Kalkulator Aturan Simpson

Tentang Kalkulator Aturan Simpson

Kalkulator Aturan Simpson adalah alat integrasi numerik yang hebat yang mendekati integral tentu dengan mencocokkan kurva parabolik (aturan 1/3) atau kurva kubik (aturan 3/8) melalui titik-titik sampel. Berbeda dengan aturan trapesium yang menggunakan garis lurus di antara titik-titik, aturan Simpson menangkap kelengkungan fungsi, memberikan akurasi O(h⁴) — menjadikannya salah satu metode yang paling banyak digunakan dalam kalkulus, teknik, dan komputasi ilmiah.

Fitur Utama

Cara Menggunakan Kalkulator Aturan Simpson

1. Masukkan fungsi Anda — Ketik ekspresi matematika f(x) seperti x^2, sin(x), exp(-x^2), atau kombinasi fungsi apa pun yang didukung.
2. Atur batas integrasi — Masukkan batas bawah (a) dan batas atas (b), lalu pilih jumlah subinterval (n).
3. Pilih aturan — Pilih Aturan Simpson 1/3 (memerlukan n genap, disesuaikan otomatis jika ganjil) atau Aturan 3/8 (memerlukan n yang habis dibagi 3, disesuaikan otomatis).
4. Klik Hitung — Alat ini menghitung pendekatan dengan solusi langkah demi langkah lengkap yang dirender dalam MathJax.
5. Jelajahi hasil — Berinteraksi dengan visualisasi parabolik, tinjau luas per segmen, bandingkan metode, dan pelajari analisis konvergensi.

Penjelasan Aturan Simpson 1/3

Aturan Simpson 1/3 komposit membagi [a, b] menjadi n subinterval yang sama (n harus genap) dan mencocokkan parabola melalui setiap tiga titik berturut-turut:

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

di mana \( \Delta x = \frac{b - a}{n} \). Koefisien mengikuti pola 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1. Setiap pasangan subinterval menggunakan polinomial kuadrat yang melewati tiga titik, menangkap kelengkungan fungsi jauh lebih baik daripada interpolasi linier.

Penjelasan Aturan Simpson 3/8

Aturan 3/8 menggunakan interpolasi kubik pada kelompok tiga subinterval (n harus habis dibagi 3):

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

Koefisien mengikuti pola 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1. Meskipun kedua aturan mencapai akurasi O(h⁴), aturan 3/8 berguna ketika n tidak genap.

Perbandingan Kesalahan

Menggandakan n mengurangi kesalahan aturan Simpson sekitar 16×, dibandingkan dengan hanya 4× untuk aturan trapesium. Ini membuat aturan Simpson konvergen jauh lebih cepat untuk fungsi yang mulus.

Kapan Menggunakan Setiap Aturan

• Aturan Simpson 1/3 — Terbaik untuk sebagian besar aplikasi. Gunakan saat n genap (atau dapat dibuat genap). Paling akurat per evaluasi fungsi di antara tiga rumus dasar Newton-Cotes.
• Aturan Simpson 3/8 — Gunakan saat n adalah kelipatan 3 tetapi tidak genap. Juga berguna dalam rumus komposit saat dikombinasikan dengan aturan 1/3 untuk menangani jumlah subinterval ganjil.
• Aturan Trapesium — Lebih disukai bila data berjarak tidak rata, n ganjil dan kecil, atau kesederhanaan lebih penting daripada akurasi. Juga lebih baik untuk fungsi dengan diskontinuitas dalam turunan yang lebih tinggi.

Fungsi yang Didukung

Kalkulator ini mendukung berbagai macam fungsi matematika:

• Polinomial: x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
• Trigonometri: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
• Eksponensial/Logaritmik: exp(x), ln(x), log(x)
• Akar: sqrt(x)
• Konstanta: pi, e
• Kombinasi: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

Pertanyaan yang Sering Diajukan