เครื่องพล็อตสนามทิศทางและสนามความชัน

พล็อตสนามความชันของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) อันดับหนึ่ง y' = f(x, y) บนพื้นที่ x-y ที่กำหนดเอง คลิกบนผืนผ้าใบเพื่อสร้างเส้นโค้งคำตอบใหม่ ดูอนุภาคไหลตามสนาม และแสดงเส้น nullcline ของสมดุล — แสดงผลเป็นไฟล์ SVG บริสุทธิ์ที่คุณสามารถบันทึกหรือแชร์ได้

ตัวอย่างสำเร็จรูป:

y' = y - x (สนามแบบอานม้า) y' = x·y (ตระกูลระฆังคว่ำ Gaussian) y' = sin(x) - y (การแกว่งกวัดแบบหน่วง) y' = y·(1 - y) (การเติบโตแบบโลจิสติก) y' = x² - y (ตัวดึงดูดรูปพาราโบลา) y' = -x/y (วงกลมร่วมศูนย์กลาง)

สมการเชิงอนุพันธ์

y' =

ใช้ตัวแปร x และ y, ตัวดำเนินการ + - * / ^ และฟังก์ชัน sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs สามารถใช้ค่าคงที่ pi และ e ได้

ช่วง x

ต่ำสุด

สูงสุด

ช่วง y

ต่ำสุด

สูงสุด

ความหนาแน่นของกริด

รูปแบบเส้น

การระบายสี

เงื่อนไขเริ่มต้น (ถ้ามี)

แต่ละเงื่อนไขเริ่มต้นจะสร้างเส้นโค้งคำตอบ RK4 หนึ่งเส้น หลังจากพล็อตแล้ว คุณยังสามารถคลิกบนผืนผ้าใบเพื่อเพิ่มเส้นโค้งเพิ่มเติมได้

Embed เครื่องพล็อตสนามทิศทางและสนามความชัน Widget

เกี่ยวกับ เครื่องพล็อตสนามทิศทางและสนามความชัน

เครื่องพล็อตสนามทิศทางและสนามความชัน ช่วยให้เห็นภาพทางเรขาคณิตของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) อันดับหนึ่งใดๆ y' = f(x, y) ได้โดยไม่ต้องแก้สมการด้วยวิธีพีชคณิต ที่ทุกจุดบนกริดที่สามารถปรับแต่งได้ เครื่องมือจะวาดส่วนของเส้นสัมผัสเล็กๆ ที่มีความชันเท่ากับ f(x, y) ซึ่งจะเผยให้เห็นกลุ่มของเส้นโค้งคำตอบทั้งหมดในพริบตา ผืนผ้าใบ SVG แบบโต้ตอบช่วยให้คุณคลิกเพื่อสร้างเส้นโค้งคำตอบที่อินทิเกรตด้วยวิธี RK4, แสดงการไหลของอนุภาคตามสนาม และส่งออกผลลัพธ์เป็นรูปภาพคุณภาพสูง

สนามทิศทางคืออะไร?

สำหรับสมการ ODE อันดับหนึ่ง y' = f(x, y) สนามทิศทาง (หรือเรียกว่า สนามความชัน) คือกริดของส่วนของเส้นตรงสั้นๆ ที่วางไว้ที่จุดต่างๆ (x_i, y_j) แต่ละส่วนจะมีความชันเป็น f(x_i, y_j) ซึ่งเป็นความชันของเส้นสัมผัสของเส้นโค้งคำตอบใดๆ ที่ผ่านจุดนั้น เนื่องจากคำตอบจะต้องสัมผัสกับสนามเสมอในทุกที่ที่เคลื่อนที่ไป ภาพรวมทั้งหมดจึงแสดงพฤติกรรมเชิงคุณภาพของ ODE เช่น จุดดึงดูด (attractors), จุดผลักออก (repellers), เส้นสมดุล (equilibrium lines) และการแกว่ง (oscillations) ก่อนที่คุณจะเขียนสูตรที่ชัดเจนออกมาได้

y' = dy/dx = f(x, y) → วาดส่วนของเส้นตรงที่ (x, y) ด้วยความชัน f(x, y)

เทคนิคนี้ได้รับความนิยมในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ในฐานะส่วนหนึ่งของทฤษฎีเชิงคุณภาพของสมการเชิงอนุพันธ์ และปัจจุบันได้กลายเป็นเครื่องมือสอนมาตรฐานในวิชา ODE เบื้องต้นทุกหลักสูตร

ทำไมเครื่องพล็อตนี้ถึงแตกต่าง

คุณสมบัติ	เครื่องมือนี้	เครื่องพล็อตออนไลน์ทั่วไป
คลิกเพื่อลากเส้นโค้ง	แตะที่ใดก็ได้เพื่อสร้างคำตอบ RK4 ใหม่โดยเริ่มจากจุดนั้น	ชุดเส้นโค้งคงที่; ต้องส่งแบบฟอร์มใหม่
การไหลแบบเคลื่อนไหว	อนุภาคไหลตามสนามในเวลาจริง	รูปภาพนิ่งเท่านั้น
ระบายสีตามขนาดความชัน	การไล่ระดับสีแบบสเกล Log ช่วยให้เห็น nullclines และบริเวณที่ค่าเปลี่ยนเร็ว	สีเดียวทั้งภาพ
ส่งออกไฟล์เวกเตอร์	บันทึกเป็น SVG สำหรับกราฟิกที่ซูมได้ไม่จำกัด	ไฟล์แรสเตอร์ PNG เท่านั้น
การอ่านค่าขณะเลื่อนเมาส์	แสดงพิกัด (x, y) และความชันใต้เคอร์เซอร์	ไม่มีการโต้ตอบแบบสด

วิธีการคำนวณเส้นโค้งคำตอบ

สำหรับแต่ละเงื่อนไขเริ่มต้น (x₀, y₀) ที่คุณระบุ เครื่องมือจะทำการอินทิเกรต ODE โดยใช้วิธี Runge-Kutta อันดับสี่ (RK4) แบบคลาสสิก RK4 จะสุ่มตัวอย่างความชันสี่ครั้งต่อขั้นตอน — หนึ่งครั้งที่จุดเริ่มต้น สองครั้งที่ตรงกลาง และหนึ่งครั้งที่จุดสิ้นสุด — แล้วรวมเข้าด้วยกันในค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก:

k₁ = f(x, y) k₂ = f(x + h/2, y + h·k₁/2) k₃ = f(x + h/2, y + h·k₂/2) k₄ = f(x + h, y + h·k₃) y_n+1 = y_n + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

RK4 มีค่าความคลาดเคลื่อนเฉพาะที่ระดับ O(h⁵) และความคลาดเคลื่อนรวมระดับ O(h⁴) ดังนั้นจึงลู่เข้าหาคำตอบที่แท้จริงได้เร็วกว่าวิธีของ Euler ถึงสี่เท่าเมื่อขนาดขั้นตอนลดลง เครื่องพล็อตนี้อินทิเกรตทั้งไปข้างหน้าและข้างหลังจาก (x₀, y₀) เพื่อให้เส้นโค้งขยายออกไปทั้งสองด้านของจุดเริ่มต้นและเติมเต็มพื้นที่ที่มองเห็นได้ทั้งหมด

การอ่านผลลัพธ์พล็อต

เส้นสมดุลและ Nullclines

ที่ใดก็ตามที่ส่วนของเส้นตรงกลายเป็นแนวนอน แสดงว่าคุณอยู่บน nullcline — เส้นโค้งที่ f(x, y) = 0 ในสมการ ODE แบบ autonomous y' = g(y) nullclines ที่เป็นค่าคงที่คือ คำตอบสมดุล; การระบายสีทำให้มองเห็นเส้นเหล่านี้ได้ง่ายในรูปแบบของแถบแนวนอนสีน้ำเงิน

สมดุลแบบเสถียร vs ไม่เสถียร

ที่จุดสมดุลแบบเสถียร คำตอบที่อยู่ใกล้เคียงจะพุ่งกลับเข้าหาจุดนั้น: ลูกศรด้านบนชี้ลง ลูกศรด้านล่างชี้ขึ้น ที่จุดสมดุลแบบไม่เสถียรจะเกิดสิ่งตรงกันข้าม สำหรับ y' = y(1 − y), y = 1 จะเสถียรและ y = 0 จะไม่เสถียร — คุณสามารถเห็นสิ่งนี้ได้ทันทีในตัวอย่าง logistic

บริเวณที่ชันและ Stiffness

ส่วนของเส้นตรงสีแดงระบุตำแหน่งที่ |f(x, y)| มีค่ามาก ดังนั้นคำตอบจะเปลี่ยนไปอย่างรวดเร็วที่นั่น หากพล็อตของคุณเต็มไปด้วยสีแดง สมการจะมีลักษณะ stiff ในบริเวณนั้น และตัวอินทิเกรตเชิงตัวเลขใดๆ จะต้องใช้ขนาดขั้นตอนที่เล็กมากเพื่อให้คงความแม่นยำ

รูปแบบข้อมูลที่รองรับ

1. สมการเชิงอนุพันธ์

อะไรก็ตามที่สามารถแปลผลเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องโดยใช้ x และ y ตัวอย่างทั่วไป: y - x, x*y, sin(x) - y, exp(-x^2) + y, y*(1-y) เครื่องหมาย ^ จะถูกแปลงเป็น ** โดยอัตโนมัติ

2. โดเมน

ตัวเลขสี่ตัวสำหรับช่วง x และ y โดเมนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะให้พล็อตที่อ่านง่ายที่สุด หากแกนหนึ่งยาวกว่ามาก ส่วนของเส้นสัมผัสอาจดูบิดเบี้ยวแม้ว่าค่าความชันจะถูกต้องก็ตาม

3. เงื่อนไขเริ่มต้น

รายการคู่ลำดับ x, y คั่นด้วยอัฒภาคหรือขึ้นบรรทัดใหม่ แต่ละคู่จะกลายเป็นเส้นโค้งคำตอบ RK4 หนึ่งเส้น รองรับเงื่อนไขเริ่มต้นสูงสุด 8 รายการ และสามารถเพิ่มเส้นโค้งเพิ่มเติมได้โดยการคลิกที่พล็อต

วิธีใช้งานเครื่องพล็อตนี้

ป้อนสมการด้านขวา ของ y' = f(x, y) ในช่องนิพจน์ หรือเลือกหนึ่งในหกตัวอย่างสำเร็จรูปเพื่อดูพฤติกรรมแบบคลาสสิก
ตั้งค่าช่วง x และ y เริ่มต้นด้วยพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ใกล้จุดที่น่าสนใจ จากนั้นขยายภาพโดยระบุช่วงที่แคบลง
ระบุเงื่อนไขเริ่มต้น เป็นคู่ x, y คั่นด้วยอัฒภาค หรือปล่อยว่างไว้แล้วค่อยเพิ่มเส้นโค้งหลังจากพล็อตแล้ว
คลิก พล็อตสนามทิศทาง SVG จะเรนเดอร์ทันทีพร้อมส่วนของความชัน ขนาดความชันตามรหัสสี และเส้นโค้งคำตอบที่คุณระบุ
โต้ตอบ: คลิกหรือแตะที่ใดก็ได้บนผืนผ้าใบเพื่อเพิ่มเส้นโค้งคำตอบเพิ่มเติม, เลื่อนเมาส์เพื่ออ่านค่า (x, y, ความชัน), กด แสดงการไหล เพื่อดูอนุภาคเคลื่อนที่ตามสนาม หรือ บันทึก SVG เพื่อส่งออกรูปภาพ

ตัวอย่างประกอบ

พิจารณาสมการคลาสสิก y' = y − x เส้น nullcline คือเส้นตรง y = x ซึ่งมีความชันเป็นศูนย์ เหนือเส้นนี้ความชันเป็นบวก (ลูกศรชี้ขึ้น) และใต้เส้นนี้ความชันเป็นลบ (ลูกศรชี้ลง) ดังนั้นทุกเส้นโค้งคำตอบจะถูกผลักออกจาก y = x ในแนวตั้งแบบเส้นกำกับ

y' = y − x → nullcline: y = x คำตอบทั่วไป: y = x + 1 + C·e^x

เครื่องพล็อตยืนยันลักษณะทางเรขาคณิตนี้ด้วยตา: วิถีทั้งหมด ยกเว้นคำตอบเฉพาะ y = x + 1 จะพุ่งออกอย่างรวดเร็วแบบเอกซ์โพเนนเชียล และการระบายสีจะเปลี่ยนเส้น y = x ให้กลายเป็นริ้วสีน้ำเงินที่ชัดเจนซึ่งค่าความชันหายไป

กรณีการใช้งานทั่วไป

การสอนแนวคิด ODE — สมดุล, ความเสถียร, แอ่งดึงดูด (basin of attraction), พฤติกรรมแบบอานม้า (saddle behavior)
การตรวจสอบคำตอบเชิงวิเคราะห์ — วางเส้นโค้งที่คุณคำนวณเองทับลงบนสนามเพื่อยืนยันว่ามันสัมผัสกับสนามจริงหรือไม่
การสำรวจแบบจำลองประชากร — Logistic, ปรากฏการณ์ Allee, และเทอมการเก็บเกี่ยว ล้วนมีลักษณะเฉพาะตัวบนสนามความชัน
การแสดงภาพระบบควบคุม — ตัวควบคุมเชิงเส้นอันดับหนึ่งลดรูปเหลือ y' = −k·y + u(x) ซึ่งสนามความชันจะแสดงอัตราการตอบสนอง
การเตรียมภาพประกอบ สำหรับเอกสารประกอบการบรรยาย, ตำราเรียน และรายงานทางเทคนิค (ใช้ บันทึก SVG เพื่อผลลัพธ์ที่ไม่สูญเสียรายละเอียด)

ข้อจำกัด

เครื่องมือนี้จัดการ สมการ ODE แบบชัดแจ้งอันดับหนึ่ง เท่านั้น — ระบบสมการเช่น dy/dx = f(x, y), dz/dx = g(x, y, z) ต้องใช้เครื่องมือวาดภาพระนาบสถานะ (phase-portrait) ส่วนสมการแบบไม่ชัดแจ้ง (Implicit) F(x, y, y') = 0 ต้องเขียนใหม่ให้อยู่ในรูป y' = f(x, y) ก่อนพล็อต สำหรับจุดเอกฐาน (จุดที่ f(x, y) เป็นอนันต์หรือไม่ระบุค่า) กริดจะเบาบางและเส้น RK4 จะหยุดลงทันทีแทนที่จะเป็นการประมาณค่านอกช่วง

คำถามที่พบบ่อย

สนามทิศทาง (สนามความชัน) คืออะไร?

สนามทิศทางหรือสนามความชันคือกริดของส่วนของเส้นตรงสั้นๆ ที่วางไว้ที่จุดต่างๆ บนระนาบ x-y ที่แต่ละจุด (x, y) ส่วนของเส้นตรงจะมีค่าความชันเท่ากับ f(x, y) ซึ่งเป็นด้านขวาของสมการ ODE อันดับหนึ่ง y' = f(x, y) เส้นโค้งคำตอบของ ODE จะต้องสัมผัสกับส่วนของเส้นตรงเหล่านี้ในทุกๆ จุด ซึ่งช่วยให้คุณเห็นภาพรวมของกลุ่มคำตอบทั้งหมดได้โดยไม่ต้องแก้สมการด้วยวิธีทางพีชคณิต

เครื่องมือนี้วาดเส้นโค้งคำตอบได้อย่างไร?

สำหรับทุกเงื่อนไขเริ่มต้นที่คุณระบุ เครื่องมือจะทำการอินทิเกรต ODE ในเชิงตัวเลขโดยใช้วิธี Runge-Kutta อันดับสี่ (RK4) แบบคลาสสิกด้วยขนาดขั้นตอนที่เล็ก RK4 จะประเมินค่าความชันสี่ครั้งต่อขั้นตอนและรวมเข้าด้วยกันด้วยค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเพื่อสร้างวิถีที่มีความแม่นยำระดับ O(h^4) เส้นโค้งจะถูกลากทั้งไปข้างหน้าและข้างหลังเริ่มจากจุดเริ่มต้นจนกว่าจะออกจากพื้นที่พล็อตหรือความชันกลายเป็นอนันต์

ฉันสามารถใช้ฟังก์ชันอะไรในนิพจน์ได้บ้าง?

คุณสามารถใช้ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ + - * / ^ ร่วมกับตัวแปร x และ y พร้อมด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin, cos, tan, asin, acos, atan), ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก (sinh, cosh, tanh), ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม (exp, ln, log, log10), รากที่สอง (sqrt), ค่าสัมบูรณ์ (abs) และค่าคงที่ pi และ e ตัวอย่างนิพจน์ที่ถูกต้อง ได้แก่ y - x, x*y, sin(x)*cos(y) และ exp(-x^2) + y

สีต่างๆ หมายถึงอะไร?

เมื่อเลือก 'ระบายสีตาม |ความชัน|' แต่ละส่วนของความชันจะถูกระบายสีตามขนาดของความชันที่จุดนั้นโดยใช้สเกลแบบลอการิทึม สีน้ำเงินแสดงถึงความชันน้อย (การไหลเกือบเป็นแนวนอน) และสีแดงแสดงถึงความชันมาก (การไหลเกือบเป็นแนวตั้ง) สิ่งนี้ช่วยให้เห็นลักษณะต่างๆ เช่น เส้นสมดุล, บริเวณที่ค่าเปลี่ยนอย่างรวดเร็ว (stiff regions) และจุดดึงดูด (attractors) ได้ในพริบตา

Nullcline คืออะไรและทำไมจึงสำคัญ?

Nullcline คือชุดของจุดที่ f(x, y) = 0 ดังนั้นสนามความชันจะเป็นแนวนอนตามแนว nullcline ในสมการ ODE แบบ autonomous เส้น nullcline มักจะประกอบด้วยคำตอบสมดุล ในสมการที่ไม่ใช่ autonomous เส้นเหล่านี้จะทำเครื่องหมายจุดเปลี่ยนของคำตอบ เครื่องมือนี้จะเน้นบริเวณเหล่านี้ด้วยส่วนของเส้นตรงสีน้ำเงินที่เกือบเป็นแนวนอนเมื่อเปิดใช้งานการระบายสีตามความชัน

ฉันสามารถใช้เครื่องมือนี้บนมือถือได้หรือไม่?

ได้ เลย์เอาต์จะปรับตามหน้าจอขนาดเล็กและพล็อต SVG รองรับเหตุการณ์การสัมผัส ดังนั้นคุณสามารถแตะที่ใดก็ได้บนผืนผ้าใบเพื่อเพิ่มเส้นโค้งคำตอบใหม่ การคำนวณทั้งหมดทำที่ฝั่งเซิร์ฟเวอร์ ดังนั้นเครื่องมือจึงทำงานได้เหมือนกันบนโทรศัพท์ แท็บเล็ต และเดสก์ท็อป

อ่านเพิ่มเติม

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องพล็อตสนามทิศทางและสนามความชัน" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องพล็อตสนามทิศทางและสนามความชัน/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 22 เม.ย. 2026

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

เครื่องพล็อตสนามทิศทางและสนามความชัน

เกี่ยวกับ เครื่องพล็อตสนามทิศทางและสนามความชัน

สนามทิศทางคืออะไร?

ทำไมเครื่องพล็อตนี้ถึงแตกต่าง

วิธีการคำนวณเส้นโค้งคำตอบ

การอ่านผลลัพธ์พล็อต

เส้นสมดุลและ Nullclines

สมดุลแบบเสถียร vs ไม่เสถียร

บริเวณที่ชันและ Stiffness

รูปแบบข้อมูลที่รองรับ

1. สมการเชิงอนุพันธ์

2. โดเมน

3. เงื่อนไขเริ่มต้น

วิธีใช้งานเครื่องพล็อตนี้

ตัวอย่างประกอบ

กรณีการใช้งานทั่วไป

ข้อจำกัด

คำถามที่พบบ่อย

สนามทิศทาง (สนามความชัน) คืออะไร?

เครื่องมือนี้วาดเส้นโค้งคำตอบได้อย่างไร?

ฉันสามารถใช้ฟังก์ชันอะไรในนิพจน์ได้บ้าง?

สีต่างๆ หมายถึงอะไร?

Nullcline คืออะไรและทำไมจึงสำคัญ?

ฉันสามารถใช้เครื่องมือนี้บนมือถือได้หรือไม่?

อ่านเพิ่มเติม

แคลคูลัส:

เครื่องมือเด่น: