เครื่องคำนวณรัศมีการลู่เข้า

Q: รัศมีการลู่เข้าคืออะไร?

รัศมีการลู่เข้า R ของอนุกรมกำลังคือระยะทางจากจุดศูนย์กลางของอนุกรมไปยังขอบเขตของบริเวณที่อนุกรมลู่เข้า สำหรับอนุกรมกำลังที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ a อนุกรมจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์เมื่อ |x - a| R โดยที่ R สามารถเป็น 0 (ลู่เข้าเฉพาะที่จุดศูนย์กลาง), จำนวนบวก หรือเป็นอนันต์ (ลู่เข้าทุกที่)

Q: ข้อแตกต่างระหว่างการทดสอบอัตราส่วนและการทดสอบรากคืออะไร?

การทดสอบทั้งสองใช้ระบุรัศมีการลู่เข้าแต่ใช้วิธีการที่ต่างกัน การทดสอบอัตราส่วน (Ratio Test) จะคำนวณลิมิตของ |a_{n+1}/a_n| ในขณะที่การทดสอบราก (Root Test) จะคำนวณลิมิตของ |a_n|^(1/n) บางครั้งการทดสอบรากจะมีประสิทธิภาพมากกว่า (สามารถใช้ได้ในทุกกรณีที่การทดสอบอัตราส่วนใช้ได้ และในบางกรณีที่ใช้ไม่ได้) แต่การทดสอบอัตราส่วนมักจะคำนวณได้ง่ายกว่าสำหรับนิพจน์ที่มีแฟกทอเรียล

Q: รัศมีการลู่เข้าบอกข้อมูลเกี่ยวกับจุดปลายหรือไม่?

ไม่ รัศมีการลู่เข้าบอกเราเพียงการลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ภายในช่วงและการลู่ออกภายนอกช่วงเท่านั้น ที่จุดปลาย x = a - R และ x = a + R อนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้ และแต่ละจุดปลายจะต้องได้รับการทดสอบแยกกันโดยใช้การทดสอบอื่นๆ เช่น การทดสอบอนุกรมสลับ, การทดสอบอนุกรมพี หรือการทดสอบการเปรียบเทียบ

Q: อนุกรมกำลังทั่วไปและรัศมีการลู่เข้ามีอะไรบ้าง?

ตัวอย่างทั่วไป ได้แก่: e^x มี R = infinity; sin(x) และ cos(x) มี R = infinity; 1/(1-x) (อนุกรมเรขาคณิต) มี R = 1; ln(1+x) มี R = 1; อนุกรมผลรวมของ x^n/n! มี R = infinity; และผลรวมของ n!*x^n มี R = 0

หารัศมีและช่วงแห่งการลู่เข้าสำหรับอนุกรมกำลังโดยใช้การทดสอบอัตราส่วน (Ratio Test) หรือการทดสอบราก (Root Test) พร้อมวิธีทำทีละขั้นตอน การแสดงภาพการลู่เข้า และการวิเคราะห์จุดปลาย

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกอัปเดต ก.พ. 2026

เครื่องคำนวณรัศมีการลู่เข้าลองใช้เลย — ฟรี ▼

ลองใช้ตัวอย่างอนุกรม:

อนุกรม e^x ln(1+x) n^2/3^n สัมประสิทธิ์

โหมดการป้อนข้อมูล

พจน์ทั่วไป $ a_n $

นิพจน์ในรูปตัวแปร n (และ x ได้ในบางกรณี) ตัวอย่าง: 1/factorial(n), (-1)**n/(n+1), n**2/3**n

สัมประสิทธิ์ $ a_0, a_1, a_2, \ldots $

ค่าคั่นด้วยจุลภาค ต้องมีอย่างน้อย 3 สัมประสิทธิ์ ตัวอย่าง: 1, -1/2, 1/3, -1/4

จุดศูนย์กลาง $ c $

จุดศูนย์กลางของอนุกรมกำลัง (ค่าเริ่มต้น: 0)

การทดสอบการลู่เข้า

คำแนะนำ: ใช้การทดสอบอัตราส่วนสำหรับอนุกรมที่มีแฟกทอเรียล ใช้การทดสอบรากสำหรับอนุกรมที่มีกำลังที่ n ดู เครื่องคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์ ของเราเพื่อกระจายฟังก์ชันเป็นอนุกรมกำลัง

Embed เครื่องคำนวณรัศมีการลู่เข้า Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณรัศมีการลู่เข้า

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณรัศมีการลู่เข้า เครื่องมือที่ครอบคลุมสำหรับการวิเคราะห์การลู่เข้าของอนุกรมกำลัง ไม่ว่าคุณกำลังเรียนวิชาแคลคูลัส เตรียมตัวสอบ หรือกำลังทำวิจัยทางคณิตศาสตร์ เครื่องคำนวณนี้จะระบุรัศมีและช่วงของการลู่เข้าโดยใช้ทั้ง การทดสอบอัตราส่วน (Ratio Test) หรือ การทดสอบราก (Root Test) พร้อมทั้งแสดงวิธีการแก้ปัญหาอย่างละเอียดทีละขั้นตอนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

รัศมีการลู่เข้าคืออะไร?

รัศมีการลู่เข้า $ R $ ของอนุกรมกำลัง $ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n $ คือจำนวนจริงขยายที่ไม่เป็นลบซึ่งทำให้อนุกรมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์สำหรับ $ |x - c| < R $ และลู่ออกสำหรับ $ |x - c| > R $ ที่ขอบเขต $ |x - c| = R $ จะต้องตรวจสอบการลู่เข้าแยกต่างหากในแต่ละจุดปลาย

รัศมีการลู่เข้าจะกำหนดช่วงที่สมมาตรรอบจุดศูนย์กลาง $ c $ ซึ่งภายในช่วงนั้นอนุกรมกำลังจะแทนฟังก์ชันที่นิยามไว้อย่างชัดเจน แนวคิดนี้เป็นพื้นฐานสำคัญในการวิเคราะห์ สมการเชิงอนุพันธ์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์หลายแขนง

รูปแบบทั่วไปของอนุกรมกำลัง

อนุกรมกำลัง

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n = a_0 + a_1(x-c) + a_2(x-c)^2 + \cdots$$

วิธีการหารัศมีการลู่เข้า

การทดสอบอัตราส่วน (The Ratio Test)

เป็นวิธีที่ใช้บ่อยที่สุด โดยการคำนวณลิมิต:

สูตรการทดสอบอัตราส่วน

$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}$$

การทดสอบอัตราส่วนจะมีประสิทธิภาพอย่างยิ่งเมื่อพจน์ทั่วไปประกอบด้วย แฟกทอเรียล, เลขยกกำลัง หรือ ผลคูณ โดยจะเปรียบเทียบอัตราการเติบโตของพจน์ที่อยู่ติดกันโดยตรง

การทดสอบราก (The Root Test / Cauchy-Hadamard Theorem)

เป็นทางเลือกที่บางครั้งอาจมีประสิทธิภาพมากกว่า:

สูตรการทดสอบราก

$$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}$$

การทดสอบรากจะมีประโยชน์อย่างมากเมื่อพจน์ทั่วไปมี กำลังที่ n เช่น $ a_n = r^n $ หรือนิพจน์ที่อัตราส่วนของพจน์ที่ติดกันนั้นทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายได้ยาก

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

เลือกโหมดการป้อนข้อมูล: ป้อนพจน์ทั่วไป $ a_n $ ในรูปแบบนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ หรือป้อนรายการของสัมประสิทธิ์
ระบุจุดศูนย์กลาง: ป้อนจุดศูนย์กลาง $ c $ ของอนุกรมกำลังของคุณ (ค่าเริ่มต้นคือ 0 สำหรับอนุกรมแมคลอริน)
เลือกการทดสอบ: เลือกระหว่างการทดสอบอัตราส่วนหรือการทดสอบรากตามรูปแบบของอนุกรมของคุณ
คำนวณ: คลิกปุ่มเพื่อดูรัศมีการลู่เข้า ช่วงการลู่เข้า การอนุพัทธ์ทีละขั้นตอน และการแสดงภาพการลู่เข้า

การทำความเข้าใจผลลัพธ์

ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สามประการ

$ R = \infty $: อนุกรมลู่เข้าสำหรับจำนวนจริง $ x $ ทุกตัว ตัวอย่างเช่น $ e^x, \sin(x), \cos(x) $
$ 0 < R < \infty $: อนุกรมลู่เข้าในช่วงเปิด $ (c - R, c + R) $ และลู่ออกภายนอกช่วงนั้น จุดปลายจำเป็นต้องได้รับการวิเคราะห์แยกต่างหาก
$ R = 0 $: อนุกรมลู่เข้าเฉพาะที่จุดศูนย์กลาง $ x = c $ เท่านั้น ตัวอย่างเช่น: $ \sum n! \cdot x^n $

การวิเคราะห์จุดปลาย

เมื่อ $ 0 < R < \infty $ การทดสอบอัตราส่วนและรากจะไม่สามารถสรุปผลได้ที่จุด $ x = c \pm R $ คุณจำเป็นต้องใช้การทดสอบเพิ่มเติม:

การทดสอบอนุกรมสลับ: สำหรับอนุกรมที่มีเครื่องหมายสลับกันที่จุดปลาย
การทดสอบอนุกรมพี: เปรียบเทียบกับ $ \sum 1/n^p $
การทดสอบการเปรียบเทียบ: เปรียบเทียบกับอนุกรมที่ทราบผลการลู่เข้าหรือลู่ออกอยู่แล้ว
การทดสอบการลู่ออก: หากพจน์ต่างๆ ไม่ลู่เข้าสู่ศูนย์ อนุกรมนั้นจะลู่ออก

อนุกรมกำลังทั่วไปและรัศมีการลู่เข้า

ฟังก์ชัน	อนุกรมกำลัง	รัศมี R	ช่วง
$ e^x $	$ \sum \frac{x^n}{n!} $	$ \infty $	$ (-\infty, \infty) $
$ \sin(x) $	$ \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $	$ \infty $	$ (-\infty, \infty) $
$ \cos(x) $	$ \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $	$ \infty $	$ (-\infty, \infty) $
$ \frac{1}{1-x} $	$ \sum x^n $	$ 1 $	$ (-1, 1) $
$ \ln(1+x) $	$ \sum \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} $	$ 1 $	$ (-1, 1] $
$ \arctan(x) $	$ \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} $	$ 1 $	$ [-1, 1] $
$ (1+x)^\alpha $	$ \sum \binom{\alpha}{n} x^n $	$ 1 $	ขึ้นอยู่กับ $ \alpha $

ควรใช้การทดสอบใดเมื่อไหร่

ใช้การทดสอบอัตราส่วนเมื่อ:

พจน์ทั่วไปมี แฟกทอเรียล (เช่น $ n! $, $ (2n)! $)
พจน์ทั่วไปเกี่ยวข้องกับ ผลคูณของจำนวนเต็มลำดับกัน
คุณสามารถทำให้อัตราส่วน $ a_{n+1}/a_n $ อยู่ในรูปอย่างง่ายได้ง่าย

ใช้การทดสอบรากเมื่อ:

พจน์ทั่วไปอยู่ในรูปแบบ $ (f(n))^n $
พจน์ทั่วไปเกี่ยวข้องกับ กำลังที่ n ซึ่งสามารถทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายได้ภายใต้รากที่ n
การทดสอบอัตราส่วนไม่สามารถสรุปผลได้ (ทั้งสองการทดสอบจะให้ผลตรงกันเมื่อใช้ได้ทั้งคู่ แต่การทดสอบรากจะมีประสิทธิภาพครอบคลุมมากกว่า)

คู่มือรูปแบบการป้อนข้อมูล

ยกกำลัง: ใช้ ** หรือ ^ (เช่น n**2 หรือ n^2)
แฟกทอเรียล: ใช้ factorial(n) (เช่น 1/factorial(n))
ฟังก์ชันทั่วไป: sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt
ค่าคงที่: pi, e
ตัวแปร: ใช้ n สำหรับตัวแปรดัชนี, ใช้ x สำหรับตัวแปรอนุกรม

คำถามที่พบบ่อย

รัศมีการลู่เข้าคืออะไร?

รัศมีการลู่เข้า R ของอนุกรมกำลังคือระยะทางจากจุดศูนย์กลางของอนุกรมไปยังขอบเขตของบริเวณที่อนุกรมลู่เข้า สำหรับอนุกรมกำลังที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ a อนุกรมจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์เมื่อ |x - a| < R และลู่ออกเมื่อ |x - a| > R โดยที่ R สามารถเป็น 0 (ลู่เข้าเฉพาะที่จุดศูนย์กลาง), จำนวนบวก หรือเป็นอนันต์ (ลู่เข้าทุกที่)

จะหารัศมีการลู่เข้าโดยใช้การทดสอบอัตราส่วนได้อย่างไร?

ในการหารัศมีการลู่เข้าโดยใช้การทดสอบอัตราส่วน: ให้คำนวณ L = lim(n เข้าสู่ infinity) |a_{n+1}/a_n| รัศมีการลู่เข้าคือ R = 1/L หาก L = 0 จะได้ R = infinity (ลู่เข้าทุกที่) หาก L = infinity จะได้ R = 0 (ลู่เข้าเฉพาะที่จุดศูนย์กลาง) อนุกรมจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์เมื่อ |x - a| < R

ข้อแตกต่างระหว่างการทดสอบอัตราส่วนและการทดสอบรากคืออะไร?

การทดสอบทั้งสองใช้ระบุรัศมีการลู่เข้าแต่ใช้วิธีการที่ต่างกัน การทดสอบอัตราส่วนจะคำนวณลิมิตของ |a_{n+1}/a_n| ในขณะที่การทดสอบรากจะคำนวณลิมิตของ |a_n|^(1/n) บางครั้งการทดสอบรากจะมีประสิทธิภาพมากกว่า (สามารถใช้ได้ในทุกกรณีที่การทดสอบอัตราส่วนใช้ได้ และในบางกรณีที่ใช้ไม่ได้) แต่การทดสอบอัตราส่วนมักจะคำนวณได้ง่ายกว่าสำหรับนิพจน์ที่มีแฟกทอเรียล

รัศมีการลู่เข้าบอกข้อมูลเกี่ยวกับจุดปลายหรือไม่?

ไม่ รัศมีการลู่เข้าบอกเราเพียงการลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ภายในช่วงและการลู่ออกภายนอกช่วงเท่านั้น ที่จุดปลาย x = a - R และ x = a + R อนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้ และแต่ละจุดปลายจะต้องได้รับการทดสอบแยกกันโดยใช้การทดสอบอื่นๆ เช่น การทดสอบอนุกรมสลับ, การทดสอบอนุกรมพี หรือการทดสอบการเปรียบเทียบ

อนุกรมกำลังทั่วไปและรัศมีการลู่เข้ามีอะไรบ้าง?

ตัวอย่างทั่วไป ได้แก่: e^x มี R = infinity; sin(x) และ cos(x) มี R = infinity; 1/(1-x) (อนุกรมเรขาคณิต) มี R = 1; ln(1+x) มี R = 1; อนุกรมผลรวมของ x^n/n! มี R = infinity; และผลรวมของ n!*x^n มี R = 0

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณรัศมีการลู่เข้า" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณรัศมีการลู่เข้า/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 18 ก.พ. 2026

ฟังก์ชัน	อนุกรมกำลัง	รัศมี R	ช่วง
\( e^x \)	\( \sum \frac{x^n}{n!} \)	\( \infty \)	\( (-\infty, \infty) \)
\( \sin(x) \)	\( \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \)	\( \infty \)	\( (-\infty, \infty) \)
\( \cos(x) \)	\( \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \)	\( \infty \)	\( (-\infty, \infty) \)
\( \frac{1}{1-x} \)	\( \sum x^n \)	\( 1 \)	\( (-1, 1) \)
\( \ln(1+x) \)	\( \sum \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \)	\( 1 \)	\( (-1, 1] \)
\( \arctan(x) \)	\( \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \)	\( 1 \)	\( [-1, 1] \)
\( (1+x)^\alpha \)	\( \sum \binom{\alpha}{n} x^n \)	\( 1 \)	ขึ้นอยู่กับ \( \alpha \)

เครื่องคำนวณรัศมีการลู่เข้า

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณรัศมีการลู่เข้า

รัศมีการลู่เข้าคืออะไร?

รูปแบบทั่วไปของอนุกรมกำลัง

วิธีการหารัศมีการลู่เข้า

การทดสอบอัตราส่วน (The Ratio Test)

การทดสอบราก (The Root Test / Cauchy-Hadamard Theorem)

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

การทำความเข้าใจผลลัพธ์

ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สามประการ

การวิเคราะห์จุดปลาย

อนุกรมกำลังทั่วไปและรัศมีการลู่เข้า

ควรใช้การทดสอบใดเมื่อไหร่

ใช้การทดสอบอัตราส่วนเมื่อ:

ใช้การทดสอบรากเมื่อ:

คู่มือรูปแบบการป้อนข้อมูล

คำถามที่พบบ่อย

รัศมีการลู่เข้าคืออะไร?

จะหารัศมีการลู่เข้าโดยใช้การทดสอบอัตราส่วนได้อย่างไร?

ข้อแตกต่างระหว่างการทดสอบอัตราส่วนและการทดสอบรากคืออะไร?

รัศมีการลู่เข้าบอกข้อมูลเกี่ยวกับจุดปลายหรือไม่?

อนุกรมกำลังทั่วไปและรัศมีการลู่เข้ามีอะไรบ้าง?

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

แคลคูลัส:

ตัวช่วยแก้โจทย์คณิตศาสตร์

จำนวนและตัวประกอบ

เศษส่วนและการหาร

เลขยกกำลัง ราก และลอการิทึม

พีชคณิตและสมการ

แคลคูลัส

เรขาคณิตและตรีโกณมิติ

เครื่องมือยอดนิยมและอัปเดตล่าสุด:

ดาวน์โหลดทุกไฟล์เป็น ZIP เดียวด้วย Pro