วิธีหาปริภูมิว่างทำอย่างไร?

ลดรูปเมทริกซ์ A ให้เป็นรูปแบบขั้นบันไดลดรูปตามแถว (RREF) โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียน ระบุคอลัมน์พิวอต (pivot) และคอลัมน์อิสระ (free) สำหรับตัวแปรอิสระแต่ละตัว ให้กำหนดค่าเป็น 1 และกำหนดตัวแปรอิสระอื่นๆ ทั้งหมดเป็น 0 จากนั้นแก้หาตัวแปรพิวอต เวกเตอร์ที่ได้จะรวมกันเป็นฐานสำหรับปริภูมิว่าง

ถ้าปริภูมิว่างเป็นแบบชัดแจ้ง (trivial) หมายความว่าอย่างไร?

ปริภูมิว่างแบบชัดแจ้งหมายความว่าคำตอบเดียวของ Ax = 0 คือเวกเตอร์ศูนย์ x = 0 สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อทุกคอลัมน์เป็นคอลัมน์พิวอต (ลำดับชั้นของคอลัมน์เต็ม) ซึ่งหมายความว่าคอลัมน์ของ A เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน

เครื่องคำนวณปริภูมิว่าง

ค้นหาปริภูมิว่าง (เคอร์เนล) ของเมทริกซ์ใดๆ โดยการแก้สมการ Ax = 0 โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์ รับเวกเตอร์ฐาน, นัลลิตี (nullity), การลดรูป RREF ทีละขั้นตอน และการตรวจสอบทฤษฎีบทแรงก์-นัลลิตีด้วยเลขคณิตเศษส่วนที่แม่นยำ

Embed เครื่องคำนวณปริภูมิว่าง Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณปริภูมิว่าง

เครื่องคำนวณปริภูมิว่าง ใช้สำหรับหาปริภูมิว่าง (null space) หรือเคอร์เนล (kernel) ของเมทริกซ์ใดๆ โดยการแก้ระบบสมการเอกพันธ์ Ax = 0 คุณสามารถป้อนเมทริกซ์ขนาดใดก็ได้สูงสุดถึง 8×8 และรับฐานของปริภูมิว่างที่สมบูรณ์พร้อมการคำนวณเศษส่วนที่แม่นยำ การกำจัดแบบเกาส์เซียนทีละขั้นตอนสู่ RREF การจัดประเภทคอลัมน์ (พิวอตเทียบกับอิสระ) และการตรวจสอบทฤษฎีบทลำดับชั้นและดัชนีความว่าง

ปริภูมิว่างของเมทริกซ์คืออะไร?

ปริภูมิว่าง (หรือเรียกอีกอย่างว่า เคอร์เนล) ของเมทริกซ์ $A$ ขนาด $m \times n$ คือเซตของเวกเตอร์ $\mathbf{x}$ ทั้งหมดใน $\mathbb{R}^n$ ที่สอดคล้องกับสมการ:

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

เขียนในรูปเซตได้เป็น: $\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}$ ปริภูมิว่างเป็น ปริภูมิย่อย ของ $\mathbb{R}^n$ เสมอ ซึ่งหมายความว่ามันประกอบด้วยเวกเตอร์ศูนย์ และมีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์

⊕

ปริภูมิย่อย

ปริภูมิว่างเป็นปริภูมิย่อยของ R^n เสมอ ประกอบด้วยเวกเตอร์ศูนย์ และมีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์

📊

มิติ = ดัชนีความว่าง

มิติของปริภูมิว่างเท่ากับดัชนีความว่าง (nullity) ซึ่งคือจำนวนตัวแปรอิสระหลังจากการลดรูปตามแถว

↔

ตัวแปรอิสระ

ตัวแปรอิสระแต่ละตัวใน RREF จะสร้างเวกเตอร์ฐานหนึ่งตัวให้กับปริภูมิว่าง

⚖

ลำดับชั้นและดัชนีความว่าง

rank(A) + nullity(A) = n เมื่อ n คือจำนวนคอลัมน์ ซึ่งเป็นจริงเสมอ

วิธีหาปริภูมิว่าง

ขั้นตอนที่ 1. กำหนดจำนวนแถว (m) และคอลัมน์ (n) สำหรับเมทริกซ์ของคุณโดยใช้ปุ่มควบคุม +/− หรือคลิกตัวอย่างด่วนเพื่อโหลดเมทริกซ์ที่ตั้งค่าไว้ล่วงหน้า

ขั้นตอนที่ 2. ป้อนค่าเมทริกซ์ของคุณลงในตาราง คุณสามารถพิมพ์จำนวนเต็ม ทศนิยม หรือเศษส่วน เช่น 1/3 หรือ -5/2 ใช้ปุ่ม Tab, Enter หรือปุ่มลูกศรเพื่อเลื่อนระหว่างเซลล์

ขั้นตอนที่ 3. คลิก หาปริภูมิว่าง เครื่องคำนวณจะทำการกำจัดแบบเกาส์เซียนเพื่อเปลี่ยนเมทริกซ์ของคุณให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดลดรูปตามแถว (RREF)

ขั้นตอนที่ 4. ระบุคอลัมน์พิวอตและคอลัมน์อิสระ คอลัมน์อิสระแต่ละคอลัมน์จะสอดคล้องกับตัวแปรอิสระที่สามารถมีค่าใดก็ได้

ขั้นตอนที่ 5. สำหรับตัวแปรอิสระแต่ละตัว ให้กำหนดค่าเป็น 1 และกำหนดตัวแปรอิสระอื่นๆ ทั้งหมดเป็น 0 จากนั้นแก้หาตัวแปรพิวอต เวกเตอร์ที่ได้จะรวมกันเป็นฐานสำหรับปริภูมิว่าง

ปริภูมิว่างเทียบกับปริภูมิคอลัมน์

คุณสมบัติ	ปริภูมิว่าง (Null Space)	ปริภูมิคอลัมน์ (Column Space)
นิยาม	x ทั้งหมดที่ Ax = 0	b ทั้งหมดที่ Ax = b มีคำตอบ
อยู่ในปริภูมิ	$\mathbb{R}^n$ (โดเมน)	$\mathbb{R}^m$ (โคโดเมน)
มิติ	nullity = n − rank	rank
หาได้จาก	คอลัมน์อิสระของ RREF	คอลัมน์พิวอตของ A

ทฤษฎีบทลำดับชั้นและดัชนีความว่าง

สำหรับเมทริกซ์ $A$ ขนาด $m \times n$ ใดๆ:

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

rank คือจำนวนคอลัมน์พิวอตใน RREF และ nullity คือจำนวนคอลัมน์อิสระ เมื่อรวมกันแล้วจะเท่ากับจำนวนคอลัมน์ทั้งหมด ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นที่รู้จักในชื่อ ทฤษฎีบทมิติสำหรับการส่งเชิงเส้น

กรณีพิเศษ

สถานการณ์	ปริภูมิว่าง	ความหมาย
Rank คอลัมน์เต็ม (rank = n)	เฉพาะ {0}	คอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน; Ax = 0 มีเพียงคำตอบแบบชัดแจ้ง
จำนวนคอลัมน์มากกว่าแถว (n > m)	ไม่เป็นแบบชัดแจ้งเสมอ	มีตัวแปรอิสระอย่างน้อย n − m ตัว ดังนั้นจึงมีคำตอบจำนวนนับไม่ถ้วน
เมทริกซ์จัตุรัสเอกฐาน	ไม่เป็นแบบชัดแจ้ง	เมทริกซ์มีค่าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ และมีแถว/คอลัมน์ที่ไม่อิสระต่อกัน
เมทริกซ์ศูนย์	$\mathbb{R}^n$ ทั้งหมด	ทุกเวกเตอร์อยู่ในปริภูมิว่าง; ฐานคือฐานมาตรฐาน

การประยุกต์ใช้ปริภูมิว่าง

📐

ระบบเชิงเส้น

ผลเฉลยทั่วไปของ Ax = b คือ x = x_p + Null(A) โดยที่ x_p คือผลเฉลยเฉพาะตัวหนึ่ง

📊

ความเป็นอิสระเชิงเส้น

คอลัมน์ของ A เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกันก็ต่อเมื่อ Null(A) = {0}

🔄

สมการเชิงอนุพันธ์

ปริภูมิผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นแบบเอกพันธ์คือปริภูมิว่างของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

🔐

รหัสแก้ความผิดพลาด

ในทฤษฎีการเข้ารหัส รหัสที่ถูกต้องจะรวมกันเป็นปริภูมิว่างของเมทริกซ์ตรวจสอบพาริตี H

คำถามที่พบบ่อย

ปริภูมิว่างของเมทริกซ์คืออะไร?

ปริภูมิว่าง (หรือเคอร์เนล) ของเมทริกซ์ A คือเซตของเวกเตอร์ x ทั้งหมดที่ทำให้ Ax = 0 เป็นปริภูมิย่อยของ R^n โดยที่ n คือจำนวนคอลัมน์ ปริภูมิว่างจะมีเวกเตอร์ศูนย์อยู่เสมอ และอาจมีเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนนับไม่ถ้วนหากเมทริกซ์มีตัวแปรอิสระ

จะหาปริภูมิว่างได้อย่างไร?

ลดรูปเมทริกซ์ A ให้เป็นรูปแบบขั้นบันไดลดรูปตามแถว (RREF) โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียน ระบุคอลัมน์พิวอตและคอลัมน์อิสระ สำหรับตัวแปรอิสระแต่ละตัว ให้ตั้งค่าเป็น 1 และตั้งค่าตัวแปรอิสระอื่นๆ เป็น 0 จากนั้นแก้หาตัวแปรพิวอต เวกเตอร์ที่ได้คือฐานของปริภูมิว่าง

ทฤษฎีบทลำดับชั้นและดัชนีความว่างคืออะไร?

ทฤษฎีบทลำดับชั้นและดัชนีความว่างระบุว่า สำหรับเมทริกซ์ A ขนาด m x n ค่า rank(A) + nullity(A) = n โดยที่ n คือจำนวนคอลัมน์ rank คือจำนวนคอลัมน์พิวอต และ nullity คือมิติของปริภูมิว่าง

การที่ปริภูมิว่างเป็นแบบชัดแจ้ง (trivial) หมายถึงอะไร?

ปริภูมิว่างแบบชัดแจ้งหมายความว่าคำตอบเดียวของ Ax = 0 คือเวกเตอร์ศูนย์ x = 0 สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อทุกคอลัมน์เป็นคอลัมน์พิวอต ซึ่งแสดงว่าคอลัมน์ของ A เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน

เมทริกซ์ที่ไม่ใช่จัตุรัสมีปริภูมิว่างได้หรือไม่?

ได้ เมทริกซ์ทุกลักษณะมีปริภูมิว่าง สำหรับเมทริกซ์ขนาด m x n ที่ m < n ปริภูมิว่างจะไม่เป็นแบบชัดแจ้งเสมอ เพราะมีจำนวนตัวแปรมากกว่าจำนวนสมการ ทำให้มีตัวแปรอิสระแน่นอน

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณปริภูมิว่าง" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณปริภูมิว่าง/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool. อัปเดตเมื่อ: 2026-04-10

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.