幾何分佈計算機

幾何分佈計算機

幾何分佈計算機可計算獲得第一次成功所需之獨立伯努利試驗次數的精確機率。輸入每次試驗的成功機率和試驗次數（或失敗次數），即可立即獲得點機率和累積機率、逐步解決方案、動畫試驗序列視覺化、PMF/CDF 圖表以及完整的分佈表。本工具完整支援兩種參數化方式：試驗次數和成功前的失敗次數。

什麼是幾何分佈？

幾何分佈是一種離散機率分佈，它模型化了在伯努利試驗序列中獲得第一次成功所需的試驗次數。每次試驗都有相同的成功機率 p 和失敗機率 q = 1 − p。它是指數分佈的離散模擬，並且是唯一具有無記憶性的離散分佈。

兩種常見的參數化方式

幾何分佈有兩種標準形式，這常引起混淆。本計算機支援這兩者：

• 試驗次數參數化 (X)： X 計算第一次成功發生時的試驗次數。X 的取值為 1, 2, 3, … 且 P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p。平均值為 1/p。
• 失敗次數參數化 (Y)： Y 計算第一次成功前的失敗次數。Y 的取值為 0, 1, 2, … 且 P(Y = k) = (1 − p)^k × p。平均值為 (1 − p)/p。請注意 Y = X − 1。

幾何 PMF 公式

對於試驗次數參數化（本計算機的預設設置）：

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p，對於 k = 1, 2, 3, …

直覺很簡單：前 (k − 1) 次試驗必須全是失敗（每次機率為 1 − p），而第 k 次試驗必須是成功（機率為 p）。由於試驗是獨立的，我們將這些機率相乘。

CDF (累積分佈函數)

CDF 有一個簡潔的封閉式表達式：

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

這給出了第一次成功發生在前 k 次試驗內的機率。它相當於 1 減去所有 k 次試驗皆為失敗的機率。

平均值、變異數與其他統計量

• 平均值（期望值）： E[X] = 1/p — 平均而言，您需要 1/p 次試驗才能獲得第一次成功。
• 變異數： Var(X) = (1 − p) / p² — 當 p 較小時（成功很罕見），變異數較高。
• 標準差： σ = √((1 − p) / p²)
• 中位數： ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — 使得 P(X ≤ k) ≥ 0.5 的最小 k 值。
• 眾數： 始終為 1 — 最可能的結果是第一次試驗就成功。
• 偏度： (2 − p) / √(1 − p) — 始終為正（右偏）。

無記憶性

幾何分佈是唯一具備無記憶性的離散分佈：

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

這意味著如果您已經失敗了 s 次，還需要至少 t 次試驗的機率，與您剛開始時的機率是相同的。過去的失敗不會改變未來的機率——這是有道理的，因為每次試驗都是獨立的。

常見應用

• 拋硬幣 — 拋幾次才會出現第一次正面？當 p = 0.5 時，預期次數為 2 次。
• 銷售與行銷 — 打幾通冷啟動電話才能成交第一筆生意？如果轉換率為 5%，平均預期需要打 20 通電話。
• 品質控制 — 在發現第一個缺陷品之前需要檢查多少個項目？模型化罕見事件的等待時間。
• 賭博與遊戲 — 擲幾次骰子才會擲出 6？當 p = 1/6 時，預期次數為 6 次。
• 網路可靠性 — 需要進行多少次封包傳輸才能成功一次？模型化電腦網路中的重傳協定。
• 遺傳學 — 直到出現一個具有特定特徵的後代需要多少個子代？適用於性狀遺傳遵循孟德爾比率時。

與其他分佈的關係

• 負二項分佈： 幾何分佈是負二項分佈在 r = 1（等待正好 1 次成功）時的特殊情況。
• 指數分佈： 幾何分佈是連續型指數分佈的離散模擬。兩者都具有無記憶性。
• 伯努利分佈： 每次試驗都遵循伯努利分佈。幾何分佈計算直到第一次成功所需的伯努利試驗次數。

如何使用此計算機

1. 輸入每次試驗的成功機率 (p)。此值必須介於 0（不含）和 1（含）之間。
2. 選擇參數化方式：試驗次數 (k = 1, 2, 3, …) 或成功前的失敗次數 (k = 0, 1, 2, …)。
3. 輸入 k 的值。
4. 點擊「計算機率」以查看精確機率和累積機率、逐步解題過程、動畫試驗序列、PMF/CDF 圖表以及完整分佈表。
5. 使用快速情境按鈕立即探索常見的現實案例。

常見問題

幾何分佈是用來做什麼的？

幾何分佈模型化了獲得第一次成功所需之獨立試驗的次數。每當您想回答「在成功之前我需要嘗試多少次？」且假設每次嘗試的成功機率相同時，就可以使用它。常見應用包括銷售電話分析、品質檢驗、賭博、網路重傳和遺傳學。

兩種參數化方式有什麼不同？

試驗次數參數化計算第一次成功的試驗序號（從 1 開始），而失敗次數參數化計算第一次成功前的失敗次數（從 0 開始）。它們正好相差 1：如果 X 是試驗次數，那麼 Y = X − 1 就是失敗次數。兩者對於對應的 k 值都會給出相同的機率值。

什麼是無記憶性？

無記憶性意味著過去的失敗不影響未來成功的機率。如果您已經拋了一枚公平硬幣 10 次都沒有出現正面，那麼還需要正好 1 次拋擲的機率仍然是 0.5 —— 硬幣不會「記住」過去的拋擲。幾何分佈是唯一具有此特性的離散分佈。

幾何分佈與負二項分佈有什麼關係？

幾何分佈是負二項分佈的一個特例，即您在等待第 r = 1 次成功。負二項分佈將此推廣到等待第 r 次成功，其中 r 可以是任何正整數。

為什麼眾數總是 1？

眾數總是 1（在失敗次數參數化中為 0），因為最有可能發生的單一結果就是在第一次試驗中獲得成功。此時機率為 p，這是 PMF 中的最大值。之後的每次試驗機率都會降低，因為必須先發生額外的失敗。

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