เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์
คำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ 2 มิติ หรือ 3 มิติ โดยใช้สูตรดอตโปรดักต์ cos(θ) = (a·b)/(|a||b|) รับวิธีทำแบบละเอียด ผลลัพธ์ทั้งในหน่วยองศาและเรเดียน แผนภาพเวกเตอร์แบบโต้ตอบ และการตีความทางเรขาคณิต
ตัวบล็อกโฆษณาของคุณทำให้เราไม่สามารถแสดงโฆษณาได้
MiniWebtool ให้ใช้งานฟรีเพราะมีโฆษณา หากเครื่องมือนี้ช่วยคุณได้ โปรดสนับสนุนเราด้วย Premium (ไม่มีโฆษณา + เร็วขึ้น) หรืออนุญาต MiniWebtool.com แล้วรีโหลดหน้าเว็บ
- หรืออัปเกรดเป็น Premium (ไม่มีโฆษณา)
- อนุญาตโฆษณาสำหรับ MiniWebtool.com แล้วรีโหลด
เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์
เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ใช้สำหรับหามุมระหว่างสองเวกเตอร์ในรูปแบบ 2D หรือ 3D โดยใช้สูตรผลคูณจุด \(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) เพียงป้อนส่วนประกอบของเวกเตอร์เพื่อรับมุมในหน่วยองศาและเรเดียนทันที พร้อมการแก้ปัญหาทีละขั้นตอน ขนาดเวกเตอร์ ผลคูณจุด เวกเตอร์หนึ่งหน่วย การฉาย การตีความทางเรขาคณิต และแผนภาพแบบโต้ตอบที่สามารถเปิดปิดเลเยอร์ได้
สูตรมุมผลคูณจุด
มุม \(\theta\) ระหว่างสองเวกเตอร์ \(\vec{a}\) และ \(\vec{b}\) มาจากเอกลักษณ์ของผลคูณจุด:
$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$
โดยที่:
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n\) คือ ผลคูณจุด (dot product)
- \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2}\) คือ ขนาด (magnitude) ของเวกเตอร์ a
- \(\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)\) จะให้ค่ามุมระหว่าง 0° ถึง 180°
การทำความเข้าใจเครื่องหมายของผลคูณจุด
การประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง
สูตรสำคัญ
| สูตร | นิพจน์ | คำอธิบาย |
|---|---|---|
| ผลคูณจุด (2D) | \(a_1 b_1 + a_2 b_2\) | ผลรวมของผลคูณตามส่วนประกอบ |
| ผลคูณจุด (3D) | \(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\) | ขยายเป็นสามส่วนประกอบ |
| ขนาด | \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) | ความยาว (norm) ของเวกเตอร์ |
| มุม | \(\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)\) | อยู่ระหว่าง 0° ถึง 180° เสมอ |
| Cosine Similarity | \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) | เหมือนกับ cos θ — มีค่าตั้งแต่ −1 ถึง 1 |
| การฉายเวกเตอร์ | \(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\) | ส่วนประกอบของ a ตามแนว b |
วิธีใช้เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์
- ป้อนเวกเตอร์ a: พิมพ์ส่วนประกอบคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ใช้ 2 ส่วนประกอบสำหรับ 2D (เช่น 3, 4) หรือ 3 ส่วนประกอบสำหรับ 3D (เช่น 1, 2, 3) คลิกตัวอย่างด่วนเพื่อเติมข้อมูลอัตโนมัติทั้งสองช่อง
- ป้อนเวกเตอร์ b: พิมพ์ส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่สองในมิติเดียวกับเวกเตอร์ a
- ดูตัวอย่างสด: แผนภาพจะอัปเดตแบบเรียลไทม์ แสดงทั้งเวกเตอร์และมุมที่คำนวณได้ในขณะที่คุณพิมพ์
- คลิกคำนวณ: กดปุ่มเพื่อรับผลลัพธ์ฉบับเต็ม รวมถึงมุมในหน่วยองศาและเรเดียน วิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอน ปริมาณที่เกี่ยวข้องทั้งหมด และแผนภาพแบบโต้ตอบ
- สำรวจแผนภาพ: เปิดปิดเลเยอร์ (ส่วนโค้งมุม, การฉาย, ตาราง, ป้ายกำกับ) เพื่อการแสดงผลที่แตกต่างกัน สำหรับเวกเตอร์ 3D ให้ลากเพื่อหมุนมุมมอง
เวกเตอร์ 2D เทียบกับ 3D
สูตรมุมผลคูณจุดทำงานเหมือนกันทุกประการทั้งใน 2D และ 3D — ต่างกันเพียงจำนวนส่วนประกอบเท่านั้น ใน 2D เวกเตอร์จะมีส่วนประกอบ (x, y) และแผนภาพจะแสดงระนาบ Cartesian แบบแบนพร้อมส่วนโค้งมุมที่ชัดเจน ใน 3D เวกเตอร์จะมีส่วนประกอบ (x, y, z) และแผนภาพจะมีมุมมองไอโซเมตริกที่โต้ตอบและหมุนได้ หลักการทางคณิตศาสตร์ยังเหมือนเดิม: คำนวณผลคูณจุด หารด้วยผลคูณของขนาด และหาค่า arccosine
FAQ
อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:
"เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-10
คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.
เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:
พีชคณิตเชิงเส้น:
- เครื่องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์
- เครื่องคิดเลขค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
- เครื่องคิดเลขเมทริกซ์
- เครื่องคำนวณการแยกเศษส่วนบางส่วน
- เครื่องคิดเลขเวกเตอร์
- เครื่องคำนวณแกรม-ชมิดท์
- เครื่องคำนวณการฉายเวกเตอร์
- เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ์
- เครื่องคำนวณการแยกค่าเอกฐาน SVD
- เครื่องคำนวณอันดับเมทริกซ์
- เครื่องคำนวณเทรซเมทริกซ์
- เครื่องคำนวณเมทริกซ์จาโคเบียน ใหม่
- เครื่องคำนวณ RREF (รูปแบบขั้นบันได) ใหม่
- เครื่องคำนวณเมทริกซ์ผกผัน ใหม่
- เครื่องคำนวณการคูณเมทริกซ์ ใหม่
- เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์ ใหม่
- เครื่องคำนวณผลคูณเวกเตอร์ ใหม่
- เครื่องคำนวณขนาดเวกเตอร์ ใหม่
- เครื่องคำนวณเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ใหม่
- เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ ใหม่
- เครื่องคำนวณปริภูมิว่าง ใหม่
- เครื่องคำนวณปริภูมิคอลัมน์ ใหม่
- เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์ ใหม่
- เครื่องคำนวณการทแยงมุมเมทริกซ์ ใหม่
- เครื่องคำนวณการแยก QR ใหม่
- เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบโชเลสกี ใหม่
- เครื่องคำนวณยกกำลังเมทริกซ์ ใหม่
- เครื่องคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ ใหม่
- เครื่องคำนวณรูปแบบปกติของจอร์แดน ใหม่
- เครื่องคำนวณเลขชี้กำลังเมทริกซ์ ใหม่
- เครื่องคำนวณผลคูณเทนเซอร์ ใหม่