เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี

เกี่ยวกับ เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี

เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี จัดการกับหนึ่งในสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งไม่เชิงเส้นที่มีชื่อเสียงที่สุด — สมการแบร์นูลลี y' + P(x)y = Q(x)yⁿ — และเปลี่ยนการหาอนุพันธ์แบบคลาสสิกจากตำราเรียนให้กลายเป็นการสาธิตแบบโต้ตอบทีละขั้นตอน โดยจะทำให้สมการเป็นเชิงเส้นผ่านการแทนที่ v = y¹⁻ⁿ, สร้างตัวประกอบการอินทิเกรต μ(x) และวางซ้อนกราฟรูปแบบปิดที่ได้ลงบนผลเฉลยเชิงตัวเลข RK4 และฟิลด์ความชันเพื่อให้คุณเห็นทุกรายละเอียดพร้อมกัน

สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลีคืออะไร?

นำเสนอโดย Jacob Bernoulli ในปี 1695 สมการแบร์นูลลีคือสมการ ODE อันดับหนึ่งในรูปแบบ

เมื่อ n = 0 สมการจะเป็นเชิงเส้นอยู่แล้ว เมื่อ n = 1 จะเป็นสมการแบบแยกตัวแปรได้ สำหรับค่า n ที่เป็นจำนวนจริงอื่นๆ สมการจะเป็นแบบไม่เชิงเส้น แต่การแทนที่แบบคลาสสิก v = y¹⁻ⁿ จะแปลงให้เป็น ODE เชิงเส้นในรูปของ v ซึ่งสามารถแก้ได้ด้วยเทคนิค ตัวประกอบการอินทิเกรต มาตรฐาน

วิธีแบร์นูลลี 6 ขั้นตอน

เริ่มจาก y' + P(x)y = Q(x)yⁿ:

1. หารด้วย yⁿ: \( y^{-n}y' + P(x)\,y^{1-n} = Q(x) \).
2. แทนที่ v = y¹⁻ⁿ: สังเกตว่า \( v' = (1-n)y^{-n}y' \) ดังนั้น \( y^{-n}y' = v'/(1-n) \).
3. ทำให้เป็นเชิงเส้น: \( v' + (1-n)P(x)\,v = (1-n)Q(x) \) — สมการ ODE เชิงเส้นอันดับหนึ่งในรูป v.
4. ตัวประกอบการอินทิเกรต: \( \mu(x) = \exp\!\left(\int (1-n)P(x)\,dx\right) \) ดังนั้น \( (\mu v)' = \mu(1-n)Q(x) \).
5. แก้หา v(x): \( v(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left[\mu(x_0)v_0 + \int_{x_0}^{x}\mu(t)(1-n)Q(t)\,dt\right] \).
6. แทนที่กลับ: \( y(x) = v(x)^{1/(1-n)} \).

เมื่ออินทิเกรตที่เกี่ยวข้องเป็นฟังก์ชันพื้นฐาน คุณจะได้ผลเฉลยรูปแบบปิดที่สะอาดตา แต่หากไม่เป็นเช่นนั้น เครื่องคิดเลขจะประเมินค่าเชิงตัวเลขโดยใช้กฎของซิมป์สันเพื่อพล็อตกราฟผลเฉลย

กรณีพิเศษที่จัดการโดยอัตโนมัติ

ตัวอย่างการคำนวณ — n = 2, รูปแบบ Logistic

พิจารณา y' + y/x = x·y² พร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น y(1) = 1 ในที่นี้ P(x) = 1/x, Q(x) = x, และ n = 2 ดังนั้น 1 − n = −1

1. แทนที่ v = y⁻¹ = 1/y จะได้ v' = −y⁻²y' และสมการกลายเป็น v' − (1/x)v = −x
2. ตัวประกอบการอินทิเกรต: μ(x) = exp(∫−1/x dx) = 1/x
3. (μ·v)' = μ·(−x) = −1 อินทิเกรตได้: (1/x)·v = −x + C นั่นคือ v = −x² + Cx
4. ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น (IC): ที่ x = 1, v = 1/1 = 1 ดังนั้น 1 = −1 + C ⇒ C = 2 จึงได้ v(x) = −x² + 2x
5. แทนที่กลับ: y(x) = 1/v(x) = 1/(2x − x²) = 1/(x(2 − x))

ผลเฉลยรูปแบบปิด y = 1/(x(2−x)) มีเส้นกำกับแนวตั้งที่ x = 0 และ x = 2 — ซึ่งเป็นสิ่งที่ฟิลด์ความชันทำให้เห็นได้ชัดเจนในทันที

วิธีใช้งานเครื่องคิดเลขนี้

1. กรอกข้อมูลในเครื่องมือสร้างสมการ พิมพ์ P(x) และ Q(x) ลงในช่องสีฟ้า และเลขชี้กำลัง n ลงในช่องยกกำลังขนาดเล็ก เลย์เอาต์จะเลียนแบบรูปแบบมาตรฐาน y' + P(x)y = Q(x)yⁿ
2. กำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น (x₀, y₀) และช่วงการพล็อตกราฟ [x ต่ำสุด, x สูงสุด] ช่วงควรครอบคลุมค่า x₀
3. คลิก แก้สมการ เครื่องคิดเลขจะตรวจจับว่าคุณอยู่ในกรณีพิเศษ (n = 0 หรือ n = 1) หรือไม่ และแสดงการหาอนุพันธ์ที่ตรงกัน มิฉะนั้นจะดำเนินการแทนที่แบบแบร์นูลลี 6 ขั้นตอนพร้อมสมการที่แสดงผลด้วย MathJax
4. อ่านกราฟ เส้นโค้งสีส้มคือผลเฉลยเชิงตัวเลข RK4 เส้นประสีน้ำเงินคือรูปแบบปิดที่ประเมินผ่านตัวประกอบการอินทิเกรต ฟิลด์ลูกศรแสดงค่า y' ในทุกจุด ช่วยให้คุณคาดการณ์ผลเฉลยอื่นๆ ได้ด้วยตาเปล่า
5. คัดลอก CSV ของจุดตัวอย่าง หากคุณต้องการนำเส้นทางผลเฉลยไปใช้ในโปรแกรมอื่น

เคล็ดลับ ข้อควรระวัง และกรณีขอบเขต

• n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มต้องมี y > 0 ตัวแก้สมการจะแจ้งเตือนการจับคู่เช่น n = 1/2 กับ y₀ ≤ 0 ซึ่งจะทำให้ yⁿ เป็นจำนวนเชิงซ้อน
• y₀ = 0 มักจะเป็นจุดเอกฐาน สมการแบร์นูลลีใดๆ ที่ Q ≠ 0 และ n > 0 จะมีผลเฉลยชัดแจ้ง y ≡ 0 ซึ่งมักไม่ใช่สาขาที่คุณต้องการ
• หลีกเลี่ยงจุดที่ P(x) หาค่าไม่ได้ใกล้ x₀ นิพจน์อย่าง 1/x ต้องการ x₀ ≠ 0 ตัวแก้สมการจะตรวจสอบสิ่งนี้ก่อนเริ่มทำงาน
• เลขชี้กำลังขนาดใหญ่ (|n| > 20) จะถูกปฏิเสธเพื่อป้องกันค่าเกินขอบเขต (overflow) ในทางปฏิบัติสมการแบร์นูลลีที่มี n ใหญ่ขนาดนี้แทบไม่ปรากฏในปัญหาจริง
• เส้นกำกับแนวตั้ง หาก RK4 ลู่ออก ให้ลองปรับช่วง x ให้แคบลงในด้านที่ผลเฉลยยังคงมีค่าจำกัด

สมการแบร์นูลลีปรากฏที่ไหนบ้าง?

• พลวัตประชากร — สมการโลจิสติก y' = ry(1 − y/K) คือสมการแบร์นูลลีในรูปแบบแฝง (n = 2 หลังจากจัดรูปใหม่)
• จลนพลศาสตร์เคมี — ปฏิกิริยาเร่งตัวเอง (autocatalytic reactions) มักเป็นไปตาม y' ∝ y − y²
• วงจรไฟฟ้า — วงจร RL ที่มีตัวต้านทานไม่เชิงเส้นบางชนิดให้รูปแบบแบร์นูลลี
• กลศาสตร์ของไหล — สมการชั้นขอบ (boundary-layer equations) หลังจากการลดรูปความคล้ายคลึง
• แบบจำลองโรคระบาด — สัดส่วนผู้มีโอกาสติดเชื้อในแบบจำลอง SIR สามารถลดรูปเป็นรูปแบบแบร์นูลลีได้
• การเติบโตทางเศรษฐกิจ — แบบจำลอง Solow–Swan ที่มีอัตราการออมคงที่คือแบร์นูลลีที่มี n = α

คำถามที่พบบ่อย

สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลีคืออะไร?

สมการแบร์นูลลีคือสมการ ODE อันดับหนึ่งในรูปแบบ y' + P(x)y = Q(x)yⁿ โดยที่ P และ Q เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และ n เป็นจำนวนจริงใดๆ เป็นตัวอย่างคลาสสิกของ ODE ไม่เชิงเส้นที่สามารถแปลงเป็นเชิงเส้นได้โดยการแทนที่ v = y¹⁻ⁿ

การแทนที่ v = y¹⁻ⁿ ทำงานอย่างไร?

คูณสมการเดิมด้วย y⁻ⁿ เพื่อให้ทุกพจน์ของ y กลายเป็น y¹⁻ⁿ หรือ y⁻ⁿy' การกำหนดให้ v = y¹⁻ⁿ จะได้ v' = (1−n)y⁻ⁿy' การแทนที่นี้จะแปลงสมการแบร์นูลลีให้เป็น v' + (1−n)P(x)v = (1−n)Q(x) ซึ่งเป็นเชิงเส้นใน v และแก้ได้ด้วยตัวประกอบการอินทิเกรต

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อ n = 0 หรือ n = 1?

เมื่อ n = 0 สมการจะเป็นเชิงเส้นอันดับหนึ่งอยู่แล้ว จึงไม่จำเป็นต้องแทนที่ เมื่อ n = 1 สูตรแบร์นูลลีจะหารด้วย 1 − n = 0 ดังนั้นเราจึงจัดการแยกกัน: สมการจะยุบเหลือ y' = (Q(x) − P(x))·y ซึ่งแยกตัวแปรได้โดยมีผลเฉลยรูปแบบปิดคือ y = y₀·exp(∫(Q−P) dx)

สมการแบร์นูลลีสามารถแก้ในรูปแบบปิดได้เสมอหรือไม่?

ในทางหลักการคือใช่ แต่ผลลัพธ์การอินทิเกรตที่เกี่ยวข้องกับตัวประกอบการอินทิเกรตอาจไม่มีปฏิยานุพันธ์พื้นฐาน เมื่อเกิดเหตุการณ์นั้น เครื่องคิดเลขจะประเมินค่าเชิงตัวเลขด้วยกฎของซิมป์สันและพล็อตกราฟผลเฉลย วิธีนี้จะลดทอน Bernoulli ODE เป็นการหาพื้นที่เสมอ

ทำไมค่า y ที่เป็นลบและ n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มถึงทำให้เกิดปัญหา?

ถ้า n ไม่ใช่จำนวนเต็ม yⁿ จะถูกนิยามเป็น exp(n·ln y) ซึ่งเป็นจำนวนจริงเฉพาะเมื่อ y > 0 เท่านั้น การใส่ค่า y เป็นลบจะทำให้เกิดจำนวนเชิงซ้อน ตัวแก้สมการจะแจ้งเตือนสถานการณ์นี้และขอให้ใช้ y₀ > 0 หรือเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็มเพื่อให้ผลเฉลยยังคงเป็นจำนวนจริง

ฟิลด์ความชันแสดงอะไร?

ฟิลด์ความชันคือกริดของเส้นสัมผัสขนาดเล็กที่มีมุมเท่ากับ y' ณ จุด (x, y) นั้น กราฟผลเฉลยใดๆ จะถูกบังคับให้เดินตามเส้นสัมผัสเหล่านี้ ดังนั้นฟิลด์ความชันจึงช่วยให้คุณเห็นรูปร่างเชิงคุณภาพของผลเฉลยทั้งหมดได้ในคราวเดียว โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นตัวกำหนดเส้นกราฟเฉพาะเจาะจง

อ่านเพิ่มเติม

• Bernoulli differential equation — Wikipedia
• Integrating factor — Wikipedia
• Logistic function — Wikipedia
• Slope field — Wikipedia