二項機率分布計算機

歡迎使用 二項機率分布計算機，這是一個全面的統計工具，可計算精確和累積二項分布機率，提供逐步解題過程、互動式分布視覺化以及詳細的統計分析。無論您是學習機率論的學生、分析實驗數據的研究人員，還是質量控制領域的專業人士，此計算機都能提供您所需的精確性和清晰度。

什麼是二項分布？

二項分布 是一種離散機率分布，模擬了在固定次數的獨立伯努利試驗中成功的次數。每次試驗只有兩種可能的結果（成功或失敗），且每次試驗成功的機率保持不變。

二項分布由兩個參數特徵化：

• n - 試驗（實驗）次數
• p - 每次試驗成功的機率

二項分布機率公式 (PMF)

在 n 次試驗中恰好獲得 k 次成功的機率由機率質量函數 (PMF) 給出：

其中：

• $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是二項式係數（「n 取 k」）
• $p^k$ 代表 k 次成功的機率
• $(1-p)^{n-k}$ 代表 (n-k) 次失敗的機率

累積分布函數 (CDF)

CDF 給出最多 k 次成功的機率：

本計算機的主要功能

如何使用本計算機

1. 輸入試驗次數 (n)： 這是獨立實驗的總次數。例如，如果拋硬幣 10 次，則 n = 10。
2. 輸入成功機率 (p)： 單次試驗成功的機率，介於 0 和 1 之間。對於均勻硬幣，p = 0.5。
3. 輸入成功次數 (k)： 您想要查找其機率的具體成功次數。必須介於 0 和 n 之間。
4. 點擊「計算機率」： 查看完整的機率分析，包括精確機率、累積機率、逐步解題過程和視覺化圖表。

理解結果

機率值

• P(X = k): 恰好獲得 k 次成功的機率 (PMF)
• P(X ≤ k): 獲得 k 次或更少成功的機率 (CDF)
• P(X ≥ k): 獲得 k 次或更多成功的機率 = 1 - P(X ≤ k-1)
• P(X < k): 獲得少於 k 次成功的機率 = P(X ≤ k-1)

統計量

• 平均值 (μ): 預期的成功次數 = n × p
• 變異數 (σ²): 離散程度的度量 = n × p × (1-p)
• 標準差 (σ): 變異數的平方根
• 眾數: 最有可能發生的成功次數
• 偏度: 分布不對稱程度的度量

現實世界的應用

質量控制

製造企業使用二項分布來確定在一批產品中發現一定數量缺陷產品的機率。例如，如果生產線的缺陷率為 2%，而您檢驗了 50 個產品，發現 3 個以上缺陷產品的機率是多少？

臨床試驗

醫學研究人員使用二項分布來分析治療效果。如果一種新藥的成功率為 70% 且施用於 20 名患者，那麼至少 15 名患者好轉的機率是多少？

調查分析

民意調查機構使用二項分布來計算誤差幅度和置信區間。如果 60% 的人口支援某項政策，而您調查了 100 人，那麼觀察到 55 到 65 名支援者的機率是多少？

體育統計

分析師使用二項分布來預測比賽結果。如果一名籃球運動員的罰球成功率為 75%，那麼 10 次罰球中至少命中 8 次的機率是多少？

二項分布的條件

當滿足以下所有條件時，二項分布是適用的：

• 固定次數的試驗： 實驗次數 (n) 是預先確定的
• 兩種結果： 每次試驗結果不是成功就是失敗
• 獨立試驗： 一次試驗的結果不影響其他試驗
• 恆定機率： 每次試驗成功的機率 (p) 保持不變

常見問題解答

什麼是二項分布？

二項分布模擬了在固定次數的獨立伯努利試驗中成功的次數，每次試驗成功的機率相同。例如，它可以模擬拋硬幣 10 次中正面向上的次數，或者在一批 50 個產品中，當每個產品的缺陷率為 5% 時，缺陷產品的數量。

二項分布機率公式是什麼？

二項分布機率公式為 P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)，其中 C(n,k) 是二項式係數，n 是試驗次數，k 是成功次數，p 是單次試驗成功的機率。

PMF 和 CDF 有什麼區別？

PMF（機率質量函數）給出恰好 k 次成功的機率：P(X = k)。CDF（累積分布函數）給出最多 k 次成功的機率：P(X ≤ k)，它是從 0 到 k 所有機率的總和。

二項分布的平均值和變異數是多少？

對於參數為 n 和 p 的二項分布：平均值 (μ) = n × p，變異數 (σ²) = n × p × (1-p)，標準差 (σ) = √(n × p × (1-p))。

什麼時候應該使用二項分布而不是其他分布？

當您有固定次數的獨立試驗，且每次試驗只有兩個結果和恆定的機率時，請使用二項分布。當 n 很大且 p 很小時，使用泊松分布來計算固定間隔內的事件。當 n×p 和 n×(1-p) 都大於 5 時，使用正態近似。

如何計算累積二項分布機率？

要計算 P(X ≤ k)，請將從 X=0 到 X=k 的所有單個機率相加。對於 P(X ≥ k)，請使用互補：P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)。我們的計算機可自動計算所有這些機率。

其他資源

• 二項分布 - 維基百科
• 二項分布 - 可汗學院