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泊松分佈計算機

計算泊松機率 P(X=k)、累計機率，並視覺化 PMF/CDF 分佈，提供詳細的分步解決方案。

泊松分佈計算機
快速示例
泊松 PMF 公式
$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$
預期每間隔的事件數 (0.01 - 100)
非負整數 (0 - 200)

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泊松分佈計算機

歡迎使用 泊松分佈計算機，這是一個全面的工具，用於計算泊松機率，並提供互動式視覺化和分步解法。無論您是學習機率論的學生，還是分析事件數據的研究人員，亦或是使用統計模型的專業人士，此計算機都能為您提供準確的結果和詳細的說明。

什麼是泊松分佈？

泊松分佈是一種離散機率分佈，用於模擬在固定時間或空間間隔內發生的事件數量。它以法國數學家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，是機率論和統計學中最重要的分佈之一。

泊松分佈由單一參數 lambda (λ) 表徵，該參數代表每個間隔的平均事件發生率。關鍵屬性包括：

泊松機率質量函數 (PMF)
$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$$

理解 Lambda (λ) 和 k

什麼是 Lambda (λ)？

Lambda (λ) 是泊松分佈的平均發生率參數。它代表每個間隔內的預期事件數。例如：

什麼是 k？

變量 k 代表您想要計算其機率的特定事件數量。它必須是一個非負整數（0, 1, 2, 3, ...）。例如，如果您想知道一小時內恰好接到 3 個電話的機率，那麼 k = 3。

如何計算泊松分佈機率

  1. 確定參數： 確定平均事件發生率 (λ) 和您想要計算機率的事件數 (k)。
  2. 輸入數值： 在計算機中輸入代表平均發生率的 lambda (λ) 值和代表事件數的 k 值。
  3. 計算機率： 點擊“計算”以獲取 P(X = k)、P(X ≤ k)、P(X > k) 以及其他機率指標和視覺化效果。
  4. 查看分步解法： 檢查詳細的數學步驟，了解如何使用泊松公式計算每個機率。
  5. 分析圖表： 使用 PMF 柱狀圖和 CDF 階梯圖視覺化分佈並了解機率分佈情況。
示例：客戶到達

一家咖啡館平均每小時接待 5 名客戶。在給定的一小時內恰好有 3 名客戶到達的機率是多少？

解法： 當 λ = 5 且 k = 3 時：

$$P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} = \frac{0.00674 \times 125}{6} \approx 0.1404$$

恰好有 3 名客戶到達的機率約為 14.04%。

機率類型說明

機率類型 符號 含義
精確機率 P(X = k) 恰好發生 k 次事件的機率
累計（最多） P(X ≤ k) 發生 k 次或更多次事件的機率
累計（少於） P(X < k) 發生少於 k 次事件的機率
尾部（多於） P(X > k) 發生多於 k 次事件的機率
尾部（至少） P(X ≥ k) 發生 k 次或更多次事件的機率

PMF 和 CDF 有什麼區別？

PMF（機率質量函數） 給出恰好發生 k 次事件的機率：P(X = k)。它顯示了每個特定 k 值的機率。

CDF（累計分佈函數） 給出最多發生 k 次事件的機率：P(X ≤ k)。它是從 0 到 k 的所有 PMF 值之和：

累計分佈函數 (CDF)
$$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^i}{i!}$$

泊松分佈的应用

泊松分佈廣泛應用於許多領域：

何時使用泊松分佈

在以下情況下使用泊松分佈：

常見問題解答

什麼是泊松分佈？

泊松分佈是一種離散機率分佈，用於模擬在固定時間或空間間隔內發生的事件數量，前提是事件以已知的恆定平均發生率 (λ) 發生，且彼此獨立。它常用於模擬罕見事件，如客戶到達、系統故障或放射性衰變。

泊松分佈中的 lambda (λ) 是什麼？

Lambda (λ) 是泊松分佈的平均發生率參數。它代表每個間隔內的預期事件數。例如，如果一個呼叫中心平均每小時接到 5 個電話，那麼 λ = 5。Lambda 必須為正數，可以是任何大於零的實數。

如何計算泊松分佈的 P(X = k)？

恰好發生 k 次事件的機率使用泊松 PMF 公式計算：P(X = k) = (e^(-λ) × λ^k) / k!。例如，當 λ = 5 且 k = 3 時：P(X = 3) = (e^(-5) × 5^3) / 3! = (0.00674 × 125) / 6 ≈ 0.1404，即約 14.04%。

泊松分佈中 PMF 和 CDF 有什麼區別？

PMF（機率質量函數）給出恰好發生 k 次事件的機率：P(X = k)。CDF（累計分佈函數）給出最多發生 k 次事件的機率：P(X ≤ k)，它是從 0 到 k 的所有 PMF 值之和。CDF 對於計算結果範圍的機率非常有用。

什麼時候應該使用泊松分佈？

在以下情況下使用泊松分佈：(1) 事件獨立發生，(2) 事件以恆定的平均速率發生，(3) 兩個事件不能在完全相同的瞬間發生，以及 (4) 您正在計算固定間隔內的事件數量。常見的應用包括模擬網站流量、保險索賠、設備故障和生物過程。

參考資料

引用此內容、頁面或工具為：

"泊松分佈計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/泊松分佈計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊創建。最後更新時間：2026年1月13日

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