Kalkulator Jumlah Deret Tak Hingga

Hitung jumlah eksak dari deret tak hingga yang konvergen termasuk geometri, teleskopik, p-deret, dan deret khusus yang terkenal. Dapatkan bukti konvergensi langkah demi langkah dengan visualisasi jumlah parsial beranimasi.

Coba:

Deret Geometri

$$\sum_{n=0}^{\infty} a \cdot r^n$$

Jumlah = a/(1−r) ketika |r| < 1. Deret konvergen yang paling mendasar.

p-Deret

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

Konvergen ketika p > 1. Termasuk masalah Basel (p=2) = π²/6.

Deret Teleskopik

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+k)}$$

Teleskopik melalui pecahan parsial. Untuk k=1: jumlah = 1.

Harmonik Ganti Tanda

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln(2)$$

Deret harmonik ganti tanda. Jumlah = ln(2) ≈ 0,6931.

Rumus Leibniz (π/4)

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$$

Rumus Leibniz. Jumlah = π/4 ≈ 0,7854. Konvergensi lambat.

Masalah Basel (π²/6)

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

Masalah Basel dipecahkan oleh Euler. Jumlah = π²/6 ≈ 1,6449.

Eksponensial (e)

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e$$

Deret Taylor untuk e. Konvergen sangat cepat.

Geometri (Awal Kustom)

$$\sum_{n=N}^{\infty} a \cdot r^n$$

Deret geometri dengan indeks awal N kustom.

p-Deret Ganti Tanda

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^p}$$

Fungsi eta Dirichlet. Untuk p=1 → ln(2), p=2 → π²/12.

Eksponensial eˣ

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$$

Deret Taylor untuk eˣ. Konvergen untuk semua x.

Embed Kalkulator Jumlah Deret Tak Hingga Widget

Tentang Kalkulator Jumlah Deret Tak Hingga

Kalkulator Jumlah Deret Tak Hingga menghitung jumlah eksak dari deret tak hingga yang konvergen. Alat ini mendukung deret geometri, deret-p, deret teleskopik, dan deret khusus yang terkenal seperti masalah Basel, formula Leibniz untuk π, dan deret harmonik alternan. Setiap perhitungan mencakup bukti konvergensi langkah demi langkah, visualisasi animasi jumlah parsial, dan tabel jumlah parsial yang mendetail.

Jenis Deret yang Didukung

∞

Geometri

a + ar + ar² + … = a/(1−r)

Deret-p

Σ 1/nᵖ, konvergen jika p > 1

⟿

Teleskopik

Σ 1/n(n+k), pecahan parsial

Alternan

Σ (−1)ⁿ⁺¹/n = ln(2)

Leibniz

Σ (−1)ⁿ/(2n+1) = π/4

ℯ

Eksponensial

Σ 1/n! = e ≈ 2,718

Rumus Utama

Deret	Rumus	Kondisi
Geometri	$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$	\|r\| < 1
Deret-p	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = \zeta(p)$	p > 1
Teleskopik	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$	Selalu konvergen
Masalah Basel	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$	Deret-p dengan p = 2
Leibniz	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$	Deret alternan
Harmonik Alternan	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln(2)$	Konvergensi bersyarat
Eksponensial	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$	Semua x ∈ ℝ

Cara Menggunakan Kalkulator Jumlah Deret Tak Hingga

Pilih jenis deret: Klik pada kartu deret untuk memilihnya, atau gunakan tombol contoh cepat untuk deret populer. Gunakan tab kategori untuk memfilter antara deret Klasik dan Khusus.
Masukkan parameter: Jika deret memerlukan parameter (seperti rasio umum r untuk deret geometri atau eksponen p untuk deret-p), isi kolom input. Nilai default telah disediakan.
Klik Hitung Jumlah: Tekan tombol ungu "Hitung Jumlah" untuk menghitung hasilnya.
Tinjau hasil: Lihat nilai jumlah eksak, grafik konvergensi animasi jumlah parsial, bukti matematika langkah demi langkah, dan tabel jumlah parsial yang mendetail.

Memahami Konvergensi

Suatu deret tak hingga $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergen jika barisan jumlah parsial $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ mendekati limit hingga saat N → ∞. Grafik animasi di kalkulator kami menunjukkan konvergensi ini secara visual — Anda dapat melihat jumlah parsial mendekati garis limit putus-putus.

Uji konvergensi utama:

Uji Deret Geometri: Σ arⁿ konvergen jika dan hanya jika |r| < 1
Uji Deret-p: Σ 1/nᵖ konvergen jika dan hanya jika p > 1
Uji Deret Alternan (Leibniz): Σ (−1)ⁿbₙ konvergen jika bₙ menurun dan mendekati 0
Uji Rasio: Jika lim|aₙ₊₁/aₙ| < 1, deret tersebut konvergen absolut
Uji Integral: Membandingkan deret dengan integral tak wajar

Hasil Terkenal dalam Penjumlahan Deret

Beberapa deret tak hingga memiliki jumlah eksak yang mengejutkan dan indah:

Masalah Basel (1734): Euler membuktikan bahwa 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π²/6, menghubungkan jumlah kebalikan kuadrat dengan π.
Formula Leibniz (1674): Deret alternan 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … = π/4, salah satu ekspresi paling sederhana untuk π.
Bilangan Euler: Deret 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + … = e ≈ 2,71828, yang konvergen dengan sangat cepat.
Deret Harmonik Alternan: 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … = ln(2), meskipun deret harmonik itu sendiri divergen.

Pertanyaan yang Sering Diajukan (FAQ)

Apa itu jumlah deret tak hingga?

Jumlah deret tak hingga adalah hasil dari penambahan suku-suku yang tak terhitung banyaknya dalam suatu barisan. Jika jumlah parsial mendekati angka hingga, deret tersebut dikatakan konvergen, dan angka tersebut adalah jumlahnya. Contohnya, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2 adalah deret geometri yang konvergen.

Kapan deret tak hingga konvergen?

Deret tak hingga konvergen ketika jumlah parsialnya mendekati limit hingga. Berbagai pengujian menentukan konvergensi: Uji Rasio, Uji Akar, Uji Deret-p, Uji Deret Alternan, dan lainnya. Syarat perlu (tetapi tidak cukup) adalah suku-sukunya harus mendekati nol — deret harmonik 1 + 1/2 + 1/3 + … divergen meskipun suku-sukunya mendekati nol.

Berapakah jumlah deret geometri?

Jumlah deret geometri tak hingga a + ar + ar² + … sama dengan a/(1−r) ketika nilai absolut dari rasio umum r kurang dari 1. Jika |r| ≥ 1, deret tersebut divergen. Contohnya, 1 + 1/2 + 1/4 + … = 1/(1−0,5) = 2.

Apa itu masalah Basel?

Masalah Basel menanyakan jumlah eksak dari kebalikan kuadrat: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … Euler menyelesaikannya pada tahun 1734, membuktikan bahwa jumlahnya sama dengan π²/6 (sekitar 1,6449). Ini adalah salah satu hasil paling terkenal dalam teori bilangan dan analisis.

Apa itu deret teleskopik?

Deret teleskopik adalah deret di mana suku-suku yang berurutan saling meniadakan, hanya menyisakan sejumlah suku hingga dalam jumlah parsialnya. Contohnya, deret Σ 1/(n(n+1)) dapat ditulis sebagai 1/n − 1/(n+1) menggunakan pecahan parsial, dan sebagian besar suku saling meniadakan, memberikan jumlah 1.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Jumlah Deret Tak Hingga" di https://MiniWebtool.com/id// dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 2026-04-06

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Deret	Rumus	Kondisi
Geometri	\(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}\)	\|r\| < 1
Deret-p	\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = \zeta(p)\)	p > 1
Teleskopik	\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1\)	Selalu konvergen
Masalah Basel	\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\)	Deret-p dengan p = 2
Leibniz	\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}\)	Deret alternan
Harmonik Alternan	\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln(2)\)	Konvergensi bersyarat
Eksponensial	\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x\)	Semua x ∈ ℝ

Kalkulator Jumlah Deret Tak Hingga

Tentang Kalkulator Jumlah Deret Tak Hingga

Jenis Deret yang Didukung

Rumus Utama

Cara Menggunakan Kalkulator Jumlah Deret Tak Hingga

Memahami Konvergensi

Hasil Terkenal dalam Penjumlahan Deret

Pertanyaan yang Sering Diajukan (FAQ)

Alat unggulan: