幾何分布の公式は何ですか？

試行回数のパラメータ化では P(X = k) = (1 - p)^(k-1) × p となり、ここでkは試行番号（1, 2, 3, ...）、pは各試行の成功確率です。失敗回数のパラメータ化では P(Y = k) = (1 - p)^k × p となり、ここでkは最初の成功までの失敗回数（0, 1, 2, ...）です。

幾何分布の平均と分散は何ですか？

試行回数のパラメータ化（X = 最初の成功までの試行）では、平均は1/p、分散は(1-p)/p^2です。失敗回数のパラメータ化（Y = 最初の成功までの失敗）では、平均は(1-p)/p、分散は(1-p)/p^2です。

幾何分布の無記憶性とは何ですか？

無記憶性とは、最初の成功を得るためにさらにk回の試行が必要になる確率は、それまでに何回試行が失敗したかに関わらず同じであることを意味します。数学的には P(X > s + t | X > s) = P(X > t) と表されます。この性質を持つ離散分布は幾何分布のみです。

幾何分布はどのような時に使うべきですか？

一定の成功確率を持つ独立した試行において、最初の成功までに何回の試行が必要かをモデル化したい場合に使用します。一般的な例として、コインで表が出るまでの回数、最初の販売が成立するまでの営業電話の数、欠陥品が見つかるまでの製品検査数、試験に合格するまでの受験回数などが挙げられます。

幾何分布電卓

最初の成功までの試行回数に関する幾何分布の確率を計算します。1回あたりの成功確率と試行回数を入力すると、正確なPMF、CDF、累積確率、ステップバイステップの解決策、インタラクティブなPMF/CDFチャート、アニメーションによる試行シーケンスの可視化が表示されます。

幾何分布電卓

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幾何分布電卓

幾何分布計算機は、最初の成功を収めるまでに必要な独立したベルヌーイ試行の回数に関する正確な確率を計算します。試行ごとの成功確率と試行番号（または失敗回数）を入力するだけで、点確率、累積確率、ステップごとの解説、アニメーションによる試行シーケンスの可視化、PMF/CDFチャート、および完全な分布表を即座に取得できます。試行番号と成功前の失敗回数の両方のパラメータ化を完全にサポートしています。

幾何分布とは何ですか？

幾何分布は、一連のベルヌーイ試行において最初の成功を得るまでに必要な独立した試行回数をモデル化する離散確率分布です。各試行は同じ成功確率 p と失敗確率 q = 1 − p を持ちます。これは指数分布の離散版であり、無記憶性を持つ唯一の離散分布です。

2つの一般的なパラメータ化

幾何分布には2つの標準的な形式があり、しばしば混乱を招きます。この電卓は両方をサポートしています。

試行回数のパラメータ化 (X): 最初の成功が発生する試行番号をカウントします。Xは 1, 2, 3, … の値を取り、P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p となります。平均は 1/p です。
失敗回数のパラメータ化 (Y): 最初の成功までの失敗回数をカウントします。Yは 0, 1, 2, … の値を取り、P(Y = k) = (1 − p)^k × p となります。平均は (1 − p)/p です。なお、Y = X − 1 という関係があります。

幾何分布のPMF公式

試行回数のパラメータ化（本電卓のデフォルト）の場合：

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p （k = 1, 2, 3, …）

直感的な意味はシンプルです。最初の (k − 1) 回の試行はすべて失敗（それぞれの確率 1 − p）であり、k 回目の試行で成功（確率 p）する必要があります。試行は独立しているため、これらの確率を掛け合わせます。

CDF（累積分布関数）

CDFには、きれいな閉形式の表現があります。

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

これは、最初のk回以内の試行で最初の成功が発生する確率を示します。これは、1から「k回の試行がすべて失敗する確率」を引いたものと等価です。

平均、分散、その他の統計量

平均（期待値）: E[X] = 1/p — 平均して、最初の成功までに 1/p 回の試行が必要です。
分散: Var(X) = (1 − p) / p² — pが小さい（成功が稀な）ほど分散は大きくなります。
標準偏差: σ = √((1 − p) / p²)
中央値: ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — P(X ≤ k) ≥ 0.5 となる最小の k。
最頻値: 常に 1 — 最も可能性が高い結果は、最初の試行での成功です。
歪度: (2 − p) / √(1 − p) — 常に正（右に歪んだ分布）。

無記憶性

幾何分布は、無記憶性を持つ唯一の離散分布です。

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

これは、すでに s 回失敗していても、さらに少なくとも t 回の試行が必要になる確率は、最初から始めた場合と同じであることを意味します。過去の失敗は将来の確率を変えません。これは各試行が独立しているため、理にかなっています。

一般的な応用例

コイン投げ — 最初に表が出るまでに何回投げるか？ p = 0.5 の場合、期待値は 2 回です。
セールスとマーケティング — 最初の成約までに何回のコールドコールが必要か？コンバージョン率が 5% なら、平均して約 20 回の電話が予想されます。
品質管理 — 最初の欠陥が見つかるまでに何個のアイテムを検査する必要があるか？稀なイベントの待ち時間をモデル化します。
ギャンブルとゲーム — 6が出るまでサイコロを何回振るか？ p = 1/6 の場合、期待値は 6 回です。
ネットワークの信頼性 — パケット送信が成功するまでに何回送信が必要か？コンピュータネットワークの再送プロトコルをモデル化します。
遺伝学 — 特定の形質を持つ個体が現れるまで、何人の子が生まれるか？メンデルの法則に従う形質継承に適用されます。

他の分布との関係

負の二項分布: 幾何分布は、負の二項分布において r = 1 （ちょうど1回目の成功を待つ）の場合の特殊なケースです。
指数分布: 幾何分布は、連続確率分布である指数分布の離散版です。どちらも無記憶性を持ちます。
ベルヌーイ分布: 各試行はベルヌーイ分布に従います。幾何分布は、最初の成功までのベルヌーイ試行の回数をカウントします。

この電卓の使い方

試行あたりの成功確率 (p) を入力します。これは0より大きく（0は含まず）、1以下である必要があります。
パラメータ化を選択します：試行番号 (k = 1, 2, 3, …) または成功前の失敗回数 (k = 0, 1, 2, …)。
k の値を入力します。
「確率を計算」をクリックすると、正確な確率と累積確率、ステップごとの解説、アニメーションによる試行シーケンス、PMF/CDFチャート、および完全な分布表が表示されます。
クイックシナリオボタンを使用して、一般的な実世界の例をすぐに試すことができます。

よくある質問

幾何分布は何に使われますか？

幾何分布は、最初の成功を得るまでに必要な独立した試行回数をモデル化します。各試行の成功確率が同じであると仮定して、「成功するまでに何回試行しなければならないか？」という問いに答えたい時にいつでも使われます。一般的な応用には、営業電話の分析、品質検査、ギャンブル、ネットワーク再送、遺伝学などがあります。

2つのパラメータ化の違いは何ですか？

試行回数のパラメータ化は、最初の成功が発生した試行の番号（1から開始）をカウントし、失敗回数のパラメータ化は、最初の成功までの失敗の数（0から開始）をカウントします。これらは正確に1だけ異なります。Xが試行番号であれば、Y = X − 1 が失敗回数です。どちらも対応する k に対して同じ確率値を返します。