Bernoulli-Gleichung-Rechner

Der Bernoulli-Gleichung-Rechner löst die berühmte strömungsmechanische Beziehung zwischen Druck, Strömungsgeschwindigkeit und Höhe entlang einer Stromlinie. Geben Sie ein, was Sie an zwei Punkten der Stromlinie wissen, wählen Sie die eine Größe, die Sie bestimmen möchten, und das Tool liefert das Ergebnis — zusammen mit einem animierten Rohrdiagramm, einer Grafik der Energiegradlinie, die visuell beweist, dass die Energie erhalten bleibt, und einer vollständigen Schritt-für-Schritt-Lösung. Es ist der Rechner der Wahl für Studierende, Ingenieure und alle, die mit Rohren, Düsen, Venturi-Messgeräten oder Aerodynamik arbeiten.

Was ist die Bernoulli-Gleichung?

Das Prinzip von Daniel Bernoulli aus dem Jahr 1738 ist eine Formulierung der Energieerhaltung für ein bewegtes Fluid. Für eine stationäre, inkompressible und reibungsfreie Strömung entlang einer einzelnen Stromlinie bleibt die Summe aus Druckenergie, kinetischer Energie und potenzieller Energie pro Volumeneinheit von einem Punkt zum nächsten konstant.

Hierbei ist \(P\) der statische Druck, \(\rho\) (Rho) die Dichte des Fluids, \(v\) die Strömungsgeschwindigkeit, \(g\) die Erdbeschleunigung (9,81 m/s²) und \(h\) die Höhe. Die drei Terme repräsentieren der Reihe nach die Druckenergie, die kinetische (Geschwindigkeits-) Energie und die potenzielle (Höhen-) Energie pro Volumeneinheit.

Die Höhenform und die Energiegradlinie

Durch Teilen jedes Terms durch \(\rho g\) wird die Gleichung in Höhen umgeschrieben — jeder Term entspricht dann einer Höhe in Metern der Flüssigkeitssäule. Dies ist die Form, die der Rechner visualisiert:

Die drei Höhenkomponenten sind die Druckhöhe \(P/\rho g\), die Geschwindigkeitshöhe \(v^2/2g\) und die geodätische Höhe \(h\). Ihre Summe ergibt die Gesamthöhe \(H\), die bei idealer Strömung entlang der Stromlinie konstant bleibt — dieses konstante Niveau nennt man Energiegradlinie (EGL). Die beiden gestapelten Balken im Ergebnis haben immer exakt die gleiche Gesamthöhe, was das Bernoulli-Prinzip auf anschaulichste Weise verdeutlicht: Energie verschiebt sich lediglich zwischen Druck, Geschwindigkeit und Höhe, während die Summe unverändert bleibt.

Wie dieser Rechner nach jeder Größe auflöst

Die Bernoulli-Gleichung verknüpft sechs Größen über die zwei Punkte hinweg (\(P_1, v_1, h_1, P_2, v_2, h_2\)). Wenn Sie fünf davon kennen, kann die Gleichung umgestellt werden, um die sechste zu finden:

• Auflösen nach Druck: \(P = E - \tfrac{1}{2}\rho v^{2} - \rho g h\), wobei \(E\) die Gesamtenergie des vollständig bekannten Punktes darstellt.
• Auflösen nach Geschwindigkeit: \(v = \sqrt{\dfrac{2\,(E - P - \rho g h)}{\rho}}\). Falls die bekannten Werte eine negative Zahl unter der Quadratwurzel erfordern würden, kann keine reale Strömung diese Bedingungen erfüllen, und das Tool gibt eine entsprechende Meldung aus.
• Auflösen nach der Höhe: \(h = \dfrac{E - P - \tfrac{1}{2}\rho v^{2}}{\rho g}\).

Anwendungsbeispiel: Strömung durch ein sich verengendes Rohr

Wasser (\(\rho = 998\) kg/m³) strömt durch ein horizontales Rohr. An Punkt 1 beträgt der Druck 200 kPa und die Geschwindigkeit 2 m/s. Stromabwärts verengt sich das Rohr und der Druck fällt auf 180 kPa. Wie hoch ist die neue Geschwindigkeit?

1. Gesamtenergie an Punkt 1: \(E = 200{,}000 + \tfrac{1}{2}(998)(2)^2 = 201{,}996\) Pa.
2. Auflösen nach \(v_2\): \(v_2 = \sqrt{2(201{,}996 - 180{,}000)/998} \approx 6,64\) m/s.

Das Fluid beschleunigt von 2 auf etwa 6,6 m/s, während sich das Rohr verengt, und sein Druck fällt — genau wie es Bernoulli vorhersagt und wie es ein Venturi-Rohr misst.

Praktische Anwendungen des Bernoulli-Prinzips

Annahmen und Einschränkungen

Die Bernoulli-Gleichung ist nur unter idealen Bedingungen exakt. Beachten Sie diese Grenzen:

• Stationäre Strömung — die Bedingungen an jedem Punkt ändern sich nicht im Laufe der Zeit.
• Inkompressibles Fluid — konstante Dichte, eine gute Annahme für Flüssigkeiten und für Luft unterhalb von etwa Mach 0,3.
• Vernachlässigbare Reibung — keine viskosen oder turbulenten Verluste. Reale Rohre verlieren durch Reibung an Höhe, sodass die stromabwärtige Gesamthöhe etwas niedriger ist als der ideale Wert.
• Entlang einer Stromlinie — die beiden Punkte müssen auf derselben Stromlinie liegen.
• Keine Pumpen oder Turbinen zwischen den Punkten, da diese Energie hinzufügen oder entziehen würden.

So nutzen Sie diesen Rechner

1. Wählen Sie aus, wonach aufgelöst werden soll: Wählen Sie die Unbekannte — Druck, Geschwindigkeit oder Höhe an Punkt 1 oder Punkt 2 — aus dem Menü „Auflösen nach“. Dieses Feld wird als Antwort ausgegraut.
2. Wählen Sie das Fluid und die Einheiten: Wählen Sie Wasser, Luft, Meerwasser, Öl oder eine benutzerdefinierte Dichte sowie die Druckeinheit (Pa, kPa, bar, psi oder atm).
3. Geben Sie die bekannten Werte an beiden Punkten für die verbleibenden fünf Größen ein.
4. Klicken Sie auf Berechnen, um den unbekannten Wert, das animierte Stromliniendiagramm, das Energiegradlinien-Diagramm, die Tabelle zur Höhenaufteilung und die Schritt-für-Schritt-Lösung zu erhalten.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die Bernoulli-Gleichung?

Die Bernoulli-Gleichung besagt, dass für eine stationäre, inkompressible, reibungsfreie Strömung entlang einer Stromlinie die Summe aus Druck, kinetischer Energie pro Volumeneinheit und potenzieller Energie pro Volumeneinheit konstant ist: P + ½ρv² + ρgh = konstant. Sie drückt die Energieerhaltung für ein strömendes Fluid aus.

Wonach kann dieser Bernoulli-Rechner auflösen?

Er kann nach jeder von sechs Größen auflösen: Druck, Geschwindigkeit oder Höhe an einem von zwei Punkten auf derselben Stromlinie. Wählen Sie die Unbekannte aus dem Menü „Auflösen nach“, geben Sie die anderen fünf Werte ein, und der Rechner liefert den fehlenden Wert.

Was ist die Höhenform der Bernoulli-Gleichung?

Das Teilen jedes Terms durch ρg wandelt die Gleichung in Höhen um, gemessen in Metern der Flüssigkeit: Druckhöhe P/(ρg), Geschwindigkeitshöhe v²/(2g) und geodätische Höhe h. Ihre Summe ist die Gesamthöhe, die bei idealer Strömung entlang der Stromlinie konstant bleibt. Dies ist es, was das Energiegradlinien-Diagramm zeigt.

Welche Annahmen legt die Bernoulli-Gleichung zugrunde?

Sie setzt eine stationäre Strömung, ein inkompressibles Fluid mit konstanter Dichte, vernachlässigbare Reibungs- oder Viskositätsverluste, eine Strömung entlang einer einzelnen Stromlinie und keine Energieerhöhung oder -entnahme durch Pumpen oder Turbinen voraus. Reale Systeme mit Reibung verlieren an Höhe, sodass die stromabwärtige Gesamthöhe etwas niedriger ist als der ideale Wert.

Warum sinkt der Druck, wenn eine Flüssigkeit schneller wird?

Weil die Gesamtenergie erhalten bleibt. Wenn ein Fluid beschleunigt — zum Beispiel durch ein sich verengendes Rohr —, nimmt seine Geschwindigkeitshöhe zu, sodass die Druckhöhe sinken muss, um die Gesamthöhe konstant zu halten. Diese umgekehrte Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck ist der Kern des Bernoulli-Prinzips und erklärt den Auftrieb an einem Flügel sowie die Strömung durch ein Venturi-Rohr.

Welche Einheiten sollte ich verwenden?

Die Geschwindigkeit wird in Metern pro Sekunde und die Höhe in Metern eingegeben. Der Druck kann in Pascal, Kilpascal, bar, psi oder Atmosphären eingegeben werden, und das Ergebnis wird in derselben Einheit angezeigt. Die Dichte wird in Kilogramm pro Kubikmeter angegeben, mit Voreinstellungen für gängige Flüssigkeiten.

Zusätzliche Ressourcen

• Bernoullische Gleichung - Wikipedia
• Druckhöhe & Energiegradlinie - Wikipedia