Delaunay 三角剖分生成器
從任何 2D 點集建立 Delaunay 三角剖分，並觀看其形成過程，依三角形品質著色。查看空圓性質、疊加 Voronoi 對偶圖，並讀取最差角度和細長三角形統計數據 — 無需試算表或函式庫。
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Delaunay 三角剖分生成器
Delaunay 三角剖分生成器可將任何 2D 點集轉換為最大化最小內角的唯一三角剖分 — 這是地形建模、有限元素網格劃分、最近鄰插值和計算幾何課堂的金科玉律。貼上座標（或選擇一個快速啟動樣式），該工具就會在伺服器端執行 Bowyer-Watson 演算法，根據質量對每個三角形進行著色，並根據需求顯示空外接圓性質、凸包和 Voronoi 對偶。
如何讀取生成的網格
是什麼讓這個 Delaunay 三角剖分生成器與眾不同
什麼是 Delaunay 三角剖分？
給定一組 2D 點，通常有很多方法可以將它們連接成三角剖分（由三角形對其凸包進行完整鋪磚，沒有重疊或間隙）。以俄羅斯數學家 Boris Delaunay (1934) 命名的 Delaunay 三角剖分是滿足空外接圓性質的三角剖分：對於網格中的每個三角形，通過其三個頂點的圓不包含其他輸入點。這單一性質帶來了一個顯著的結果：在同一點集的所有三角剖分中，Delaunay 三角剖分使最小內角最大化。簡單來說，它能產生盡可能最「飽滿」且「平衡」的三角形。
Bowyer-Watson 演算法如何運作
- 用一個非常大的超三角形包圍所有輸入點。
- 一次插入一個輸入點。對於每個新點，找出外接圓包含該新點的所有現有三角形 — 這些是「壞」三角形。
- 移除壞三角形。它們留下的洞具有多邊形邊界。
- 將新點連接到該邊界的每條邊，形成新的三角形。
- 插入所有點後，移除任何仍與超三角形頂點接觸的三角形。剩下的是原始點集的 Delaunay 三角剖分。
Delaunay 三角剖分應用於何處
- 地形建模 (GIS)：高程樣本（通常是不規則間隔的，如地形站）被連接成不規則三角網 (TIN)，用於高程查詢、陰影和 3D 視覺化。
- 有限元素分析：形狀良好的 Delaunay 三角形可為力學、熱傳導和電磁學中的偏微分方程提供穩定的數值解。
- 電腦圖形學：用於渲染、角色骨架綁定和程序化地形的網格生成 — Delaunay 的「無狹長三角形」保證可避免紋理拉伸偽影。
- 自然鄰點插值：透過 Voronoi 對偶計算每個查詢點的自然鄰點，從分散的樣本中重建平滑表面。
- 計算幾何課程：一種與凸包、Voronoi 圖、點定位和分治法有深厚聯繫的經典演算法。
- 3D 列印切片機和 CNC 工具路徑：2D Delaunay（及其 3D 堂兄 Delaunay 四面體剖分）是許多切片和填充策略的基礎。
Delaunay 與 Voronoi：一體兩面
Voronoi 圖將平面分割為每個輸入點一個單元格，其中每個單元格包含比任何其他點都更接近其點的所有內容。連接單元格共享邊界的點，您將精確地得到 Delaunay 三角剖分。相反地，相鄰 Delaunay 三角形的外接圓心由線段連接，形成了 Voronoi 邊。在此工具上切換「Voronoi 對偶」以查看疊加在同一圖表上的橘色虛線 — 每條 Delaunay 邊都與一條 Voronoi 邊成直角相交。
質量、狹長三角形與網格細化
Delaunay 最大化了全域最小內角，但它無法修正根本上糟糕的點分佈。如果您的輸入點接近共線、聚集或留下很大的空白區域，某些三角形仍然會是狹長的（最小內角低於 20°）。修正方法是插入 Steiner 點：諸如 Ruppert 演算法和 Chew 第二演算法之類的演算法，在狹長三角形的外接圓心處迭代加入新點，每次都重新進行三角剖分，直到每個三角形都達到目標質量邊界。此生成器向您顯示哪些三角形是狹長的，以便您在想要更細緻的網格時知道在何處加入 Steiner 點。
實際範例
點擊「圓形 + 中心」預設。該工具在圓形周圍放置 18 個點，並在中心放置 1 個點，然後對它們進行三角剖分。結果是一個由 18 個等腰三角形在中心相交的完美扇形 — 每個三角形在邊緣處的角度為 10°，在中心處的角度為 80°–80°。最差最小內角為 10°，所有三角形都被標記為狹長，且直方圖顯示所有內容都在 0°–10° 區間內。這個範例是一個很好的教學案例：當輸入強迫時，即使是 Delaunay 最優三角剖分也可能包含狹長三角形。現在點擊「隨機雲」 — 相同的演算法會產生形狀良好的三角形，因為點分佈均勻，且直方圖向右移動。
常見誤解
- 「Delaunay 三角剖分是唯一的」：通常是的，但如果四個輸入點共圓（全部位於同一個圓上），則該組有兩個有效的 Delaunay 三角剖分。生成器會始終如一地選擇其中一個。
- 「更多點總是意味著更好的質量」：加入放置不當的點可能會引入新的狹長三角形。Steiner 點演算法會小心地將新點放置在 — 外接圓心 — 處，因此質量保證會得到改善。
- 「Delaunay 與凸包相同」：不。凸包是外邊界；Delaunay 三角剖分用三角形填充內部。
- 「所有三角剖分看起來都差不多」：差異是巨大的。從 Delaunay 邊進行「翻轉」可以將 25° 的三角形變成 5° 的三角形。該工具的質量熱圖使這種差異變得顯而易見。
常見問題
什麼是 Delaunay 三角剖分？
它是 2D 點集的唯一三角剖分，其中沒有點位於任何三角形的外接圓內部。此性質促使演算法在所有可能的三角剖分中使最小內角最大化，從而產生形狀盡可能良好的三角形。
為什麼 Delaunay 對網格劃分很重要？
諸如有限元素分析之類的數值方法對狹長三角形非常敏感 — 它們會導致病態矩陣、收斂緩慢以及可見的偽影。Delaunay 在輸入允許的範圍內盡可能避免狹長三角形，這就是為什麼它是幾乎每個網格劃分流程的預設起點。
此生成器使用什麼演算法？
Bowyer-Watson 增量演算法。首先建立一個包含所有輸入點的超三角形，然後逐一插入每個點：移除外接圓包含新點的三角形，並透過將新點連接到所得洞的邊界的每條邊來形成新的三角形。
什麼是空外接圓性質？
對於網格中的每個三角形，通過其三個頂點的圓都是空的 — 沒有其他輸入點嚴格位於其內部。切換「顯示外接圓」即可看到此性質的視覺化；您會注意到輸入點總是位於每個圓的邊界上或外部。
Voronoi 圖有何關係？
它們是對偶。Voronoi 圖將平面分割為每個輸入點一個單元格，包含最接近該點的區域。Voronoi 邊正好是連接相鄰 Delaunay 三角形外接圓心的線段。切換「顯示 Voronoi 對偶」可將其疊加。
怎樣才算狹長三角形？
按照慣例，最小內角低於 20° 的三角形稱為「狹長」。形狀良好的三角形其最小內角在 30° 或以上。正三角形的所有角均為 60° — 這是理論上的最大值。此工具中的直方圖和熱圖均使用這些閾值。
生成器接受什麼輸入格式？
每行貼上一個點，格式為 x, y。分隔符號包括逗號、Tab、分號、豎線或空格。數字可能包含千分位分隔符號（1,234）或歐洲小數點逗號（1.234,56）。以 # 開頭的行將被視為註釋，且完全重複的點將自動合併。
圖表上顯示的凸包是什麼？
粗靛藍色輪廓標記了凸包 — 三角剖分的最外層邊界。凸包邊正好屬於一個三角形（每個內部邊屬於兩個）。它們也是其 Voronoi 對偶射向無窮遠的 Delaunay 邊。
我可以下載圖表嗎？
可以。「SVG」按鈕可下載清晰的向量檔案，可縮放至任何大小以用於列印和報告。「PNG」可下載 2 倍解析度的點陣圖，用於簡報和聊天。「複製 CSV」可將每個三角形的細分（索引、頂點、角度）和完整點列表複製為 CSV。
我可以使用多少個點？
每次執行最多 150 個點。超過此限制，純 Python 的 Bowyer-Watson 演算法開始需要明顯的時間，且 SVG 會變得過於密集而難以閱讀。如果您需要更大的網格，請匯出到專用工具，例如 Triangle 或 scipy.spatial.Delaunay。
引用此內容、頁面或工具為：
"Delaunay 三角剖分生成器" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw//，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/
由 MiniWebtool 團隊製作。更新日期：2026-05-20
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