พีชคณิตเชิงเส้น

คำนวณค่าลักษณะเฉพาะ (Eigenvalues) และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (Eigenvectors) ของเมทริกซ์ขนาด 2x2 และ 3x3 พร้อมวิธีทำโดยละเอียด การหาพหุนามลักษณะเฉพาะ การแสดงภาพประกอบ และการวิเคราะห์คุณสมบัติของเมทริกซ์

คำนวณการดำเนินการทางเมทริกซ์พร้อมวิธีทำทีละขั้นตอน: การบวก, การลบ, การคูณ, อินเวอร์ส, ทรานสโพส และดีเทอร์มิแนนต์ แสดงผลเมทริกซ์แบบภาพพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด

เครื่องคิดเลขเวกเตอร์ออนไลน์ฟรีพร้อมวิธีทำทีละขั้นตอน คำนวณผลคูณจุด (dot product), ผลคูณไขว้ (cross product), ขนาด, เวกเตอร์หนึ่งหน่วย, มุมระหว่างเวกเตอร์, การฉายเวกเตอร์ และอื่นๆ พร้อมการแสดงภาพ 3 มิติแบบโต้ตอบ

ลดรูปเมทริกซ์ใดๆ ให้เป็น reduced row echelon form พร้อมการดำเนินการแถวทีละขั้นตอนโดยละเอียด กรอกเมทริกซ์ของคุณและดูทุก pivot การสลับ และการกำจัด แล้วอ่านค่าแรงก์ nullity คอลัมน์ pivot ตัวแปรอิสระ และชนิดของคำตอบ

แก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบ 2 หรือ 3 ตัวแปรโดยใช้กฎของเครเมอร์ ป้อนค่าสัมประสิทธิ์เพื่อดูการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ทีละขั้นตอน พร้อมภาพประกอบเมทริกซ์แบบเคลื่อนไหว กราฟการตีความทางเรขาคณิต และคำตอบที่สมบูรณ์

คูณเมทริกซ์สองตัวพร้อมแสดงรายละเอียดการคำนวณสมาชิกแต่ละตัวทีละขั้นตอน ดูการแยกส่วนผลคูณจุด (Dot Product) พร้อมการแสดงภาพแถว × คอลัมน์แบบรหัสสี รองรับเมทริกซ์สูงสุดขนาด 5×5 พร้อมปุ่มควบคุมมิติแบบโต้ตอบ

คำนวณการฉายเวกเตอร์ (Vector Projection) และการฉายสเกลาร์ (Scalar Projection) ของเวกเตอร์หนึ่งไปยังอีกเวกเตอร์หนึ่ง รองรับเวกเตอร์ 2 มิติและ 3 มิติ พร้อมสูตรทีละขั้นตอน แผนภาพเชิงโต้ตอบ และการแยกส่วนประกอบในแนวตั้งฉาก

ทำเมทริกซ์จัตุรัสให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมโดยการคำนวณ eigenvalues, eigenvectors และการแยกตัวประกอบ A = PDP⁻¹ รองรับเมทริกซ์ขนาด 2×2 ถึง 5×5 พร้อมเฉลยแบบเป็นขั้นตอน, พหุนามลักษณะเฉพาะ, การวิเคราะห์ความหลากหลาย และการแสดงผลแบบโต้ตอบ

แยกเมทริกซ์ใดๆ เป็น Q ที่เป็นออร์โธกอนอลและ R ที่เป็นสามเหลี่ยมบนด้วยกระบวนการ Gram-Schmidt รองรับเมทริกซ์ 2x2 ถึง 5x5 พร้อมการทำมุมฉากทีละขั้นแบบเคลื่อนไหว และตรวจสอบว่า Q ทรานสโพสคูณ Q เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์

คำนวณการแยกตัวประกอบค่าเอกฐาน (SVD) ของเมทริกซ์ใดก็ได้ โดยแยก A เป็น U, Sigma และ V transpose มีวิธีทำทีละขั้นตอน ภาพจำลอง 3 มิติแบบโต้ตอบ การวิเคราะห์อันดับ เลขเงื่อนไข และการใช้งานด้านการบีบอัดข้อมูล

คำนวณการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ ด้วยการสลับแถวบางส่วน (partial pivoting) รับเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (L), เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (U) และเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน (P) พร้อมขั้นตอนการกำจัดแบบเกาส์และการตรวจสอบความถูกต้อง

แยกตัวประกอบเมทริกซ์สมมาตรและเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอนให้เป็น A = LLᵀ พร้อมการคำนวณแบบแอนิเมชันทีละขั้นตอน ดูแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง L ที่คำนวณได้ด้วยสูตรเต็ม ตรวจสอบผลลัพธ์ และสำรวจการแยกตัวประกอบด้วยภาพ

แยกฟังก์ชันตรรกยะออกเป็นเศษส่วนบางส่วนพร้อมคำอธิบายวิธีทำอย่างละเอียด การวิเคราะห์สัมประสิทธิ์ และการแจกแจงโครงสร้างการแยกตัวประกอบ

คำนวณขนาด หรือ Euclidean norm ของเวกเตอร์ 2 มิติ 3 มิติ หรือ n มิติ ได้วิธีคำนวณทีละขั้นแสดงแต่ละองค์ประกอบยกกำลังสอง ผลรวมใต้เครื่องหมายกรณฑ์ และรากที่สองสุดท้าย พร้อมแผนภาพเวกเตอร์

คำนวณผลคูณจุดของเวกเตอร์สองตัวใน 2 มิติ 3 มิติ หรือมิติที่สูงกว่า หามุมระหว่างเวกเตอร์ ขนาด การฉายเชิงสเกลาร์และเวกเตอร์ ความหมายเชิงเรขาคณิต และสูตรทีละขั้นตอนพร้อมไดอะแกรมแบบโต้ตอบ

คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสใดๆ พร้อมโซลูชันที่มีรายละเอียดทีละขั้นตอน การขยายโคแฟกเตอร์ การวิเคราะห์คุณสมบัติเมทริกซ์ และโซลูชันแบบวิジูอัล

หาปริภูมิคอลัมน์และฐานหลักของเมทริกซ์ใดๆ โดยการลดรูปแถว ดูขั้นตอนการดำเนินการตามแถวทีละขั้นตอนพร้อมการไฮไลต์คอลัมน์หลัก แรงก์ มิติ และการแสดงภาพแบบโต้ตอบสำหรับปริภูมิคอลัมน์ 2 มิติ/3 มิติ

ค้นหาปริภูมิว่าง (เคอร์เนล) ของเมทริกซ์ใดๆ โดยการแก้สมการ Ax = 0 โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์ รับเวกเตอร์ฐาน, นัลลิตี (nullity), การลดรูป RREF ทีละขั้นตอน และการตรวจสอบทฤษฎีบทแรงก์-นัลลิตีด้วยเลขคณิตเศษส่วนที่แม่นยำ

คำนวณผลคูณเทนเซอร์หรือที่เรียกว่าผลคูณโครเนกเกอร์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสองตัวด้วยการคำนวณเศษส่วนที่แม่นยำ การแสดงภาพแบบทีละบล็อก ผลลัพธ์ที่คัดลอกได้ และคำอธิบายพีชคณิตเชิงเส้นที่รองรับ SEO

คำนวณผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ 3 มิติสองตัวด้วยสูตรดีเทอร์มิแนนต์ ดูการขยายทีละขั้นตอน เวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ตั้งฉาก ขนาดของมันในฐานะพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน การตรวจทิศทาง และภาพ 3 มิติ

คำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ det(A − λI) ของเมทริกซ์จัตุรัส รองรับเมทริกซ์ขนาด 2×2 ถึง 6×6 พร้อมการกระจายโคแฟกเตอร์ทีละขั้นตอน การหาค่าคงตัวเฉพาะ การวิเคราะห์สัมประสิทธิ์ และการแสดงภาพพหุนามแบบโต้ตอบ

คำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ 2 มิติ หรือ 3 มิติ โดยใช้สูตรดอตโปรดักต์ cos(θ) = (a·b)/(|a||b|) รับวิธีทำแบบละเอียด ผลลัพธ์ทั้งในหน่วยองศาและเรเดียน แผนภาพเวกเตอร์แบบโต้ตอบ และการตีความทางเรขาคณิต

คำนวณกำลังของเมทริกซ์จัตุรัส A ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลัง n ที่เป็นจำนวนเต็ม ดูขั้นตอนการคูณแบบแอนิเมชัน เมทริกซ์ระหว่างทางตั้งแต่ A¹ ถึง Aⁿ ค่าดีเทอร์มิแนนต์และรอย (Trace) พร้อมสูตร MathJax และการแสดงผลแบบโต้ตอบ

คำนวณรูปแบบมาตรฐานจอร์แดนของเมทริกซ์จัตุรัส พร้อมเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง P ที่ P ผกผัน A P = J รองรับเมทริกซ์บกพร่องที่ไม่สามารถแปลงเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ผ่านไอเกนเวกเตอร์ทั่วไป พร้อมการวิเคราะห์ห่วงโซ่เคอร์เนล

คำนวณอันดับ (Rank) ของเมทริกซ์ใดๆ โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์ (รูปแบบขั้นบันไดตามแถว) รับขั้นตอนการลดรูปแถวอย่างละเอียด การวิเคราะห์จุดหมุน (Pivot) มิติของปริภูมิคอลัมน์และปริภูมิว่าง และแผนภาพความร้อน (Heatmap) รองรับเมทริกซ์สูงสุดขนาด 10×10

คำนวณหาเทรซของเมทริกซ์จัตุรัส (ผลรวมของสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลัก) ตรวจสอบความเท่ากันกับผลรวมของค่าเจาะจง สำรวจคุณสมบัติของเทรซ และแสดงภาพเส้นทแยงมุมด้วยฮีทแมพแบบโต้ตอบ รองรับเมทริกซ์ขนาดสูงสุด 10×10

คำนวณเมทริกซ์จาโคเบียนของฟังก์ชันหลายตัวแปรที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ ใส่องค์ประกอบของการแปลงเพื่อได้อนุพันธ์ย่อยทุกตัว ดีเทอร์มิแนนต์ ค่าไอเกน วิธีทำทีละขั้น และภาพจำลองการบิดเบือนของกริด

คำนวณตัวผกผันของเมทริกซ์จัตุรัสโดยใช้การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน พร้อมรายละเอียดการดำเนินการตามแถวทีละขั้นตอน รองรับเมทริกซ์ขนาด 2×2 ถึง 6×6 พร้อมการคำนวณเศษส่วนที่แม่นยำ การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ และการตรวจสอบ A×A⁻¹=I

คำนวณเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล e^(At) และใช้เป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะสำหรับระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ใส่ A เวลา t และเวกเตอร์เริ่มต้นแบบเลือกได้ เพื่อได้ x(t) รายละเอียดการปรับสเกล Pade และแผนภาพการไหลของระนาบเฟสแบบเคลื่อนไหว

คำนวณเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางของเวกเตอร์ 2 มิติ 3 มิติ หรือ n มิติใดก็ได้ ได้ขนาดเวกเตอร์ แต่ละองค์ประกอบที่ปรับให้เป็นบรรทัดฐาน มุมทิศทาง วิธีทำการปรับบรรทัดฐานทีละขั้น และการพิสูจน์ด้วยภาพว่าผลลัพธ์มีความยาวเท่ากับ 1

ทำชุดเวกเตอร์ที่เป็นอิสระต่อกันเชิงเส้นให้เป็นเชิงตั้งฉากปรกติด้วยกระบวนการแกรม-ชมิดท์ รับรายละเอียดการภาพฉายทีละขั้นตอน, ฐานหลักเชิงตั้งฉากและเชิงตั้งฉากปรกติ, การตรวจสอบความเป็นเชิงตั้งฉาก และการแสดงภาพเวกเตอร์แบบโต้ตอบ