What is a system of ordinary differential equations?

A system of ordinary differential equations (ODEs) is a set of coupled equations that relate the derivatives of several unknown functions of a single independent variable, typically time. The classic form is x'(t) = f(t, x(t)), where x is a vector of states and f is the vector field. Linear systems can be written compactly as x' = Ax + b, and their behavior is determined almost entirely by the eigenvalues of the coefficient matrix A.

How do eigenvalues classify the equilibrium of a 2x2 linear system?

For a 2x2 system x' = Ax the origin is classified by the trace T and determinant D of A: D less than 0 gives a saddle point (unstable); D greater than 0 with trace squared greater than 4D gives a node (stable if T less than 0, unstable if T greater than 0); D greater than 0 with trace squared less than 4D gives a spiral (stable if T less than 0, unstable if T greater than 0, a pure center if T equals 0). The borderline case trace squared equals 4D produces a degenerate node.

What does the closed-form solution look like when the eigenvalues are complex?

If A has complex-conjugate eigenvalues alpha plus or minus i beta with complex eigenvector v = p + i q, the real general solution is x(t) = e^(alpha t) [c1 (p cos(beta t) - q sin(beta t)) + c2 (p sin(beta t) + q cos(beta t))]. The exponential e^(alpha t) controls the amplitude (growing, decaying, or constant), while the sine and cosine handle the rotation.

What happens when the matrix has a repeated eigenvalue?

If the matrix has a repeated eigenvalue lambda but only one linearly independent eigenvector v, you also need a generalized eigenvector w solving (A - lambda I) w = v. The general solution then takes the form x(t) = c1 v e^(lambda t) + c2 (t v + w) e^(lambda t). If the eigenspace happens to be two-dimensional, the matrix is a scalar multiple of the identity on that invariant subspace and the solution reduces to x(t) = (c1 v1 + c2 v2) e^(lambda t).

Can this tool solve nonlinear systems symbolically?

The nonlinear mode solves the system numerically using a fourth-order Runge-Kutta (RK4) integrator and plots the phase portrait. Most nonlinear systems have no closed-form solution, so this is the standard approach. You can still read off local behavior near equilibria by linearizing, which the 2x2 linear mode handles.

What is a phase portrait?

A phase portrait is a geometric picture of the solutions of a 2D system in the x-y plane. Each solution traces out a curve called a trajectory, and the collection of trajectories together with the vector field arrows reveals the qualitative behavior: whether solutions spiral in, saddle apart, oscillate, or settle onto equilibria. Phase portraits make the global structure of a system visible at a glance.

เครื่องแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

แก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ x' = Ax ในรูปแบบสัญลักษณ์และตัวเลข จำแนกจุดสมดุลโดยอัตโนมัติ (จุดอานม้า, โหนด, เกลียว, จุดศูนย์กลาง) คำนวณหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทีละขั้นตอน เขียนคำตอบทั่วไปและคำตอบเฉพาะในรูปแบบปิด และวาดภาพพอร์ตเทรตเฟสแบบโต้ตอบพร้อมวิถีการเคลื่อนที่แบบเคลื่อนไหว — สำหรับระบบเชิงเส้น 2×2, 3×3 และระบบไม่เชิงเส้น 2 มิติ

ตัวอย่างด่วน:

โหนดเสถียร จุดศูนย์กลาง (การแกว่งกวัด) เกลียวเสถียร จุดอาน ค่าซ้ำ (โหนดเสื่อม) ลูกตุ้ม (Pendulum) Van der Pol 3×3 อันดับที่สาม

▦ เชิงเส้น 2×2 ▦ เชิงเส้น 3×3 ∿ ไม่เชิงเส้น 2 มิติ

แก้ปัญหา \(\dfrac{d}{dt}\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) โดยที่ \(A\) คือเมทริกซ์ 2×2 ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ A

[

รองรับทศนิยม (เช่น 2.5), ค่าลบ (-1) และเศษส่วนอย่างง่าย (3/4)

แก้ปัญหา \(\dfrac{d}{dt}\!\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\) — รับค่าลักษณะเฉพาะ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และคำตอบทั่วไปในรูปแบบปิด

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ A (3×3)

[

ค่าเริ่มต้นคือเมทริกซ์ประกอบของ \( s^3 + 6s^2 + 11s + 6 \) ซึ่งจะให้ค่าลักษณะเฉพาะ \(-1, -2, -3\)

แก้ระบบไม่เชิงเส้น 2 มิติทั่วไปในเชิงตัวเลข: \(x' = f(x, y)\), \(y' = g(x, y)\) สามารถใช้ฟังก์ชันอย่าง sin, cos, exp, sqrt และค่าคงที่ pi, e

x' = f(x, y)

y' = g(x, y)

เครื่องมือจะไม่คำนวณคำตอบรูปแบบปิด แต่จะใช้การอินทิเกรตแบบ RK4 ที่มีความแม่นยำสูงเพื่อสร้างวิถีและแผนภาพระนาบเฟส

เงื่อนไขเริ่มต้นและช่วงเวลา

x(0)

y(0)

ช่วงเวลา T

Embed เครื่องแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

เครื่องแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ เป็นกล่องเครื่องมือสมการเชิงอนุพันธ์แบบออลอินวันสำหรับระบบเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นที่เชื่อมโยงกัน เพียงวางเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ 2×2 หรือ 3×3 เครื่องมือนี้จะทำการวิเคราะห์ค่าลักษณะเฉพาะ/เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอย่างละเอียด เขียนคำตอบทั่วไปและคำตอบเฉพาะในรูปแบบปิดด้วย LaTeX จัดประเภทจุดสมดุลที่จุดกำเนิดว่าเป็นจุดอาน, โหนด, เกลียว หรือจุดศูนย์กลาง และวาดแผนภาพระนาบเฟสแบบโต้ตอบพร้อมวิถีที่เคลื่อนไหวได้ สำหรับระบบระนาบไม่เชิงเส้น คุณสามารถพิมพ์ด้านขวาของสมการ \(f(x,y)\) และ \(g(x,y)\) ใดๆ ก็ได้ และเครื่องมือจะสร้างแผนภาพระนาบเฟส RK4 ที่มีความแม่นยำสูง

ระบบ ODEs คืออะไร?

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ คือการรวมฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าหลายฟังก์ชันของตัวแปรเดียว (โดยปกติคือเวลา \(t\)) เข้าด้วยกันผ่านอนุพันธ์ของพวกมัน ในรูปแบบที่กระชับที่สุด:

\[ \mathbf{x}'(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{x}(t)) , \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \]

เมื่อ \(\mathbf{F}(t, \mathbf{x}) = A\mathbf{x}\) สำหรับเมทริกซ์ค่าคงที่ \(A\) ระบบจะเรียกว่า เชิงเส้นและอิสระ (autonomous) — และนี่คือส่วนที่ทฤษฎีมีความงดงามที่สุด: พฤติกรรมระยะยาวทั้งหมดของระบบจะถูกกำหนดโดยค่าลักษณะเฉพาะของ \(A\)

สูตรการหาค่าลักษณะเฉพาะสำหรับระบบเชิงเส้น

สำหรับ \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\) วิธีการมาตรฐานคือ:

คำนวณ พหุนามลักษณะเฉพาะ \(\det(\lambda I - A) = 0\)
หาค่าของค่าลักษณะเฉพาะ \(\lambda_1, \lambda_2, \dots\)
สำหรับแต่ละค่าลักษณะเฉพาะ ให้หาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ \(v\) โดยการแก้สมการ \((A - \lambda I) v = 0\)
ประกอบคำตอบทั่วไปในรูปแบบการรวมเชิงเส้น: \(\mathbf{x}(t) = c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t} + \cdots\)
หาค่าคงที่ \(c_i\) โดยการแทนค่าเงื่อนไขเริ่มต้น \(\mathbf{x}(0)\) ลงในคำตอบทั่วไป

สามกรณีสำหรับระบบ 2×2

ค่าลักษณะเฉพาะ	คำตอบทั่วไป	แผนภาพระนาบเฟส
จำนวนจริงที่แตกต่างกัน \(\lambda_1 \ne \lambda_2\)	\(c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t}\)	จุดอานถ้าเครื่องหมายต่างกัน; โหนดถ้าเครื่องหมายเหมือนกัน
สังยุคเชิงซ้อน \(\alpha \pm i\beta\)	\(e^{\alpha t}[c_1(p\cos\beta t - q\sin\beta t) + c_2(p\sin\beta t + q\cos\beta t)]\)	เกลียว (\(\alpha \ne 0\)) หรือจุดศูนย์กลาง (\(\alpha = 0\))
ค่าซ้ำ \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\)	\(c_1 v e^{\lambda t} + c_2 (tv + w) e^{\lambda t}\)	โหนดเสื่อม

ระนาบรอย-ดีเทอร์มิแนนต์ (Trace-Determinant Plane)

สำหรับเมทริกซ์ 2×2 ที่มีรอย \(T = a_{11} + a_{22}\) และดีเทอร์มิแนนต์ \(D = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}\) การจัดประเภททั้งหมดสามารถสรุปได้ในแผนภาพเดียว:

\[ \begin{array}{l} D < 0 \Rightarrow \text{จุดอาน (saddle)} \\ D > 0, \; T^2 - 4D > 0 \Rightarrow \text{โหนด (เสถียรถ้า } T < 0\text{)} \\ D > 0, \; T^2 - 4D < 0 \Rightarrow \text{เกลียว (เสถียรถ้า } T < 0\text{), จุดศูนย์กลางถ้า } T = 0 \\ T^2 - 4D = 0 \Rightarrow \text{โหนดเสื่อม (ค่าลักษณะเฉพาะซ้ำ)} \end{array} \]

นี่คือเหตุผลที่แผงผลลัพธ์แสดงค่า \(T\), \(D\) และ \(\Delta = T^2 - 4D\) อย่างชัดเจน — ตัวเลขสามตัวนี้เพียงพอที่จะระบุชื่อของจุดสมดุลได้

ระบบไม่เชิงเส้นและแผนภาพระนาบเฟส

ODEs ส่วนใหญ่ในโลกแห่งความเป็นจริงเป็นแบบไม่เชิงเส้นและไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด เครื่องมือนี้จัดการโดยการอินทิเกรตสมการเชิงตัวเลขด้วยวิธี Runge–Kutta อันดับที่ 4 (RK4) ซึ่งมีข้อผิดพลาดจากการตัดปลายเฉพาะที่ (local truncation error) อยู่ที่ \(O(h^5)\) และเป็นวิธีมาตรฐานสำหรับสนามเวกเตอร์ที่ราบเรียบ

\[ \begin{aligned} k_1 &= f(t_n, y_n) \\ k_2 &= f(t_n + h/2, y_n + h k_1 / 2) \\ k_3 &= f(t_n + h/2, y_n + h k_2 / 2) \\ k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3) \\ y_{n+1} &= y_n + \tfrac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \end{aligned} \]

แผนภาพระนาบเฟสประกอบด้วย:

สนามเวกเตอร์ ที่สุ่มตัวอย่างบนตารางขนาด 13×13 แสดงทิศทางการไหลในทุกจุด
วิถีจากเงื่อนไขเริ่มต้นของคุณ วาดด้วยสีแดงพร้อมตัววิ่งสีส้มที่เคลื่อนไหวเพื่อแสดงทิศทางของเวลา
เส้นการไหลฐาน หลายเส้นจากกลุ่มจุดเริ่มต้นรอบๆ เพื่อให้เห็นภาพรวมของการเคลื่อนที่
สำหรับระบบเชิงเส้น 2×2 จะแสดง แกนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (เส้นประสีฟ้า) — นี่คือทิศทางคงที่ซึ่งคำตอบจะเลื่อนไปตามนั้นแบบเอกซ์โพเนนเชียล

วิธีใช้งานเครื่องแก้ปัญหานี้

เลือกโหมด — เชิงเส้น 2×2, เชิงเส้น 3×3 หรือไม่เชิงเส้น 2 มิติ — ผ่านแท็บที่ด้านบนของฟอร์ม
กรอกสัมประสิทธิ์หรือสมการ คลิกที่ตัวอย่างด่วนเพื่อเติมค่าระบบมาตรฐาน (โหนดเสถียร, จุดศูนย์กลาง, จุดอาน, ลูกตุ้ม, Van der Pol ฯลฯ)
กรอกเงื่อนไขเริ่มต้น \((x_0, y_0)\) และ ช่วงเวลา \(T\) ค่า \(T\) ปกติจะอยู่ที่ 6–20 สำหรับระบบแกว่งกวัด และ 3–6 สำหรับระบบเสถียรที่สลายตัวเร็ว
คลิก แก้ปัญหา หน้าผลลัพธ์ฉบับเต็มจะปรากฏขึ้นพร้อมการจัดประเภท, ค่าลักษณะเฉพาะ, เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ, คำตอบในรูปแบบปิด (สำหรับโหมดเชิงเส้น), แผนภาพระนาบเฟสแบบเคลื่อนไหว และกราฟอนุกรมเวลา
เล่นวิถีซ้ำ โดยใช้ปุ่มใต้แผนภาพระนาบเฟส หากคุณต้องการดูตัววิ่งเคลื่อนที่ผ่านเส้นโค้ง IC อีกครั้ง

ตัวอย่างที่ต้องทำ — เครื่องแกว่งกวัดฮาร์มอนิกแบบมีความหน่วง

เครื่องแกว่งกวัดแบบมีความหน่วง \(\ddot{x} + 2\zeta \omega \dot{x} + \omega^2 x = 0\) สามารถเขียนใหม่เป็นระบบ 2 มิติได้โดยให้ \(y = \dot{x}\):

\[ \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & -2\zeta\omega \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

สำหรับ \(\omega = 1\) และ \(\zeta = 0.2\) (ความหน่วงน้อย), เมทริกซ์คือ \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -0.4 \end{pmatrix}\) รอย \(T = -0.4\), ดีเทอร์มิแนนต์ \(D = 1\), ดิสคริมิแนนต์ \(\Delta = 0.16 - 4 = -3.84 < 0\) ดังนั้นเราจึงได้ เกลียวเสถียร ที่มีค่าลักษณะเฉพาะ \(-0.2 \pm 0.9798\,i\) วิถีจะวนเป็นเกลียวเข้าสู่จุดกำเนิด และอนุกรมเวลาจะแสดงรูปคลื่นไซน์ที่สลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล

การประยุกต์ใช้งาน

ระบบทางกล — ระบบมวล-สปริงที่เชื่อมต่อกัน, ลูกตุ้ม, ไจโรสโคป
วงจรไฟฟ้า — เครือข่าย RLC, ฟิลเตอร์ออปแอมป์, การควบคุมปริภูมิสถานะ (state-space control)
พลวัตประชากร — ตัวแบบผู้ล่า-เหยื่อ Lotka–Volterra, สายพันธุ์ที่แข่งขันกัน, ระบาดวิทยา (SIR, SIS)
จลนพลศาสตร์เคมี — เครือข่ายปฏิกิริยา, เครื่องแกว่งกวัด Belousov–Zhabotinsky
ประสาทวิทยา — ตัวแบบนิวรอน FitzHugh–Nagumo, การลดรูป Hodgkin–Huxley
ทฤษฎีการควบคุม — ตัวแบบโรงงานที่ทำให้เป็นเชิงเส้น, การออกแบบตัวสังเกต (observer design), ขอบเขตความเสถียร

เคล็ดลับและสิ่งที่ควรระวัง

หากวิถีของคุณพุ่งออกไปอย่างรวดเร็ว ให้ลด ช่วงเวลา T ลง — ระบบที่ไม่เสถียรสามารถพุ่งทะลุขอบเขตการมองเห็นได้ในเวลาเพียงไม่กี่หน่วย
สำหรับ ค่าลักษณะเฉพาะซ้ำ เครื่องแก้ปัญหาจะหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป \(w\) โดยอัตโนมัติจากการแก้สมการ \((A - \lambda I)w = v\) ดังนั้นคุณจะได้พจน์ \(tv\) โดยไม่ต้องคำนวณเอง
สำหรับ ระบบไม่เชิงเส้น ลูกศรสนามเวกเตอร์ยังเผยให้เห็นจุดสมดุลที่ ไม่ใช่จุดกำเนิด เป็นจุดสีฟ้า — ให้สังเกตบริเวณในแผนภาพที่มีขนาดเป็นศูนย์
สำหรับระบบ 3×3 จะไม่มีแผนภาพระนาบเฟส (เนื่องจาก 3D แสดงผลบนหน้าจอ 2D ได้ยาก) แต่การจัดประเภทความเสถียรและคำตอบรูปแบบปิดยังคงใช้งานได้
เงื่อนไขเริ่มต้นและช่วงเวลาแยกออกจากการจัดประเภท: การเปลี่ยนค่าเหล่านี้จะย้ายเพียงเส้นวิถีสีแดงเท่านั้น แต่ไม่เปลี่ยนผลการวิเคราะห์ค่าลักษณะเฉพาะ

คำถามที่พบบ่อย

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญคืออะไร?

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODEs) คือชุดของสมการที่เชื่อมโยงกันซึ่งแสดงความสัมพันธ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าหลายฟังก์ชันของตัวแปรอิสระตัวเดียว ซึ่งมักจะเป็นเวลา รูปแบบคลาสสิกคือ \( \mathbf{x}'(t) = F(t, \mathbf{x}(t)) \) โดยที่ \( \mathbf{x} \) คือเวกเตอร์ของสถานะและ \(F\) คือสนามเวกเตอร์ ระบบเชิงเส้นสามารถเขียนได้อย่างกะทัดรัดเป็น \( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{b} \) และพฤติกรรมของระบบจะถูกกำหนดเกือบทั้งหมดโดยค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ \(A\)

ค่าลักษณะเฉพาะใช้จัดประเภทจุดสมดุลของระบบเชิงเส้น 2×2 อย่างไร?

สำหรับระบบ 2×2 \( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} \) จุดกำเนิดจะถูกจัดประเภทโดยใช้รอย \(T\) และดีเทอร์มิแนนต์ \(D\) ของ \(A\): \(D < 0\) จะได้จุดอาน (saddle point) ซึ่งไม่เสถียร; \(D > 0\) พร้อม \(T^2 > 4D\) จะได้โหนด (node) (เสถียรถ้า \(T < 0\), ไม่เสถียรถ้า \(T > 0\)); \(D > 0\) พร้อม \(T^2 < 4D\) จะได้เกลียว (spiral) (เสถียรถ้า \(T < 0\), ไม่เสถียรถ้า \(T > 0\), และเป็นจุดศูนย์กลางแท้ถ้า \(T = 0\)) กรณีขอบเขต \(T^2 = 4D\) จะเกิดโหนดเสื่อม

คำตอบในรูปแบบปิดจะมีลักษณะอย่างไรเมื่อค่าลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเชิงซ้อน?

ถ้า \(A\) มีค่าลักษณะเฉพาะเป็นสังยุคเชิงซ้อน \( \alpha \pm i\beta \) พร้อมเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเชิงซ้อน \( v = p + iq \) คำตอบทั่วไปที่เป็นจำนวนจริงคือ \( \mathbf{x}(t) = e^{\alpha t} \left[ c_1 (p \cos\beta t - q \sin\beta t) + c_2 (p \sin\beta t + q \cos\beta t) \right] \) โดยที่ \(e^{\alpha t}\) จะควบคุมแอมพลิจูด (ขยายตัว, ลดลง หรือคงที่) ในขณะที่ไซน์และคอสไซน์จะจัดการเรื่องการหมุน

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเมทริกซ์มีค่าลักษณะเฉพาะซ้ำ?

ถ้าเมทริกซ์มีค่าลักษณะเฉพาะซ้ำ \(\lambda\) แต่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่อิสระเชิงเส้นเพียงตัวเดียว \(v\) คุณจะต้องหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป \(w\) จากสมการ \( (A - \lambda I) w = v \) คำตอบทั่วไปจะมีรูปแบบ \( \mathbf{x}(t) = c_1 v e^{\lambda t} + c_2 (tv + w) e^{\lambda t} \) หากปริภูมิย่อยของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมีสองมิติ เมทริกซ์จะเป็นค่าคงที่คูณกับเมทริกซ์เอกลักษณ์บนปริภูมิย่อยนั้น และคำตอบจะลดรูปเหลือ \( \mathbf{x}(t) = (c_1 v1 + c_2 v2) e^{\lambda t} \)

เครื่องมือนี้สามารถแก้ระบบไม่เชิงเส้นในรูปแบบสัญลักษณ์ได้หรือไม่?

โหมดไม่เชิงเส้นจะแก้ระบบด้วยวิธีการเชิงตัวเลขโดยใช้ตัวรวมการคำนวณแบบ Runge–Kutta (RK4) และวาดแผนภาพระนาบเฟส เนื่องจากระบบไม่เชิงเส้นส่วนใหญ่ไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด นี่จึงเป็นวิธีมาตรฐาน คุณยังคงสามารถวิเคราะห์พฤติกรรมในระดับท้องถิ่นใกล้จุดสมดุลได้โดยการทำเป็นเชิงเส้น ซึ่งโหมดเชิงเส้น 2×2 สามารถจัดการได้ — โดยการคำนวณจาโคเบียน (Jacobian) ที่จุดตรึงแล้วใส่ค่านั้นเป็น \(A\)

แผนภาพระนาบเฟสคืออะไร?

แผนภาพระนาบเฟสคือภาพทางเรขาคณิตของคำตอบของระบบ 2 มิติในระนาบ \(x\)–\(y\) แต่ละคำตอบจะวาดเส้นโค้งที่เรียกว่า วิถี (trajectory) และการรวบรวมวิถีต่างๆ ร่วมกับลูกศรสนามเวกเตอร์จะเผยให้เห็นพฤติกรรมเชิงคุณภาพ: ไม่ว่าจะเป็นการวนเข้าสู่จุดศูนย์กลาง, แยกออกจากจุดอาน, แกว่งกวัด หรือเข้าสู่จุดสมดุล แผนภาพระนาบเฟสช่วยให้เห็นโครงสร้างโดยรวมของระบบได้ในพริบตา