向量計算機

向量計算機

歡迎使用我們的向量計算機，這是一個提供向量運算詳細分步解法的綜合工具。無論您是學習線性代數的學生、處理力和速度的工程師，還是任何需要進行向量數學計算的人，本計算機都能提供準確的結果與清晰的解釋。

什麼是向量？

向量是一個既有大小（長度）又有方向的數學對象。向量通常表示為稱為分量的有序數字列表。例如，一個 3D 向量可以寫成 [3, 4, 5]，表示沿 x 軸移動 3 個單位，沿 y 軸移動 4 個單位，以及沿 z 軸移動 5 個單位。

向量在物理學（代表力、速度、加速度）、電腦圖形學（3D 變換、光照）、機器學習（特徵向量、嵌入）以及許多其他領域中都是基礎工具。

支援的向量運算

長度（量值）

向量的長度（也稱為量值或範數）衡量向量有多長。對於向量 A = [a, b, c]：

單位向量

單位向量的長度為 1，且與原始向量的方向相同。其計算方法是將每個分量除以其長度：

點積（純量積）

兩個向量的點積會產生一個純量（單個數字）。它衡量一個向量在另一個向量方向上的延伸程度：

關鍵屬性：如果點積為零，則向量互相垂直。正值表示它們指向相似的方向；負值則表示方向相反。

叉積（向量積）

兩個 3D 向量的叉積會產生一個垂直於兩個輸入向量的新向量。其長度等於由這些向量構成的平行四邊形的面積：

向量加法與減法

向量加法通過將對應的分量相加來組合向量。減法則找出它們之間的差異：

向量間的夾角

兩個向量之間的夾角是透過點積與長度之間的關係求出的：

向量投影

向量 A 在向量 B 上的投影給出了 A 在 B 方向上的分量：

純量乘法

純量乘法將向量的每個分量乘以一個數字，從而縮放向量：

運算摘要表

如何使用此計算機

1. 輸入向量 A： 輸入第一個向量的分量，並以逗號分隔（例如：3, 4, 0）。
2. 輸入向量 B（如需要）： 對於雙向量運算，請輸入第二個向量。
3. 選擇運算項目： 從下拉式選單中選擇要執行的計算。
4. 設定精確度： 選擇結果中要保留的小數點位數。
5. 計算： 點擊按鈕即可查看帶有分步說明的結果。

常見問題

什麼是點積？

點積（也稱為純量積或內積）是兩個向量 A 和 B 的純量值，計算方法是將對應的分量相乘並求和：A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。它等於 |A||B|cos(θ)，其中 θ 是向量之間的夾角。點積為零表示向量互相垂直。

什麼是叉積？

兩個 3D 向量 A 和 B 的叉積（也稱為向量積）會產生一個垂直於兩個輸入向量的新向量。其計算公式為 A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁)。其長度 |A×B| 等於由 A 和 B 組成的平行四邊形面積。

如何計算向量長度？

向量長度（量值）是使用歐幾里得範數計算的：對於 3D 向量，|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)。此公式可擴展到任何維度，方法是將所有分量的平方求和並取平方根。

什麼是單位向量？

單位向量是長度為 1 且與原始向量方向相同的向量。其計算方法是將每個分量除以向量的長度：Â = A/|A|。單位向量可用於表示不帶長度的方向。

如何找出兩個向量之間的夾角？

向量 A 和 B 之間的夾角 θ 是使用點積公式求出的：cos(θ) = (A·B)/(|A||B|)。對此值取反餘弦 (arccos) 即可得到以弧度表示的角，然後視需要乘以 180/π 轉換為度數。

什麼是向量投影？

向量 A 在 B 上的投影給出了 A 在 B 方向上的分量。公式為 proj_B(A) = ((A·B)/(B·B)) × B。純量投影（分量）為 (A·B)/|B|。這在物理學中用於分解力和速度非常有用。

向量數學的應用

• 物理學： 表示力、速度、加速度、電場和磁場
• 電腦圖形學： 3D 變換、光照計算、光線追蹤
• 工程學： 結構分析、流體動力學、機器人技術
• 機器學習： 特徵向量、詞嵌入、相似度衡量
• 遊戲開發： 角色移動、碰撞檢測、物理模擬
• 導航： GPS 計算、飛行路徑、海上航線

其他資源

• 向量（數學和物理） - 維基百科
• 向量與空間 - 可汗學院
• 點積 - 維基百科
• 叉積 - 維基百科

其他相關工具:

線性代數:

• 行列式計算機
• 特徵值和特徵向量計算機
• 矩陣計算機
• 部分分式分解計算機
• 向量計算機