เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง

เกี่ยวกับ เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง

เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง รับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญในรูปแบบ dy/dx = f(x, y) จำแนกโครงสร้างโดยอัตโนมัติ (แยกตัวแปรได้, เชิงเส้น, อัตโนมัติ, แม่นตรง หรือทั่วไป) และสร้างทั้งคำตอบในรูปแบบปิดเชิงสัญลักษณ์เมื่อเป็นไปได้ และคำตอบเชิงตัวเลขที่มีความแม่นยำสูงในทุกกรณี การแสดงภาพสนามความชันแบบสดพร้อมเส้นโค้งคำตอบที่วางซ้อนกันช่วยให้ความหมายทางเรขาคณิตของสมการชัดเจนขึ้นทันที — คำตอบคือเส้นโค้งที่สัมผัสกับลูกศรทุกอันอย่างพอดี

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) อันดับหนึ่งคืออะไร?

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า y(x) และอนุพันธ์อันดับหนึ่ง y'(x) เท่านั้น รูปแบบมาตรฐานคือ:

เมื่อรวมกับ เงื่อนไขเริ่มต้น y(x₀) = y₀ จะกลายเป็น ปัญหาค่าเริ่มต้น (IVP) ทฤษฎีบท Picard-Lindelöf รับประกันคำตอบหนึ่งเดียวในช่วงใกล้เคียงของ x₀ ตราบใดที่ f มีความต่อเนื่องแบบ Lipschitz ใน y ใกล้ (x₀, y₀) ในทางเรขาคณิต IVP คือการหาเส้นโค้งหนึ่งเดียวที่ผ่านจุด (x₀, y₀) ซึ่งความชันที่ทุกจุดตรงกับค่า f ณ จุดนั้น — ซึ่งก็คือเส้นโค้งที่สัมผัสกับสนามความชันนั่นเอง

6 ประเภทที่ตัวแก้ปัญหารองรับ

วิธีรูปแบบปิด: เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่

เมื่อฝั่งขวาของสมการลดรูปเหลือ dy/dx = a·y + b โดยที่ a และ b เป็นค่าคงที่ ตัวประกอบอินทิเกรต μ(x) = e^(-a·x) จะให้คำตอบที่แม่นยำ คำตอบทั่วไปคือ:

การใช้เงื่อนไขเริ่มต้น y(x₀) = y₀ จะทำให้หาค่าคงที่ C ได้ และนำไปสู่คำตอบ เฉพาะราย เพียงหนึ่งเดียว ประเภทนี้ครอบคลุมปัญหาในตำราเรียนจำนวนมาก:

• การเติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียล — dy/dx = k·y, คำตอบเฉพาะราย y(t) = y₀·e^(k·t)
• การสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล — dy/dx = -k·y, ครึ่งชีวิต ln 2 / k
• กฎการเย็นตัวของนิวตัน — dy/dx = -k·(y - T_amb), อุณหภูมิของวัตถุจะลดลงเข้าสู่อุณหภูมิแวดล้อมแบบเอกซ์โพเนนเชียล
• การชาร์จวงจร RC — dV/dt = (1/RC)·(V_in - V), แรงดันไฟฟ้าของตัวเก็บประจุจะเข้าหาแหล่งจ่าย
• การกำจัดยาออกจากร่างกาย — เภสัชจลนศาสตร์อันดับหนึ่งที่มีอัตราการกำจัด k

การอ่านสนามความชัน

ที่แต่ละจุดบนกริด (x, y) เครื่องมือจะวาดส่วนของเส้นตรงสั้นๆ ที่มีความชันเท่ากับ f(x, y) ข้อสังเกตที่เป็นประโยชน์ 3 ประการ:

• จุดสมดุล (Equilibria) คือจุดที่ f(x, y) = 0 — สนามความชันจะเป็นแนวนอน สำหรับสมการอัตโนมัติ เหล่านี้คือ จุดคงที่ y* ที่เป็นไปตาม f(y*) = 0; วิถีในบริเวณใกล้เคียงจะเข้าหา (เสถียร) หรือออกห่างจาก (ไม่เสถียร) y*
• Isoclines คือเส้นโค้งที่ f(x, y) เท่ากับค่าคงที่ c ดังนั้นลูกศรทั้งหมดตามเส้นโค้งจะมีจากความชัน c เท่ากัน
• เส้นโค้งคำตอบจะไม่ตัดกัน (เมื่อ f เป็น Lipschitz) — เห็นได้ชัดเจนเพราะเส้นโค้งสองเส้นที่ตัดกันจะต้องมีความชันที่แตกต่างกัน ณ จุดตัดเดียวกัน ซึ่งเป็นไปไม่ได้

วิธีการเชิงตัวเลข: Runge-Kutta แบบคลาสสิก (RK4)

เมื่อกำหนด (x_n, y_n) ค่าถัดไปจะถูกคำนวณโดยการหาค่าเฉลี่ยของค่าประมาณความชัน 4 ค่า:

RK4 มีความคลาดเคลื่อนเฉพาะที่ระดับ O(h⁵) และความคลาดเคลื่อนรวมระดับ O(h⁴) ให้ความแม่นยำประมาณ 6 หลักที่จำนวนขั้นตอนเริ่มต้นสำหรับสมการที่ไม่แข็ง ตัวแก้ปัญหาจะอินทิเกรตออกจากจุดเริ่มต้นในทั้งสองทิศทางของ x และหยุดอย่างเหมาะสมหากขนาดของ y เกิน 10¹⁵ — ซึ่งมักเกิดกับคำตอบที่พุ่งสูงขึ้นอย่างรวดเร็วในเวลาจำกัด เช่น dy/dx = y²

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

1. ป้อนสมการฝั่งขวา ในช่อง dy/dx = ... ใช้ x และ y เป็นตัวแปร, * สำหรับการคูณ, ^ หรือ ** สำหรับกำลัง และฟังก์ชันมาตรฐานอย่าง sin, cos, exp, log, sqrt รองรับค่าคงที่ pi และ e
2. ระบุเงื่อนไขเริ่มต้น (x₀, y₀) — เส้นโค้งคำตอบหนึ่งเดียวจะผ่านจุดนี้
3. เลือกช่วง x ที่ต้องการพล็อตสนามความชันและเส้นโค้งคำตอบ ช่วง y จะถูกปรับให้เหมาะสมโดยอัตโนมัติจากคำตอบที่อินทิเกรตได้
4. คลิก 'คำนวณและแสดงภาพ' ตัวจำแนกประเภทจะทำงานก่อน หากสมการของคุณตรงกับรูปแบบปิด (เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่) คุณจะได้คำตอบเชิงสัญลักษณ์ สนามความชันและเส้นโค้งคำตอบจะถูกแสดงผลเสมอ
5. สลับเปิด/ปิดสนามความชัน เพื่อเน้นที่เส้นโค้งคำตอบ หรือเล่นภาพเคลื่อนไหวการวาดเส้นโค้งใหม่เพื่อดูความคืบหน้าของการอินทิเกรตจากจุดเริ่มต้น

ตัวอย่างวิธีทำ: กฎการเย็นตัวของนิวตัน

กาแฟหนึ่งถ้วยที่อุณหภูมิ 80 °C เย็นลงในห้องที่มีอุณหภูมิ 20 °C อัตราการถ่ายเทความร้อนเป็นสัดส่วนกับความแตกต่างของอุณหภูมิ:

นี่คือสมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ (a = -0.1, b = 2) รูปแบบปิดคือ:

หลังจาก 30 นาที: T(30) = 20 + 60·e⁻³ ≈ 22.99 °C มุมมองสนามความชันทำให้เห็นพฤติกรรมขีดจำกัดได้ชัดเจน — เส้นโค้งคำตอบทุกเส้น ไม่ว่าจะเริ่มที่อุณหภูมิใด จะเข้าหาเส้นแนวนอน T = 20

การประยุกต์ใช้งานทั่วไป

• พลศาสตร์ประชากร — แบบจำลองการเติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียล, ลอจิสติก, และ Allee-effect
• เภสัชจลนศาสตร์ — การดูดซึมและการกำจัดยา, การคำนวณครึ่งชีวิต
• การถ่ายเทความร้อน — กฎการเย็นตัวของนิวตัน, แบบจำลองความจุความร้อนรวม (lumped-capacitance)
• วงจร RC และ RL — ปรากฏการณ์ชั่วครู่ทางไฟฟ้าเชิงเส้นอันดับหนึ่ง
• การสลายตัวของกัมมันตภาพรังสี — สายโซ่การสลายตัวของไอโซโทปเดี่ยว
• ถังผสมสาร — ความเข้มข้นของตัวละลายภายใต้การไหลเข้า/ไหลออก
• วัตถุตกภายใต้แรงต้านทาน — การวิเคราะห์ความเร็วปลาย dv/dt = g - kv

คำถามที่พบบ่อย

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่งคืออะไร?

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) อันดับหนึ่ง คือสมการในรูปแบบ dy/dx = f(x, y) ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า y(x) และอนุพันธ์อันดับหนึ่งของมัน การแก้ ODE หมายถึงการหาฟังก์ชัน y(x) ที่มีอนุพันธ์ตรงกับฝั่งขวาของสมการ เมื่อมีเงื่อนไขเริ่มต้น y(x₀) = y₀ คำตอบจะเป็นคำตอบเดียวภายใต้สมมติฐานความสม่ำเสมอเพียงพอ (ทฤษฎีบท Picard-Lindelöf)

สนามความชันคืออะไร?

สนามความชัน (slope field หรือ direction field) คือการพล็อตส่วนของเส้นตรงขนาดเล็กที่แต่ละจุดบนกริด (x, y) ซึ่งมีความชันเท่ากับ f(x, y) เส้นโค้งคำตอบของ ODE คือเส้นโค้งที่สัมผัสกับส่วนของเส้นตรงเหล่านี้ในทุกจุด สนามความชันช่วยให้เห็นภาพพฤติกรรมโดยรวมของคำตอบได้ทันทีโดยไม่ต้องแก้สมการเชิงสัญลักษณ์

เครื่องมือนี้นี้แก้สมการ ODE อันดับหนึ่งประเภทใดได้บ้าง?

เครื่องมือจะจำแนกสมการโดยอัตโนมัติเป็น: อินทิเกรตได้ (ขึ้นอยู่กับ x เท่านั้น), เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ y' = a·y + b (แสดงคำตอบรูปแบบปิดฉบับเต็ม), อัตโนมัติ (ขึ้นอยู่กับ y เท่านั้น), แยกตัวแปรได้ (แยกเป็น g(x)·h(y)), เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ตัวแปร (P(x)·y + Q(x)) หรือทั่วไป สำหรับทุกประเภท จะมีการสร้างคำตอบเชิงตัวเลขแบบ Runge-Kutta ที่มีความแม่นยำสูงและการแสดงภาพสนามความชัน

ใช้วิธีการเชิงตัวเลขใด?

ใช้วิธี Runge-Kutta ลำดับที่สี่แบบคลาสสิก (RK4) โดยแบ่งเป็น 300 ขั้นตอนย่อยในแต่ละทิศทางจากจุดเริ่มต้น RK4 มีความคลาดเคลื่อนเฉพาะที่ระดับ O(h⁵) และเป็นวิธีมาตรฐานสำหรับ ODE ที่ไม่แข็งในระดับนี้ ตัวแก้ปัญหาจะตรวจจับการลู่ออก (overflow หรือ NaN) และหยุดการอินทิเกรตอย่างเหมาะสมเพื่อให้พล็อตยังคงใช้งานได้

วิธีตัวประกอบอินทิเกรตสำหรับ ODE เชิงเส้นคืออะไร?

สำหรับ ODE เชิงเส้นอันดับหนึ่ง y' + P(x)·y = Q(x) ให้คูณทั้งสองข้างด้วยตัวประกอบอินทิเกรต μ(x) = e^∫P(x) dx ฝั่งซ้ายจะกลายเป็นอนุพันธ์ที่แน่นอน d/dx[μ·y] ดังนั้น y(x) = (1/μ(x)) · (∫μ(x)·Q(x) dx + C) เมื่อ P และ Q เป็นค่าคงที่ สูตรนี้จะยุบลงเหลือรูปแบบปิด y = -b/a + C·e^(a·x) ซึ่งเครื่องมือจะส่งคืนให้โดยอัตโนมัติ

เครื่องมือนี้สามารถจัดการกับสมการที่แข็ง (stiff) หรือระบบของ ODE ได้หรือไม่?

ตัวแก้ปัญหานี้มีไว้สำหรับสเกลาร์ ODE อันดับหนึ่งที่ไม่แข็ง ปัญหาที่แข็งมากอาจต้องใช้วิธีโดยนัย (implicit method) เช่น backward Euler หรือ Rosenbrock ส่วนระบบสมการที่เกี่ยวพันกันต้องใช้ตัวแก้ปัญหาแบบเวกเตอร์ ในกรณีเหล่านั้น โปรดใช้แพ็คเกจเฉพาะทาง เช่น solve_ivp ของ SciPy หรือตัวแก้ stiff-ODE โดยเฉพาะ

อ่านเพิ่มเติม

• Ordinary differential equation — Wikipedia
• Slope field — Wikipedia
• Runge-Kutta methods — Wikipedia
• Integrating factor — Wikipedia
• Picard-Lindelöf theorem — Wikipedia