機率分布計算機

歡迎使用機率分布計算機，這是一個用於計算各種機率分布的機率、累積機率 (CDF) 和分位數（逆 CDF）的綜合統計工具。無論您是學習統計學的學生、分析數據的研究人員，還是使用統計模型的專業人士，此計算機都提供詳細的逐步解法和互動式視覺化，幫助您深入理解機率分布。

支援的機率分布

此計算機支援七種常用的機率分布，每種分佈都適用於不同類型的隨機現象：

了解 PDF、CDF 和分位數函數

機率密度/質量函數 (PDF/PMF)

PDF（用於連續分佈）或 PMF（用於離散分佈）給出隨機變量取特定值的相對可能性。對於連續分佈，PDF 值本身不是機率而是密度——機率是通過在區間內對 PDF 進行積分得到的。

累積分佈函數 (CDF)

CDF（記作 F(x)）給出隨機變量 X 小於或等於數值 x 的機率。寫作 P(X ≤ x)。隨著 x 的增加，CDF 始終從 0 增加到 1。

分位數函數（逆 CDF）

分位數函數（也稱為百分位點函數或逆 CDF）用於尋找滿足 P(X ≤ x) = p 的值 x。它回答了：“分佈中只有 (1-p)×100% 的值超過了哪個數值？”這對於尋找假設檢定中的臨界值至關重要。

分佈公式

常態分佈

常態（高斯）分佈是對稱且呈鐘形的，由平均值 μ（中心）和標準差 σ（分佈寬度）表徵。

• 機率密度函數： \( f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)
• 累積分布函數： \( F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] \)
• 分位數: \( x = \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \)

二項分佈

模擬 n 次獨立試驗中的成功次數，每次試驗成功的機率為 p。

• PMF: \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
• CDF: \( F(k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \)

卜瓦松分佈

模擬事件以恆定平均速率 λ 發生時，在固定間隔內的事件數量。

• PMF: \( P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \)
• CDF: \( F(k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!} \)

指數分佈

模擬具有率 λ 的卜瓦松過程中事件之間的時間間隔。

• PDF: \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) 當 x ≥ 0
• CDF: \( F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \)
• 分位數: \( x = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda} \)

卡方分佈

在統計學中由標準常態變量的平方和產生。用於變異數的假設檢定和信賴區間。

• PDF: \( f(x) = \frac{x^{k/2-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \) 當 x > 0

Student's t 分佈

與常態分佈相似，但具有更肥厚的尾部。當樣本量較小或母體變異數未知時，用於母體平均值的推論。

• 機率密度函數： \( f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} \)

如何使用此計算機

1. 選擇分佈： 點擊與您的數據或問題匹配的分佈卡片。每張卡片顯示分佈類型（連續型或離散型）。
2. 選擇計算類型： 選擇 PDF/PMF 用於點機率，CDF 用於累積機率，或 Quantile 用於根據給定機率尋找數值。
3. 輸入參數： 輸入分佈參數。表格會根據您選擇的分佈動態顯示相關參數。
4. 輸入數值或機率： 對於 PDF/CDF，輸入 x 值（離散型為 k）。對於分位數，輸入 0 到 1 之間的機率。
5. 查看結果： 查看計算出的結果、逐步數學推導以及互動式分佈視覺化圖表。

常見問題解答

什麼是機率分布？

機率分布是一個數學函數，描述了隨機變量不同可能結果的可能性。它可以是離散的（如二項分佈或卜瓦松分佈）用於可計數的結果，也可以是連續的（如常態分佈或指數分佈）用於可以在一定範圍內取任何值的結果。

PDF 和 CDF 有什麼區別？

PDF（機率密度函數）或 PMF（機率質量函數）給出特定點的機率密度。對於離散分佈，PMF 給出精確機率 P(X=k)。CDF（累積分佈函數）給出隨機變量小於或等於某個值的機率：P(X≤x)。CDF 是 PDF/PMF 的累積和或積分。

什麼時候應該使用常態分佈？

常態分佈適用於圍繞平均值對稱分佈的連續數據。它常用於身高、考試成績、測量誤差和許多生物變量。中央極限定理指出，無論母體分佈如何，樣本平均值都趨向於常態分佈。

什麼是分位數函數？

分位數函數（也稱為逆 CDF 或百分位點函數）用於尋找滿足 P(X≤x) = p 的值 x。例如，分佈的第 95 百分位數 (p=0.95) 是指有 95% 的觀測值低於該值。

如何選擇不同的分佈？

根據數據特徵選擇：常態分佈用於對稱連續數據；二項分佈用於固定試驗次數的成功計數；卜瓦松分佈用於固定間隔內的稀有事件計數；指數分佈用於事件間的時間；均勻分佈用於範圍內等機率；卡方分佈用於變異數檢定；Student's t 分佈用於母體變異數未知的小樣本。

更多資源

• 機率分布 - 維基百科
• 常態分佈 - 維基百科
• 統計與機率 - 可汗學院