Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
> Máy tính Phép chiếu Vector
 

Máy tính Phép chiếu Vector

Tính toán hình chiếu vector và hình chiếu đại số của một vector lên một vector khác. Hỗ trợ vector 2D và 3D với công thức từng bước, sơ đồ tương tác và phân tích trực giao.

Máy tính Phép chiếu Vector

Ví dụ nhanh:

2D: ⟨3, 4⟩ → ⟨1, 2⟩ 2D: ⟨5, 1⟩ → ⟨3, -2⟩ 3D: ⟨1, 2, 3⟩ → ⟨4, 5, 6⟩ 3D: ⟨2, -1, 3⟩ → ⟨1, 1, 1⟩
a Vector a (cần chiếu)
x
y
b Vector b (hướng chiếu)
x
y
Mẹo: Hình chiếu của a lên b cho bạn biết bao nhiêu phần của a đi theo hướng của b.

Embed Máy tính Phép chiếu Vector Widget

Giới thiệu về Máy tính Phép chiếu Vector

Chào mừng bạn đến với Máy tính phép chiếu vector, một công cụ đại số tuyến tính mạnh mẽ giúp tính toán hình chiếu của một vector lên một vector khác với phân tích công thức từng bước, trực quan hóa hình học tương tác và phân tích trực giao. Cho dù bạn đang học đại số tuyến tính, giải các bài toán vật lý hay phân tích dữ liệu trong học máy, máy tính này giúp các phép chiếu vector trở nên trực quan và dễ hiểu.

Hình chiếu vector là gì?

Hình chiếu vector là một phép toán cơ bản trong đại số tuyến tính dùng để tìm xem bao nhiêu phần của một vector đi theo hướng của một vector khác. Cho hai vector a và b, hình chiếu của a lên b tạo ra một vector mới nằm dọc theo b và đại diện cho "bóng" của a đổ lên đường thẳng được xác định bởi b.

Có hai khái niệm liên quan:

  • Hình chiếu vô hướng (thành phần): Một con số duy nhất đại diện cho độ dài đại số của hình chiếu dọc theo b
  • Hình chiếu vector: Một vector nằm dọc theo b với độ lớn bằng hình chiếu vô hướng

Công thức hình chiếu vector

Hình chiếu vector của a lên b
$$\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b}$$

Công thức hình chiếu vô hướng

Hình chiếu vô hướng (Thành phần)
$$\text{comp}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$$

Phân tích trực giao

Bất kỳ vector a nào cũng có thể được phân tích thành hai thành phần vuông góc so với b:

Phân tích trực giao
$$\vec{a} = \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} + \vec{a}_{\perp}$$

Trong đó \(\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}\) là thành phần của a vuông góc với b (còn gọi là vector phản chiếu).

Cách sử dụng máy tính này

  1. Chọn số chiều: Chọn vector 2D hoặc 3D bằng các nút chuyển đổi.
  2. Nhập các vector: Nhập các thành phần của vector a (vector được chiếu) và vector b (hướng chiếu).
  3. Tính toán: Nhấp vào "Tính toán hình chiếu" để xem kết quả đầy đủ bao gồm hình chiếu vector, hình chiếu vô hướng, thành phần trực giao, góc giữa các vector và lời giải từng bước.
  4. Khám phá trực quan hóa: Xem lại sơ đồ tương tác hiển thị tất cả các vector và mối quan hệ hình học giữa chúng.

Hiểu kết quả của bạn

  • Hình chiếu vector: Vector hình chiếu nằm dọc theo b
  • Hình chiếu vô hướng: Độ dài đại số của hình chiếu (dương nếu góc < 90°, âm nếu góc > 90°)
  • Thành phần trực giao: Phần của a vuông góc với b
  • Góc giữa các vector: Góc θ theo cả độ và radian
  • Hệ số hình chiếu (a·b/b·b): Hệ số nhân áp dụng cho b để có được vector hình chiếu

Ứng dụng của hình chiếu vector

Vật lý

Tính công thực hiện bởi một lực (W = F·d), phân tích lực thành các thành phần dọc theo các trục và phân tích chuyển động trên mặt phẳng nghiêng.

Đồ họa máy tính

Tính toán ánh sáng, đổ bóng, hình chiếu camera và phát hiện va chạm sử dụng hình chiếu vector rất rộng rãi.

Học máy (Machine Learning)

Phân tích thành phần chính (PCA), chiếu đặc trưng và giảm chiều dữ liệu dựa trên việc chiếu dữ liệu lên các hướng chính.

Kỹ thuật

Phân tích kết cấu, xử lý tín hiệu và phân tích trường điện từ sử dụng các phép chiếu để phân tích thành phần.

Các trường hợp đặc biệt

  • Vector song song (θ = 0°): Hình chiếu của a lên b bằng chính a (được điều chỉnh theo tỷ lệ độ lớn)
  • Vector ngược chiều (θ = 180°): Hình chiếu hướng theo hướng ngược lại với b
  • Vector vuông góc (θ = 90°): Hình chiếu là vector không — a không có thành phần nào dọc theo b
  • Hình chiếu vô hướng = 0: Các vector trực giao với nhau
  • Hình chiếu vô hướng âm: Góc giữa các vector vượt quá 90°

Câu hỏi thường gặp

Hình chiếu vector là gì?

Hình chiếu vector của a lên b là thành phần của a nằm theo hướng của b. Nó được tính là projb(a) = (a·b / b·b) × b. Kết quả là một vector hướng cùng phía (hoặc ngược phía) với b, đại diện cho bao nhiêu phần của a đi theo b.

Sự khác biệt giữa hình chiếu vô hướng và hình chiếu vector là gì?

Hình chiếu vô hướng cho một con số duy nhất đại diện cho độ dài đại số của hình chiếu dọc theo b, được tính là compb(a) = a·b / |b|. Hình chiếu vector cho kết quả là một vector có cả độ lớn và hướng, được tính là projb(a) = (a·b / b·b) × b. Hình chiếu vô hướng chính là độ lớn (có dấu) của hình chiếu vector.

Thành phần trực giao (vector phản chiếu) là gì?

Thành phần trực giao (còn gọi là vector phản chiếu) là phần của vector a vuông góc với vector b. Nó được tính là a⊥ = a − projb(a). Cùng với nhau, hình chiếu và phản chiếu phân tích a thành hai thành phần vuông góc có tổng bằng vector ban đầu.

Hình chiếu vô hướng có thể âm không?

Có. Hình chiếu vô hướng âm có nghĩa là góc giữa hai vector lớn hơn 90°, vì vậy vector a có một thành phần hướng ngược lại với hướng của b. Giá trị tuyệt đối của hình chiếu vô hướng vẫn đại diện cho độ dài của bóng chiếu.

Tại sao hình chiếu vector quan trọng trong học máy?

Hình chiếu vector là nền tảng cho các kỹ thuật như Phân tích thành phần chính (PCA), giúp chiếu dữ liệu nhiều chiều lên các hướng có phương sai tối đa. Nó cũng được sử dụng trong hồi quy (chiếu các vector phản hồi lên không gian đặc trưng), hệ thống gợi ý và giảm chiều dữ liệu, khiến nó trở thành một trong những phép toán được sử dụng rộng rãi nhất trong khoa học dữ liệu.

Tài nguyên bổ sung

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính Phép chiếu Vector" tại https://MiniWebtool.com/vi// từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 18 tháng 2, 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoCông cụ đổi Pound sang KilogramCông cụ chuyển đổi kg sang lbsCông cụ Mã hóa CaesarMáy tính giảm giá phần trămMáy tính thương và số dưTrình Tạo Mã MorseCông cụ chuyển đổi chữ số La MãMáy tính phân số tối giảnĐảo ngược văn bảnTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênCông cụ đếm hàngMáy tính thập phân sang phân sốCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânXóa dấu cáchTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênParaphraser AICon số may mắn của tôi là gì?Trình tạo tên ngẫu nhiênMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốCông cụ chia ảnhmáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-caoMáy tính xác suất xúc xắcCông cụ chuyển đổi inch sang centimetMáy tính căn bậc haiCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchSắp xếp sốCông cụ chuyển đổi kPa sang psiMáy tính nhị phânBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânBộ lặp MP3Bộ chuyển đổi FPS📅 Máy tính ngàyBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmMáy tính So sánh Phân sốTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênTrình tạo mê cungMáy tính giai thừaMáy phát động vật ngẫu nhiênMáy tính Cạnh huyềnMáy tính thời gianTrình tạo số xổ sốCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênMáy tính HEXMáy tính xác suấtBộ chuyển đổi HEXBộ chuyển đổi hex sang thập phânBộ chọn số ngẫu nhiênBộ chuyển đổi hệ cơ sốMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămMáy tính Ước số chung lớn nhấtSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiBộ giải mã Base64Bộ chuyển đổi RGB sang HexBộ Giải Mã Mã MorseMáy Tính Giờ Làm ViệcMáy tính ModuloMáy tính One Rep Max (1RM)Trình tạo Hash MD5Công cụ chuyển đổi phân số thành hỗn sốĐây có phải là Số Nguyên Tố?Công cụ tạo Sự thật hay Thách đốTrình trích xuất âm thanhBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexTrình tạo đồ vật ngẫu nhiênBộ Chuyển Đổi Nhị PhânBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânMáy tính hoán vịSo sánh hai chuỗiTrình nén VideoTrình tạo PIN ngẫu nhiênChọn tên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi centimet sang inchTrình chuyển đổi SRT sang TXTTrình tạo oẳn tù tìCông cụ chuyển đổi gam sang poundCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânMáy tính độ lệch chuẩn - Độ chính xác caotra-cứu-địa-chỉ-macAI Trình thêm dấu câuCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Máy tính Tổngchuyển đổi từ sang số điện thoạiCông cụ chuyển đổi bát phân sang nhị phânTrình chuyển đổi HTML sang văn bảnBộ chọn màu hình ảnhBộ nén hình ảnhChuyển đổi Nhị phân sang Bát phânMáy tính Kiểm tra Chia hếtTung đồng xuĐiều chỉnh tốc độ videoCông cụ chuyển đổi pound sang gamMáy tính Log Base 10Máy tính trung bìnhBộ Chia Âm ThanhBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữCông cụ cắt ảnhMáy tính Phép chiếu VectorMáy tính Gram-SchmidtMáy tính Phương trình Hình cầuMáy tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳngMáy tính Trực tâm Tam giácMáy tính Trọng tâm Tam giácMáy tính Công thức Dây giàyMáy tính Phân số liên tụcMáy tính Nghịch đảo Nhân theo Mô-đunMáy tính Thuật toán Euclid Mở rộngMáy tính Hàm Phi EulerMáy tính Định lý Số dư Trung QuốcCông cụ tạo Biểu đồ Venn (3 Tập hợp)Máy tính lý thuyết tập hợpCông cụ tạo bảng chân trịCông cụ chuyển đổi cân nặng người sang kiếnMáy tính Calo cho MèoMáy tính tiết kiệm bóng đènMáy tính Chi phí TắmMáy tính chi phí điện đào BitcoinMáy tính Giá trị Giấy vệ sinhTra cứu ID người dùng InstagramMáy tính Quãng đường Bàn phímTrình tạo Bingo từ thông dụngMáy tính Xác suất Ngày nghỉ ốmMáy tính lương thực tế theo giờMáy tính Cà phê vs. Giấc ngủMáy tính thời gian trả lời emailMáy tính FIRE - Tự do Tài chính, Nghỉ hưu sớmMáy tính thời gian lãng phí đi làmBộ đếm Chi phí Cuộc họpMáy tính lương trong nhà vệ sinhTrình tạo KakuroTrình tạo KenKen (Calcudoku)trình-tạo-nonogram-picrossGiải và luyện trò chơi 24Tạo và giải SudokuMáy tính khay phô maiMáy tính đài phun sô cô laMáy tính ABV CocktailMáy tính khẩu phần mì SpaghettiMáy tính thời gian làm lạnh biaMáy tính Taco BarMáy tính BBQMáy tính quá liều CaffeineCông cụ lập kế hoạch tiệc pizzaMáy tính rượu tiệc cướiMáy tính Nhà gạch LegoMáy tính Lấp đầy Phòng Bỏng ngôMáy tính va chạm đồng xu rơiMáy tính rơi xuyên Trái đấtMáy tính bức xạ chuốiMáy tính năng lượng Chuột HamsterMáy tính Tỷ lệ Lỗi Dịch chuyển Tức thờiMáy tính nấu gà bằng năng lượng động năngMáy tính lực nâng bóng bay HeliMáy tính Thời gian Sống sót ZombieTrình Kiểm Tra Kích Thước Thu Thập GooglebotMáy tính tỷ lệ bãi đỗ xeMáy tính Cây thông NoelMáy Tính Ngày Tận Thế Ma Cà RồngMáy tính giá trị PizzaMáy tính Quầy nước chanhTrình tạo tiểu bang Mỹ ngẫu nhiênTrình tạo lý do ngẫu nhiênTrình tạo hoạt động ngẫu nhiênTrình tạo công thức cocktail ngẫu nhiênCông cụ chọn phim ngẫu nhiênTrình tạo tên miền ngẫu nhiênTrình tạo siêu năng lực ngẫu nhiênTrình tạo Haiku ngẫu nhiênTrình tạo lời nhắc viết ngẫu nhiênTrình tạo IMEI Ngẫu nhiênTrình tạo chân dung người dùng ngẫu nhiênTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênTrình tạo số cổng ngẫu nhiênTrình tạo NanoID ngẫu nhiênMáy tính tuổi thọ pinMáy tính độ rộng đường mạch PCBMáy tính sụt ápMáy tính định luật OhmMáy tính mã màu điện trởTrình tạo chuyển hướng HtaccessCông cụ tối ưu SVGCông cụ tạo faviconCông cụ tạo biểu thức CrontabTrình định dạng SQLCông cụ chuyển đổi cURL sang JSONBộ giải mã JWTCông cụ chuyển đổi JSON sang YAMLMáy tính Chuyển đổi MenCông cụ chuyển đổi kích thước khuôn bánhMáy tính độ ẩm bột nhàomáy-tính-tỷ-lệ-bánh-mìMáy tính kích thước thêu chữ thậpMáy tính vảiMáy tính sợi lenMáy tính nước muối và độ mặnMáy tính tỷ lệ pha cà phêMáy tính ABV bia thủ côngMáy tính sáp và tinh dầu thơm nếnMáy tính xút làm xà phòng (SAP)Máy tính kích thước in và độ phân giải (DPI/PPI)Máy tính Golden Hour và Blue HourMáy tính độ sâu trường ảnh (DoF)Máy tính khoảng cách trồng câyMáy tính Chuyển đổi Tỷ lệ Mô hìnhMáy tính vật liệu nền bể cáMáy tính thể tích và mật độ cá bểQuay vòng quayĐổ xúc xắcQuả cầu Thần kỳ 8Trình tạo bài tây ngẫu nhiênCông cụ tạo địa chỉ IP ngẫu nhiênTrình tạo thời gian ngẫu nhiênTrình tạo ngày ngẫu nhiênCông cụ tạo tọa độ ngẫu nhiênCông cụ tạo User-Agent ngẫu nhiênTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình tạo JSON ngẫu nhiênTrình tạo quốc gia ngẫu nhiênCông cụ tạo bảng màu ngẫu nhiênCông cụ tạo Emoji ngẫu nhiênCông cụ tạo bữa ăn ngẫu nhiênTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênCông Cụ Tạo Phân Phối GaussMáy tính Giá trị PipMáy tính Lãi kép Hàng ngàyMáy tính Chiến lược MartingaleMáy tính Tiêu chí KellyMáy tính Stop Loss & Take ProfitMáy tính mở rộng Fibonaccimáy-tính-điểm-xoayMáy tính đòn bẩy tiền điện tửBộ chuyển đổi Satoshi sang Đô laMáy Tính Chênh Lệch Giá Tiền Điện TửMáy tính tổn thất tạm thờiMáy Tính Lợi Nhuận Quyền ChọnMáy Tính Biến Động Ngầm ĐịnhMáy tính Greek Quyền chọnMáy tính Định giá Quyền chọn Black-ScholesMáy tính rủi ro phá sảnMáy tính lợi nhuận bán khốngMáy tính Margin CallMáy Tính Kích Thước Vị Thếmáy tính giá trung bình cổ phiếuCông cụ xóa ký tự vô hìnhCông cụ Chuyển đổi Văn bản sang Danh sách SQLCông cụ trích xuất cột văn bảnMáy tính sự khác biệt danh sáchCông cụ tạo văn bản ZalgoCông cụ tạo nghệ thuật ASCIICông cụ tạo văn bản vô hìnhcông-cụ-tạo-văn-bản-ngược-đầuCông cụ tạo văn bản ZalgoCông Cụ Tạo Chữ ĐẹpTrình đọc văn bản thành giọng nóiCông cụ Chuyển đổi Đọc BionicCông cụ kiểm tra mật độ từ khóaMáy tính điểm dễ đọcTrình tạo Lorem IpsumMáy tính Tiết kiệm Thời gian Hàng ngàyCông Cụ Xóa Dấu Ngoặc Kép Thông MinhTrình tạo bảng MarkdownEscape Unescape Chuỗi JSONTrình Tạo Slug URLCông cụ Mã hóa/Giải mã Thực thể HTMLMáy tính Tìm Giao điểm X và YMáy Tính Đỉnh và Trục Đối XứngMáy tính hợp hàmMáy Tính Hàm NgượcMáy Tính Miền Xác Định và Miền Giá TrịCông cụ vẽ đồ thị hàm sốCông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhCông cụ giải bất phương trình trị tuyệt đốiCông cụ giải bất phương trìnhCông cụ Giải Hệ Phương Trình Tuyến TínhCông cụ giải phương trình căn thứcCông cụ giải phương trình trị tuyệt đốiCông cụ giải phương trình tuyến tínhMáy Tính Phép Chia Tổng HợpMáy Tính Chia Đa ThứcMáy tính Mở rộng Đa thứcMáy tính phân tích thừa số đa thứcMáy tính biểu thức hữu tỉCông Cụ Đơn Giản Hóa Căn ThứcCông cụ đơn giản hóa biểu thức đại sốCông cụ vẽ đồ thị hàm lượng giácMáy tính đẳng thức lượng giácCông cụ Trực quan hóa Vòng tròn Đơn vị Tương tácCông cụ chuyển đổi tọa độ Descartes sang cựcCông cụ chuyển đổi tọa độ cực sang tọa độ Đề-cácCông cụ chuyển đổi độ thập phân sang DMSCông cụ chuyển đổi DMS sang độ thập phânMáy tính Định lý CosinMáy tính Định lý SinCông cụ Giải Tam giác Tổng quátMáy Tính Tam Giác VuôngMáy Tính Hàm HyperbolMáy tính Cosec, Sec và CotangMáy tính atan2Máy tính arctanMáy tính Arccos (Cosin Nghịch đảo)Máy tính ArcsinMáy tính tanMáy tính CosMáy tính SinMáy tính Độ dốc và CấpMáy Tính Góc Cắt NghiêngCông cụ Kiểm tra Góc vuông (Quy tắc 3-4-5) 📐Máy tính bảng chânMáy tính sàn thềmMáy tính hàng ràoMáy tính lớp phủ, đất và sỏiMáy tính khung tườngMáy tính mái nhàMáy tính độ dốc mái nhàMáy tính Cầu thangMáy tính Giấy dán tườngMáy tính sàn nhàMáy tính gạchMáy tính sơnMáy tính Gạch và VữaMáy tính bê tôngCông cụ tìm đá sinh nhật và hoa cung hoàng đạoMáy Tính Cung Hoàng Đạo Cây CelticMáy tính tương hợp cung Mặt trăngTrình phân tích tương hợp cung hoàng đạo nâng caoLịch trăng non và trăng trònMáy tính Sự trở lại của Sao ThổLịch Sao Thủy Nghịch HànhMáy tính Cân bằng Modality Chiêm tinhMáy Tính Cân Bằng Nguyên Tố Chiêm TinhMáy tính cung sao ThủyMáy tính Cung Sao HỏaMáy tính Cung Sao KimTrình kiểm tra độ mạnh mật khẩuMáy tính phân quyền Unix (chmod)Tạo Cron JobMáy tính căn bậc n độ chính xác caoCông cụ Chuyển đổi Tần số và Bước sóngTrình xác thực XMLThêm hoặc Thay thế Âm thanh trong VideoGhép VideoThêm hình mờ vào Video