เครื่องคำนวณผลรวมอนุกรมอนันต์

คำนวณผลรวมที่แน่นอนของอนุกรมอนันต์ที่ลู่เข้า รวมถึงอนุกรมเรขาคณิต, เทเลสโกปิก, อนุกรมพี และอนุกรมพิเศษที่รู้จักกันดี รับบทพิสูจน์การลู่เข้าแบบทีละขั้นตอนพร้อมการแสดงภาพรวมส่วนย่อยแบบเคลื่อนไหว

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที

เครื่องคำนวณผลรวมอนุกรมอนันต์ลองใช้เลย — ฟรี ▼

ลองเลย:

อนุกรมเรขาคณิต

$$\sum_{n=0}^{\infty} a \cdot r^n$$

ผลรวม = a/(1−r) เมื่อ |r| < 1 เป็นอนุกรมลู่เข้าพื้นฐานที่สุด

อนุกรมพี

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

ลู่เข้าเมื่อ p > 1 รวมถึงปัญหาบาเซิล (p=2) = π²/6

อนุกรมเทเลสโกปิก

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+k)}$$

เทเลสโกปิกผ่านเศษส่วนย่อย สำหรับ k=1: ผลรวม = 1

ฮาร์มอนิกสลับ

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln(2)$$

อนุกรมฮาร์มอนิกสลับ ผลรวม = ln(2) ≈ 0.6931

สูตรไลบ์นิซ (π/4)

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$$

สูตรไลบ์นิซ ผลรวม = π/4 ≈ 0.7854 การลู่เข้าช้า

ปัญหาบาเซิล (π²/6)

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

ปัญหาบาเซิลที่แก้โดยออยเลอร์ ผลรวม = π²/6 ≈ 1.6449

เอกซ์โพเนนเชียล (e)

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e$$

อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับ e ลู่เข้าเร็วมาก

เรขาคณิต (จุดเริ่มกำหนดเอง)

$$\sum_{n=N}^{\infty} a \cdot r^n$$

อนุกรมเรขาคณิตที่มีดัชนีเริ่มต้น N ตามกำหนด

อนุกรมพีสลับ

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^p}$$

ฟังก์ชันดีรีชเล เอตา สำหรับ p=1 → ln(2), p=2 → π²/12

เอกซ์โพเนนเชียล eˣ

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$$

อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับ eˣ ลู่เข้าสำหรับทุกค่า x

Embed เครื่องคำนวณผลรวมอนุกรมอนันต์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณผลรวมอนุกรมอนันต์

เครื่องคำนวณผลรวมอนุกรมอนันต์ คำนวณผลรวมที่แน่นอนของอนุกรมอนันต์ที่ลู่เข้า เครื่องมือนี้รองรับอนุกรมเรขาคณิต, อนุกรม p, อนุกรมเทเลสโคปิก และอนุกรมพิเศษที่มีชื่อเสียง เช่น ปัญหาบาเซิล, สูตรไลบ์นิซสำหรับ π และอนุกรมฮาร์มอนิกสลับ การคำนวณแต่ละครั้งจะประกอบด้วยการพิสูจน์การลู่เข้าทีละขั้นตอน, การแสดงภาพการลู่เข้าของผลรวมย่อยแบบแอนิเมชัน และตารางผลรวมย่อยโดยละเอียด

ประเภทอนุกรมที่รองรับ

∞

เรขาคณิต

a + ar + ar² + … = a/(1−r)

อนุกรม p

Σ 1/nᵖ, ลู่เข้าถ้า p > 1

⟿

เทเลสโคปิก

Σ 1/n(n+k), เศษส่วนย่อย

อนุกรมสลับ

Σ (−1)ⁿ⁺¹/n = ln(2)

ไลบ์นิซ

Σ (−1)ⁿ/(2n+1) = π/4

ℯ

เอกซ์โพเนนเชียล

Σ 1/n! = e ≈ 2.718

สูตรที่สำคัญ

อนุกรม	สูตร	เงื่อนไข
เรขาคณิต	$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$	\|r\| < 1
อนุกรม p	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = \zeta(p)$	p > 1
เทเลสโคปิก	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$	ลู่เข้าเสมอ
ปัญหาบาเซิล	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$	อนุกรม p โดยที่ p = 2
ไลบ์นิซ	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$	อนุกรมสลับ
ฮาร์มอนิกสลับ	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln(2)$	การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข
เอกซ์โพเนนเชียล	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$	ทุกค่า x ∈ ℝ

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณผลรวมอนุกรมอนันต์

เลือกประเภทของอนุกรม: คลิกที่การ์ดอนุกรมเพื่อเลือก หรือใช้ปุ่มตัวอย่างด่วนสำหรับอนุกรมยอดนิยม ใช้แท็บหมวดหมู่เพื่อกรองระหว่างอนุกรมคลาสสิกและอนุกรมพิเศษ
กรอกพารามิเตอร์: หากอนุกรมต้องการพารามิเตอร์ (เช่น อัตราส่วนร่วม r สำหรับอนุกรมเรขาคณิต หรือเลขชี้กำลัง p สำหรับอนุกรม p) ให้กรอกในช่องป้อนข้อมูล มีค่าเริ่มต้นให้แล้ว
คลิก คำนวณผลรวม: กดปุ่มสีม่วง "คำนวณผลรวม" เพื่อคำนวณผลลัพธ์
ตรวจสอบผลลัพธ์: ดูค่าผลรวมที่แน่นอน, กราฟการลู่เข้าของผลรวมย่อยแบบแอนิเมชัน, การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ทีละขั้นตอน และตารางผลรวมย่อยโดยละเอียด

ทำความเข้าใจกับการลู่เข้า

อนุกรมอนันต์ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ลู่เข้า (converges) หากลำดับของผลรวมย่อย $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ เข้าใกล้ค่าขีดจำกัดที่จำกัดค่าหนึ่งเมื่อ N → ∞ กราฟแอนิเมชันในเครื่องคำนวณของเราจะแสดงการลู่เข้านี้ให้เห็นภาพ — คุณสามารถดูผลรวมย่อยที่เข้าใกล้เส้นประซึ่งเป็นค่าขีดจำกัดได้

การทดสอบการลู่เข้าที่สำคัญ:

การทดสอบอนุกรมเรขาคณิต: Σ arⁿ ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ |r| < 1
การทดสอบอนุกรม p: Σ 1/nᵖ ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ p > 1
การทดสอบอนุกรมสลับ (ไลบ์นิซ): Σ (−1)ⁿbₙ ลู่เข้าหาก bₙ มีค่าลดลงและเข้าใกล้ 0
การทดสอบอัตราส่วน (Ratio Test): หาก lim|aₙ₊₁/aₙ| < 1 อนุกรมจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์
การทดสอบปริพันธ์: เปรียบเทียบอนุกรมกับอินทิกรัลไม่ตรงแบบ

ผลลัพธ์ที่มีชื่อเสียงในการหาผลรวมอนุกรม

อนุกรมอนันต์หลายชุดมีผลรวมที่แน่นอนที่น่าประหลาดใจและสวยงาม:

ปัญหาบาเซิล (1734): ออยเลอร์พิสูจน์ว่า 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π²/6 ซึ่งเชื่อมโยงผลรวมของส่วนกลับกำลังสองเข้ากับค่า π
สูตรไลบ์นิซ (1674): อนุกรมสลับ 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … = π/4 ซึ่งเป็นหนึ่งในนิพจน์ที่ง่ายที่สุดสำหรับ π
ค่าคงตัวของออยเลอร์: อนุกรม 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + … = e ≈ 2.71828 ซึ่งลู่เข้าอย่างรวดเร็วมาก
อนุกรมฮาร์มอนิกสลับ: 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … = ln(2) แม้ว่าอนุกรมฮาร์มอนิกปกติจะลู่ออกก็ตาม

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

ผลรวมอนุกรมอนันต์คืออะไร?

ผลรวมอนุกรมอนันต์คือผลลัพธ์จากการบวกพจน์จำนวนนับไม่ถ้วนในลำดับ หากผลรวมย่อยเข้าใกล้ตัวเลขจำนวนจำกัดหนึ่ง อนุกรมนั้นจะเรียกว่าลู่เข้า และตัวเลขนั้นคือผลรวมของมัน ตัวอย่างเช่น 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2 คืออนุกรมเรขาคณิตที่ลู่เข้า

อนุกรมอนันต์จะลู่เข้าเมื่อใด?

อนุกรมอนันต์จะลู่เข้าเมื่อผลรวมย่อยเข้าใกล้ค่าจำกัดหนึ่ง การทดสอบที่แตกต่างกันจะกำหนดการลู่เข้า: การทดสอบอัตราส่วน, การทดสอบราก, การทดสอบอนุกรม p, การทดสอบอนุกรมสลับ และอื่นๆ เงื่อนไขที่จำเป็น (แต่ไม่เพียงพอ) คือพจน์ต่างๆ ต้องเข้าใกล้ศูนย์ — อนุกรมฮาร์มอนิก 1 + 1/2 + 1/3 + … ลู่ออกแม้ว่าพจน์ต่างๆ จะเข้าใกล้ศูนย์ก็ตาม

ผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตคืออะไร?

ผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ a + ar + ar² + … เท่ากับ a/(1−r) เมื่อค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วม r น้อยกว่า 1 หาก |r| ≥ 1 อนุกรมจะลู่ออก ตัวอย่างเช่น 1 + 1/2 + 1/4 + … = 1/(1−0.5) = 2

ปัญหาบาเซิลคืออะไร?

ปัญหาบาเซิลถามหาผลรวมที่แน่นอนของส่วนกลับของกำลังสอง: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … ออยเลอร์แก้ปัญหานี้ได้ในปี 1734 โดยพิสูจน์ว่าผลรวมเท่ากับ π²/6 (ประมาณ 1.6449) นี่เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในทฤษฎีจำนวนและการวิเคราะห์

อนุกรมเทเลสโคปิกคืออะไร?

อนุกรมเทเลสโคปิกคืออนุกรมที่พจน์ที่อยู่ติดกันหักล้างกันเอง เหลือเพียงพจน์จำนวนจำกัดในผลรวมย่อย ตัวอย่างเช่น อนุกรม Σ 1/(n(n+1)) สามารถเขียนเป็น 1/n − 1/(n+1) โดยใช้เศษส่วนย่อย และพจน์ส่วนใหญ่จะหักล้างกัน ให้ผลรวมเท่ากับ 1

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณผลรวมอนุกรมอนันต์" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณผลรวมอนุกรมอนันต์/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตล่าสุด: 2026-04-06

มี Developer API ให้ใช้งาน: เรียกใช้เครื่องมือนี้จากแอป ระบบอัตโนมัติ หรือเอเจนต์ของคุณด้วยคำขอ JSON HTTP หนึ่งครั้ง ดูเอกสาร API

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.