เครื่องคิดเลขปริพันธ์คู่

คำนวณปริพันธ์คู่พร้อมคำอธิบายวิธีทำอย่างละเอียดและการแสดงภาพพื้นผิว 3 มิติ รองรับทั้งปริพันธ์จำกัดเขตและไม่จำกัดเขตสำหรับฟังก์ชันพหุนาม, ตรีโกณมิติ, เลขชี้กำลัง และไฮเพอร์โบลิก

∬

ตัวอย่างด่วน

ฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรต

ป้อน f(x,y) โดยใช้สัญลักษณ์มาตรฐาน

f(x, y) =

รองรับ: sin, cos, tan, exp, ln, sinh, cosh, ^, *, +, -, /

ตัวแปรการอินทิเกรต

กำหนดลำดับของการอินทิเกรต

ตัวแปรแรก (ชั้นใน)

อินทิเกรตก่อน (ปริพันธ์ชั้นใน)

ตัวแปรที่สอง (ชั้นนอก)

อินทิเกรตทีหลัง (ปริพันธ์ชั้นนอก)

ขอบเขตการอินทิเกรต

เว้นว่างไว้สำหรับปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

ขอบเขตตัวแปรแรก

ขีดจำกัดล่าง

ขีดจำกัดบน

ขอบเขตตัวแปรที่สอง

ขีดจำกัดล่าง

ขีดจำกัดบน

ใช้ตัวเลข, pi, e หรือนิพจน์เช่น pi/2, 2*pi

Embed เครื่องคิดเลขปริพันธ์คู่ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคิดเลขปริพันธ์คู่

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคิดเลขปริพันธ์คู่ เครื่องมือคำนวณอันทรงพลังที่ช่วยหาค่าปริพันธ์คู่พร้อมแสดงวิธีทำอย่างละเอียดทีละขั้นตอนและการแสดงภาพ 3 มิติ ไม่ว่าคุณจะกำลังศึกษาแคลคูลัสหลายตัวแปร แก้โจทย์ฟิสิกส์ หรือทำงานด้านวิศวกรรม เครื่องคิดเลขนี้จะให้ข้อมูลเชิงลึกของกระบวนการอินทิเกรตเพื่อช่วยให้คุณเข้าใจและตรวจสอบงานของคุณได้อย่างแม่นยำ

ปริพันธ์คู่คืออะไร?

ปริพันธ์คู่ (Double Integral) เป็นการขยายแนวคิดของการอินทิเกรตตัวแปรเดียวไปยังฟังก์ชันสองตัวแปร ในขณะที่ปริพันธ์เดี่ยวใช้คำนวณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ปริพันธ์คู่จะคำนวณ ปริมาตรภายใต้พื้นผิว f(x,y) เหนือบริเวณ R ในระนาบ xy ปริพันธ์คู่เป็นพื้นฐานสำคัญในแคลคูลัสหลายตัวแปรและมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในฟิสิกส์ วิศวกรรม ความน่าจะเป็น และเศรษฐศาสตร์

สัญลักษณ์ปริพันธ์คู่

$$\iint_R f(x,y) \, dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx$$

การหาค่าปริพันธ์คู่ทำได้โดย การอินทิเกรตซ้ำ (Iterated Integration): เริ่มจากการอินทิเกรตเทียบกับตัวแปรหนึ่ง (ปริพันธ์ชั้นใน) โดยถือว่าอีกตัวแปรหนึ่งเป็นค่าคงที่ จากนั้นจึงอินทิเกรตผลลัพธ์ที่ได้เทียบกับตัวแปรที่สอง (ปริพันธ์ชั้นนอก)

ประเภทของปริพันธ์คู่

ปริพันธ์คู่แบบจำกัดเขต

ปริพันธ์คู่แบบจำกัดเขตจะมีขอบเขตที่ระบุไว้สำหรับทั้งสองตัวแปรและให้ผลลัพธ์เป็น ค่าตัวเลข ซึ่งแทนปริมาตรที่มีเครื่องหมายระหว่างพื้นผิว z = f(x,y) และระนาบ xy เหนือบริเวณสี่เหลี่ยมผืนผ้า [a,b] × [c,d]:

ปริพันธ์คู่แบบจำกัดเขต

$$\int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx = V$$

ปริพันธ์คู่แบบไม่จำกัดเขต

ปริพันธ์คู่แบบไม่จำกัดเขตจะไม่มีขอบเขตที่ระบุไว้และให้ผลลัพธ์เป็น ฟังก์ชัน (ปฏิยานุพันธ์) พร้อมค่าคงที่ของการอินทิเกรต:

ปริพันธ์คู่แบบไม่จำกัดเขต

$$\int \int f(x,y) \, dy \, dx = F(x,y) + C$$

วิธีใช้งานเครื่องคิดเลขนี้

ป้อนฟังก์ชันของคุณ: ใส่ f(x,y) โดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน ฟังก์ชันที่รองรับ ได้แก่ พหุนาม, ตรีโกณมิติ (sin, cos, tan), เอกซ์โพเนนเชียล (exp, e^x), ไฮเพอร์โบลิก (sinh, cosh) และลอการิทึม (ln)
ระบุตัวแปรของการอินทิเกรต: ป้อนตัวแปรชั้นใน (อินทิเกรตก่อน) และตัวแปรชั้นนอก (อินทิเกรตทีหลัง) โดยทั่วไปจะใช้ x และ y แต่สามารถใช้ตัวอักษรเดี่ยวใดก็ได้
กำหนดขอบเขต (ไม่บังคับ): สำหรับปริพันธ์จำกัดเขต ให้ใส่ค่าขอบเขตล่างและบนสำหรับแต่ละตัวแปร คุณสามารถใช้ตัวเลข, pi, e หรือนิพจน์เช่น pi/2 เว้นว่างไว้สำหรับปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
คำนวณ: คลิกปุ่มเพื่อคำนวณปริพันธ์และดูวิธีทำทีละขั้นตอนอย่างสมบูรณ์
ตรวจสอบผลลัพธ์: พิจารณาวิธีทำโดยละเอียดที่แสดงขั้นตอนการอินทิเกรตแต่ละขั้น พร้อมการแสดงภาพ 3 มิติสำหรับปริพันธ์จำกัดเขต

การประยุกต์ใช้ปริพันธ์คู่

การคำนวณปริมาตร

คำนวณปริมาตรภายใต้พื้นผิว ระหว่างพื้นผิว หรือของรูปทรงตัน มีความสำคัญในการออกแบบวิศวกรรมและการสร้างแบบจำลอง 3 มิติ

พื้นที่และมวล

คำนวณพื้นที่ของบริเวณที่มีรูปทรงไม่สม่ำเสมอ และมวลของวัตถุที่มีการกระจายความหนาแน่นแปรผันบนพื้นผิว 2 มิติ

การประยุกต์ทางฟิสิกส์

คำนวณจุดศูนย์กลางมวล, โมเมนต์ความเฉื่อย, ฟลักซ์ไฟฟ้า, สนามโน้มถ่วง และงานที่เกิดจากแรงแปรผัน

ทฤษฎีความน่าจะเป็น

ประเมินการกระจายความน่าจะเป็นร่วม, ค่าคาดหมาย และสหสัมพันธ์สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

กระบวนการอินทิเกรตทีละขั้นตอน

เครื่องคิดเลขนี้จะย่อยการอินทิเกรตคู่เป็นขั้นตอนที่ชัดเจน:

การระบุโจทย์: แสดงปริพันธ์ที่ต้องคำนวณและระบุลำดับการอินทิเกรต
การอินทิเกรตชั้นใน: อินทิเกรตเทียบกับตัวแปรแรกในขณะที่ถือว่าตัวแปรที่สองเป็นค่าคงที่
แทนค่าขอบเขตชั้นใน: สำหรับปริพันธ์จำกัดเขต ให้แทนค่าและคำนวณที่ขีดจำกัดชั้นใน
การอินทิเกรตชั้นนอก: อินทิเกรตนิพจน์ที่ได้เทียบกับตัวแปรที่สอง
แทนค่าขอบเขตชั้นนอก: สำหรับปริพันธ์จำกัดเขต ให้แทนค่าและคำนวณที่ขีดจำกัดชั้นนอก
ผลลัพธ์สุดท้าย: แสดงค่าที่คำนวณได้หรือฟังก์ชันปฏิยานุพันธ์

ฟังก์ชันและสัญลักษณ์ที่รองรับ

เครื่องคิดเลขรองรับสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐานดังนี้:

พหุนาม: x^2, x*y, x^3 + y^2, xy (รองรับการคูณโดยละเครื่องหมาย)
ตรีโกณมิติ: sin(x), cos(y), tan(x), sec(x), csc(x), cot(x)
เอกซ์โพเนนเชียล: exp(x), e^x, exp(x+y), exp(x*y)
ไฮเพอร์โบลิก: sinh(x), cosh(y), tanh(x)
ลอการิทึม: ln(x), log(x) (ลอการิทึมธรรมชาติ)
ค่าคงที่: pi (π ≈ 3.14159), e (≈ 2.71828)
การดำเนินการ: + - * / ^ (ยกกำลัง)

ขอบเขตการอินทิเกรต

สำหรับปริพันธ์จำกัดเขต สามารถระบุขอบเขตได้โดยใช้:

ตัวเลข: 0, 1, 2, -1, 0.5
ค่าคงที่: pi, e
นิพจน์: pi/2, pi/4, 2*pi, e/2

หมายเหตุ: ขีดจำกัดล่างต้องมีค่าน้อยกว่าขีดจำกัดบนสำหรับแต่ละตัวแปร

คำถามที่พบบ่อย

ปริพันธ์คู่คืออะไร?

ปริพันธ์คู่เป็นการขยายแนวคิดของการอินทิเกรตไปยังฟังก์ชันสองตัวแปร โดยใช้คำนวณปริมาตรภายใต้พื้นผิว f(x,y) เหนือบริเวณในระนาบ xy สัญลักษณ์คือ ∬f(x,y)dA หรือ ∫∫f(x,y)dydx โดยเราจะอินทิเกรตเทียบกับตัวแปรหนึ่งก่อน (ปริพันธ์ชั้นใน) แล้วจึงตามด้วยอีกตัวแปรหนึ่ง (ปริพันธ์ชั้นนอก)

วิธีหาค่าปริพันธ์คู่ทีละขั้นตอนทำอย่างไร?

การหาค่าปริพันธ์คู่: 1) ระบุลำดับของการอินทิเกรต (dydx หรือ dxdy) 2) ทำการอินทิเกรตชั้น内โดยมองว่าอีกตัวแปรหนึ่งเป็นค่าคงที่ 3) แทนค่าขอบเขตในปริพันธ์ชั้นใน 4) ทำการอินทิเกรตชั้นนอกกับผลลัพธ์ที่ได้ 5) แทนค่าขอบเขตในปริพันธ์ชั้นนอกเพื่อหาคำตอบสุดท้าย

ความแตกต่างระหว่างปริพันธ์คู่แบบจำกัดเขตและไม่จำกัดเขตคืออะไร?

ปริพันธ์คู่แบบจำกัดเขตจะมีขอบเขตที่ระบุไว้สำหรับทั้งสองตัวแปรและให้ผลลัพธ์เป็นค่าตัวเลขที่แทนปริมาตรใต้พื้นผิว ส่วนปริพันธ์คู่แบบไม่จำกัดเขตจะไม่มีขอบเขตและให้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชัน (ปฏิยานุพันธ์) บวกกับค่าคงที่ของการอินทิเกรต ปริพันธ์จำกัดเขตจะใช้สำหรับคำนวณปริมาตร พื้นที่ และปริมาณสะสมจริง

ฉันสามารถใช้นิพจน์อย่าง pi หรือ e ในขีดจำกัดการอินทิเกรตได้หรือไม่?

ได้! เครื่องคิดเลขนี้รองรับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ในขอบเขต รวมถึง pi (π), e (เลขของออยเลอร์), เศษส่วนเช่น pi/2 หรือ pi/4 และนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถกำหนดขีดจำกัดจาก 0 ถึง pi สำหรับปริพันธ์ตรีโกณมิติ หรือ 0 ถึง 1 สำหรับบริเวณหน่วยมาตรฐาน

ฟังก์ชันใดบ้างที่สามารถอินทิเกรตได้ด้วยเครื่องคิดเลขนี้?

เครื่องคิดเลขนี้รองรับฟังก์ชันที่หลากหลาย รวมถึงพหุนาม (x^2, x*y), ตรีโกณมิติ (sin, cos, tan), เอกซ์โพเนนเชียล (exp, e^x), ไฮเพอร์โบลิก (sinh, cosh), ลอการิทึม (ln, log) และการผสมผสานของฟังก์ชันเหล่านี้ สามารถใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐานโดยรองรับการคูณแบบละเครื่องหมาย (xy หมายถึง x*y)

การประยุกต์ใช้ปริพันธ์คู่มีอะไรบ้าง?

ปริพันธ์คู่ใช้เพื่อคำนวณ: ปริมาตรใต้พื้นผิว, พื้นที่ของบริเวณใน 2 มิติ, มวลของวัตถุ 2 มิติที่มีความหนาแน่นแปรผัน, จุดศูนย์กลางมวล, โมเมนต์ความเฉื่อย, การกระจายความน่าจะเป็นเหนือบริเวณ 2 มิติ, ฟลักซ์ไฟฟ้า และการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์มากมายที่เกี่ยวข้องกับปริมาณที่กระจายตัวอยู่บนพื้นที่