Inclusion-Exclusion Principle คืออะไร?

Inclusion-Exclusion Principle หรือหลักการรวม-แยก คือเทคนิคในการหาขนาดของยูเนียนของหลายเซตโดยการนำขนาดของเซตแต่ละเซตมาบวกกัน แล้วลบขนาดของอินเตอร์เซกชันของทุกคู่เซตออก จากนั้นบวกขนาดของอินเตอร์เซกชันของทุกสามเซตกลับเข้าไป และทำเช่นนี้สลับกันไปเรื่อยๆ เพื่อแก้ไขการนับซ้ำ

Venn Diagram คืออะไร?

Venn Diagram หรือแผนภาพเวนน์ คือแผนภาพที่ใช้รูปวงกลมหรือรูปปิดอื่นๆ เพื่อแสดงความสัมพันธ์เชิงตรรกะระหว่างกลุ่มของเซตต่างๆ โดยพื้นที่ที่ทับซ้อนกันแสดงถึงสมาชิกที่เซตเหล่านั้นมีร่วมกัน

เครื่องคำนวณหลักการรวม-แยก

คำนวณขนาดของยูเนียนของเซตสูงสุด 5 เซตโดยใช้หลักการรวม-แยก (Inclusion–Exclusion Principle) ป้อนสมาชิกดิบหรือจำนวนสมาชิกของทุกส่วนตัด — รับการขยายพจน์พร้อมเครื่องหมาย การแสดงภาพแผนภาพเวนน์แบบสด และขนาดของพื้นที่ที่ไม่ซ้อนทับกันทุกส่วน

ตัวอย่างด่วน:

3 เซต · สมาชิก แบบสำรวจในตำรา (3 เซต) 2 เซต · ผลไม้ 4 เซต 5 เซต · สมาชิก

❋ สมาชิก # ขนาดของเซต

ข้อมูลเซต

โหมดสมาชิก: หนึ่งบรรทัดต่อหนึ่งเซต เช่น A: 1, 2, 3 เครื่องคำนวณจะตรวจหาทุกอินเตอร์เซกชันโดยอัตโนมัติ
โหมดขนาดของเซต: หนึ่งขนาดต่อหนึ่งบรรทัด เช่น |A| = 50 และ |A∩B| = 15 อินเตอร์เซกชันใดที่คุณละเว้นจะถือว่าเป็นศูนย์ รองรับรูปแบบ A&B, AB, หรือ |A∩B|

จำนวนเซต

Embed เครื่องคำนวณหลักการรวม-แยก Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณหลักการรวม-แยก

เครื่องคำนวณหลักการรวม-แยก จะคำนวณขนาดของยูเนียนของเซตจำกัด |A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_n| โดยใช้หลักการรวม-แยก (Inclusion-exclusion principle) ซึ่งเป็นหนึ่งในเอกลักษณ์ที่มีการใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในสาขาคอมบิเนทอริกและความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง คุณสามารถป้อนสมาชิกเซตแบบดิบๆ หรือระบุเพียงขนาดของแต่ละอินเตอร์เซกชันที่ทราบ แล้วเครื่องคำนวณจะส่งคืนขนาดยูเนียน, การขยายพจน์แบบมีเครื่องหมายกำกับ, ขนาดของทุกพื้นที่ในแผนภาพเวนน์ และแผนภาพแบบสด สำหรับเซต 2 ถึง 5 เซตพร้อมกัน

หลักการรวม-แยก (The Inclusion-Exclusion Principle)

สำหรับเซตจำกัดสองเซต A และ B การนำขนาดของทั้งสองเซตมาบวกกันจะทำให้เกิดการนับสมาชิกในส่วนที่ซ้อนกันซ้ำสองครั้ง การลบอินเตอร์เซกชันออกจึงเป็นการแก้ไขการนับซ้ำนั้น:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

สำหรับเซตสามเซต การลบอินเตอร์เซกชันแบบคู่ทุกคู่ออกจะทำให้การนับในส่วนที่ทับซ้อนกันสามทางถูกลบออกไปสองครั้ง ดังนั้นเราจึงต้องบวกอินเตอร์เซกชันสามทางกลับเข้าไป:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

โดยทั่วไป สำหรับเซตจำนวน n เซต เครื่องหมายจะสลับกันไปตามขนาดของอินเตอร์เซกชันที่ถูกนับ:

|A₁ ∪ … ∪ A_n| = Σ_{S ≠ ∅} (−1)^|S|+1 · |⋂_{i ∈ S} A_i|

จะมีสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่างจำนวน 2ⁿ − 1 ชุดของ {1, …, n} ดังนั้นสูตรจะมี 3 พจน์สำหรับ 2 เซต, 7 พจน์สำหรับ 3 เซต, 15 พจน์สำหรับ 4 เซต และ 31 พจน์สำหรับ 5 เซต เครื่องคำนวณจะประเมินแต่ละพจน์แยกกันและแสดงเครื่องหมายเพื่อให้คุณสามารถติดตามที่มาที่ไปได้

โหมดอินพุตสองรูปแบบ

เลือกโหมดที่ตรงกับข้อมูลที่คุณมี โจทย์ในตำราเรียนส่วนใหญ่มักจะให้ขนาดของเซต (cardinalities) มาโดยตรง ในขณะที่งานด้านการเขียนโปรแกรมมักจะให้ตัวเซตมาเอง

โหมด	เมื่อใดควรใช้	ตัวอย่างอินพุต
สมาชิก	คุณมีรายการสมาชิกจริงของแต่ละเซต และต้องการหาทุกอินเตอร์เซกชันโดยอัตโนมัติ	`A: 1, 2, 3, 4` `B: 3, 4, 5, 6` `C: 4, 6, 7, 8`
ขนาดของเซต	คุณทราบจำนวนสมาชิกในแต่ละเซตและแต่ละอินเตอร์เซกชัน แต่ไม่ทราบตัวสมาชิกเอง	`\|A\| = 50` `\|B\| = 40` `\|A∩B\| = 15`

ในโหมดขนาดของเซต อินเตอร์เซกชันใดที่คุณละเว้นจะถือว่าเป็นศูนย์ เครื่องหมายคั่นที่ยอมรับสำหรับป้ายกำกับอินเตอร์เซกชัน ได้แก่ A∩B, A&B และ AB โดยสามารถใส่ท่อ (pipes) ล้อมรอบพจน์ได้ (เช่น |A∩B|)

ขนาดพื้นที่ที่ไม่ทับซ้อนกัน — การผกผันโมบิอุส

นอกเหนือจากขนาดยูเนียนแล้ว เครื่องคำนวณยังส่งคืนขนาดของทุก พื้นที่ที่ไม่ทับซ้อนกัน (disjoint region) ของแผนภาพเวนน์ พื้นที่ที่ระบุว่า "อยู่ใน A และ B แต่ไม่อยู่ใน C" จะนับสมาชิกที่เป็นของเซตเหล่านั้น พอดี ผลรวมของขนาดพื้นที่ที่ไม่ทับซ้อนกันทั้งหมดจะเท่ากับยูเนียน ซึ่งเป็นวิธีตรวจสอบความถูกต้องในตัว

|พื้นที่ T| = Σ_{S ⊇ T} (−1)^|S|−|T| · |⋂_{i ∈ S} A_i|

นี่คือคู่การผกผันโมบิอุส (Möbius-inversion dual) ของหลักการรวม-แยก ตัวอย่างเช่น สำหรับสามเซต:

|A เท่านั้น| = |A| − |A∩B| − |A∩C| + |A∩B∩C| |A ∩ B เท่านั้น| = |A∩B| − |A∩B∩C|

หากคุณป้อนขนาดของเซตที่ไม่สอดคล้องกัน เช่น |A∩B| > |A| เครื่องคำนวณจะปฏิเสธข้อมูลนั้น หากขนาดแต่ละส่วนผ่านการตรวจสอบแต่ค่ารวมยังไม่สามารถมาจากเซตจริงได้ พื้นที่หนึ่งหรือหลายส่วนจะมีค่าเป็น ลบ ซึ่งจะถูกแจ้งเตือนเป็นคำเตือน

ตัวอย่างการคำนวณ — แบบสำรวจในชั้นเรียน 3 เซต

นักเรียนในชั้นเรียน 100 คนถูกถามว่าเล่นกีฬาอะไรบ้าง 50 คนเล่นฟุตบอล (A), 40 คนเล่นบาสเกตบอล (B), 30 คนเล่นเทนนิส (C) โดยมี 15 คนเล่นทั้ง A และ B, 10 คนเล่นทั้ง A และ C, 8 คนเล่นทั้ง B และ C และ 3 คนเล่นทั้งสามอย่าง มีนักเรียนกี่คนที่เล่นกีฬาอย่างน้อยหนึ่งอย่าง?

|A ∪ B ∪ C| = 50 + 40 + 30 − 15 − 10 − 8 + 3 = 120 − 33 + 3 = 90

ดังนั้น นักเรียน 90 จาก 100 คนเล่นกีฬาอย่างน้อยหนึ่งอย่าง และมี 10 คนที่ไม่เล่นเลย การแจกแจงพื้นที่จะช่วยเปิดเผยข้อมูลมากขึ้น: มี 28 คนเล่นเฉพาะฟุตบอล, 20 คนเล่นเฉพาะบาสเกตบอล, 15 คนเล่นเฉพาะเทนนิส, 12 คนเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอลแต่ไม่เล่นเทนนิส และอื่นๆ

วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้

เลือกโหมดอินพุต — 'สมาชิก' หากคุณมีรายการสมาชิก, 'ขนาดของเซต' หากคุณมีเพียงตัวเลขขนาด
ป้อนข้อมูลของคุณ ในพื้นที่ข้อความ บรรทัดละเซตหรือบรรทัดละขนาดที่ทราบ
เลือกจำนวนเซต (2 ถึง 5) ในโหมดขนาดของเซต ในโหมดสมาชิก จำนวนจะถูกตรวจพบโดยอัตโนมัติ
คลิกคำนวณยูเนียนและพื้นที่ ผลลัพธ์จะแสดง |⋃ Aᵢ| ในการ์ดไฮไลต์, การขยายพจน์หลักการรวม-แยกแบบเต็มพร้อมเครื่องหมาย, แผนภาพเวนน์ SVG (สำหรับ 2, 3 หรือ 4 เซต) และตารางแสดงทุกพื้นที่ที่ไม่ทับซ้อนกันพร้อมขนาด
วางเมาส์เหนือพื้นที่เวนน์หรือแถวในตาราง เพื่อเน้นข้อมูลที่ตรงกัน — เป็นการพิสูจน์ด้วยภาพที่รวดเร็วว่าตารางและแผนภาพแสดงการแจกแจงที่เหมือนกัน

การประยุกต์ใช้งานทั่วไป

คอมบิเนทอริก (Combinatorics) — การนับการจัดหมู่แบบไม่มีจุดคงที่ (derangements), ฟังก์ชันทั่วถึง (surjections), การเรียงสับเปลี่ยนที่มีตำแหน่งต้องห้าม
ความน่าจะเป็น (Probability) — P(A ∪ B ∪ C) สำหรับเหตุการณ์ต่างๆ, อสมการของบูล (Boole's inequality), ปัญหาความน่าจะเป็นของวันเกิด (birthday paradox)
ทฤษฎีจำนวน (Number theory) — การนับจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับผลคูณผ่านฟังก์ชันฟีของออยเลอร์ (Euler's totient): สูตร φ คือหลักการรวม-แยกแบบบริสุทธิ์
การวิเคราะห์แบบสำรวจ — คำถามประเภท "มีผู้ตอบกี่คนที่อยู่ในอย่างน้อยหนึ่งหมวดหมู่"
การสอบถามฐานข้อมูล (Database queries) — การประมาณขนาดของ UNION จาก COUNT ของ INTERSECT
วิทยาการคอมพิวเตอร์ — อัลกอริทึมตะแกรง (sieve algorithms), การประมาณขนาดของบิตแมปอินเด็กซ์, การนับขอบเขตข้อมูลสำหรับกฎหมาย GDPR/HIPAA

เคล็ดลับและข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

อย่าลืมบวกอินเตอร์เซกชันสามทางกลับเข้าไป ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของนักเรียนในโจทย์ 3 เซตคือการหยุดหลังจากลบคู่ออก ซึ่งจะได้คำตอบที่มีขนาดน้อยเกินไป
การขาดหายไป ≠ ศูนย์ เมื่อเกี่ยวข้องกับเซตจริง ในโหมดขนาดของเซต อินเตอร์เซกชันที่ละเว้นจะถือว่าเป็นศูนย์ หากโจทย์ไม่ได้ระบุว่าอินเตอร์เซกชันนั้นว่าง คุณอาจจำเป็นต้องรวมมันเข้าไปด้วย
ทุกอินเตอร์เซกชันต้อง ≤ เซตที่เป็นส่วนประกอบ |A ∩ B| ไม่สามารถเกินค่าต่ำสุดของ (|A|, |B|) ได้ เครื่องคำนวณจะปฏิเสธข้อมูลที่เป็นไปไม่ได้ทันที
ใช้โหมดสมาชิกเมื่อทำได้ วิธีนี้จะกำจัดข้อผิดพลาดประเภท "ฉันป้อนอินเตอร์เซกชันครบทุกตัวหรือไม่" โดยการอนุมานอินเตอร์เซกชันจากตัวเซตเอง

คำถามที่พบบ่อย

หลักการรวม-แยกคืออะไร?

หลักการรวม-แยกคือเอกลักษณ์การนับที่ให้ขนาดของยูเนียนของเซตในรูปของขนาดของเซตเหล่านั้นและอินเตอร์เซกชันของพวกมัน สำหรับสองเซตคือ |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| สำหรับสามเซต จะมีการบวกส่วนแก้ไขสำหรับอินเตอร์เซกชันสามทางกลับเข้าไป และสำหรับ n เซต เครื่องหมายจะสลับกันไปมาระหว่างการบวกเซตเดี่ยว การลบคู่ การบวกสามตัว และไปเรื่อยๆ

โหมดสมาชิกและโหมดขนาดของเซตต่างกันอย่างไร?

โหมดสมาชิกต้องการสมาชิกจริงของแต่ละเซต บรรทัดละเซต และเครื่องคำนวณจะหาทุกอินเตอร์เซกชันโดยอัตโนมัติ ส่วนโหมดขนาดของเซตต้องการเพียงขนาดของเซตและอินเตอร์เซกชันของพวกมัน ซึ่งเหมาะสำหรับการแก้โจทย์ปัญหาที่คุณทราบจำนวนคนที่ชอบชา กาแฟ หรือทั้งสองอย่าง โดยที่ไม่ทราบชื่อจริงของคนเหล่านั้น

ทำไมเครื่องคำนวณของฉันจึงแสดงขนาดพื้นที่เป็นค่าลบ?

ขนาดพื้นที่ที่เป็นค่าลบในโหมดขนาดของเซตหมายความว่าข้อมูลที่คุณป้อนไม่สอดคล้องกัน — ไม่มีกลุ่มของเซตจริงใดๆ ที่จะมีขนาดอินเตอร์เซกชันเหล่านั้นได้ โดยปกติสิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่ออินเตอร์เซกชันแบบคู่หรือแบบสามมีขนาดใหญ่เกินกว่าที่เซตเดี่ยวจะรองรับได้ โปรดตรวจสอบตัวเลขอีกครั้ง ทุกอินเตอร์เซกชันต้องมีขนาดเล็กกว่าหรือเท่ากับแต่ละเซตที่เป็นส่วนประกอบ

เครื่องคำนวณนี้รองรับเซตได้กี่เซต?

เครื่องคำนวณรองรับ 2 ถึง 5 เซต โดยแผนภาพเวนน์จะแสดงผลสำหรับ 2, 3 และ 4 เซต ส่วนตารางแจกแจงพื้นที่แบบละเอียดจะแสดงผลสำหรับจำนวนเซตใดๆ รวมถึง 5 เซต สำหรับโจทย์ที่มีขนาดใหญ่กว่านี้ การขยายพจน์หลักการรวม-แยกจะเริ่มจัดการได้ยาก ดังนั้นโจทย์ในตำราเรียนส่วนใหญ่จึงสิ้นสุดที่ 4 หรือ 5 เซต

พื้นที่ที่ไม่ทับซ้อนกันคืออะไร?

พื้นที่ที่ไม่ทับซ้อนกันคือส่วนหนึ่งของแผนภาพเวนน์ที่เป็นของชุดรวมของเซตชุดหนึ่งโดยเฉพาะและไม่เป็นของชุดอื่นเลย สำหรับสามเซต A, B, C จะมีเจ็ดพื้นที่ที่ไม่ว่างเปล่า: A-เท่านั้น, B-เท่านั้น, C-เท่านั้น, A∩B-เท่านั้น, A∩C-เท่านั้น, B∩C-เท่านั้น และ A∩B∩C ผลรวมของขนาดพื้นที่เหล่านี้จะเท่ากับ |A ∪ B ∪ C| ซึ่งเป็นวิธีที่รวดเร็วในการตรวจสอบการคำนวณหลักการรวม-แยก

ฉันสามารถใช้เครื่องคำนวณนี้กับเซตอนันต์หรือเซตแบบต่อเนื่องได้หรือไม่?

เครื่องคำนวณนี้ออกแบบมาสำหรับเซตจำกัดที่ขนาดเป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบ สำหรับปัญหาความน่าจะเป็นหรือทฤษฎีการวัดที่มีเซตแบบต่อเนื่อง คุณยังสามารถใช้เอกลักษณ์หลักการรวม-แยกในเชิงแนวคิดได้ แต่เครื่องมือคำนวณเชิงตัวเลขนี้ต้องการขนาดของเซตที่คุณสามารถพิมพ์เป็นจำนวนเต็มได้

อ่านเพิ่มเติม

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณหลักการรวม-แยก" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณหลักการรวม-แยก/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดย miniwebtool team อัปเดตเมื่อ: 21 เม.ย. 2026

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

เครื่องคำนวณค่าสัมบูรณ์ใหม่

เครื่องคำนวณเมทริกซ์ประชิดใหม่

ตรวจสอบจำนวนมิตรใหม่

เครื่องมือแสดงการทดและการยืมใหม่

เครื่องคิดเลขรวม

เครื่องคำนวณหลักการรวม-แยก

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณหลักการรวม-แยก

หลักการรวม-แยก (The Inclusion-Exclusion Principle)

โหมดอินพุตสองรูปแบบ

ขนาดพื้นที่ที่ไม่ทับซ้อนกัน — การผกผันโมบิอุส

ตัวอย่างการคำนวณ — แบบสำรวจในชั้นเรียน 3 เซต

วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้

การประยุกต์ใช้งานทั่วไป

เคล็ดลับและข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

คำถามที่พบบ่อย

หลักการรวม-แยกคืออะไร?

โหมดสมาชิกและโหมดขนาดของเซตต่างกันอย่างไร?

ทำไมเครื่องคำนวณของฉันจึงแสดงขนาดพื้นที่เป็นค่าลบ?

เครื่องคำนวณนี้รองรับเซตได้กี่เซต?

พื้นที่ที่ไม่ทับซ้อนกันคืออะไร?

ฉันสามารถใช้เครื่องคำนวณนี้กับเซตอนันต์หรือเซตแบบต่อเนื่องได้หรือไม่?

อ่านเพิ่มเติม

เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง:

เครื่องมือเด่น: