตัวช่วยแก้โจทย์คณิตศาสตร์คุณต้องการคำนวณอะไร?

ตัวช่วยแก้โจทย์คณิตศาสตร์

ตัวอย่าง
ดูตัวอย่างนิพจน์เพิ่มเติม

เลือกตัวอย่าง แก้ไขตัวเลข แล้วคำนวณ log ใช้ฐาน 10 ส่วน ln คือลอการิทึมธรรมชาติ

จำนวนและตัวประกอบ

เศษส่วนและการหาร

เลขยกกำลัง ราก และลอการิทึม

พีชคณิตและสมการ

แคลคูลัส

เรขาคณิตและตรีโกณมิติ

เครื่องมือยอดนิยมและอัปเดตล่าสุด:

เครื่องคิดเลขปริมาตรกระบอกสูบ ความแม่นยำสูงเครื่องคำนวณปริมาตรทรงกลม ความแม่นยำสูงเครื่องคำนวณปริมาตรปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความแม่นยำสูงดูทั้งหมด →
หน้าแรก > คณิตศาสตร์ > แคลคูลัส > เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน