Máy tính Định luật thứ ba của Kepler

Máy tính Định luật thứ ba của Kepler giúp tìm ra chu kỳ quỹ đạo của bất kỳ thiên thể đang chuyển động quay nào — cho dù là một hành tinh, mặt trăng, vệ tinh nhân tạo, hay một ngôi sao đang quay quanh một lỗ đen — chỉ từ hai dữ liệu: bán trục lớn của quỹ đạo và khối lượng của vật thể trung tâm. Công cụ sử dụng công thức tổng quát của Newton từ Định luật thứ ba của Kepler để hiển thị chi tiết từng bước giải, cung cấp sơ đồ quỹ đạo chuyển động trực quan, và biểu đồ so sánh thực tế với các quỹ đạo nổi bật trong hệ Mặt Trời.

Định luật thứ ba của Kepler là gì?

Mô hình Newton hai vật cô lập: T = 2π√[a³/G(M+m)]. a là bán trục lớn quỹ đạo tương đối, không phải quỹ đạo riêng quanh khối tâm. m trống nghĩa là m=0, gần đúng khi m≪M. Hình biểu diễn chuyển động tương đối. v=2πa/T là tốc độ tròn tương đối, không phải trung bình trên elip. Không xét nhiễu loạn và tương đối tính.

Công thức Định luật thứ ba của Kepler

Dạng công thức Newton được sử dụng trong bộ máy tính này là:

Trong đó T là chu kỳ quỹ đạo, a là bán trục lớn (bán kính quỹ đạo trung bình), M là khối lượng của vật thể trung tâm, và G là hằng số hấp dẫn, \( 6.674 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2} \). Hãy lưu ý rằng khối lượng của chính vật thể đang quay và độ lệch tâm của quỹ đạo không xuất hiện trong công thức này.

Phiên bản rút gọn cho hệ Mặt Trời

Khi vật thể trung tâm là Mặt Trời, các hằng số sẽ triệt tiêu và tạo thành một mối liên hệ cực kỳ đơn giản, miễn là bạn đo chu kỳ bằng năm và khoảng cách bằng đơn vị thiên văn (AU):

Vì vậy, Trái Đất (a = 1 AU) có T = 1 năm, Sao Hỏa (a = 1.52 AU) có T ≈ 1.88 năm, và Sao Mộc (a = 5.20 AU) có T ≈ 11.86 năm. Bộ máy tính này sẽ tự động báo cáo phím tắt này bất cứ khi nào bạn đặt khối lượng trung tâm bằng 1 lần khối lượng Mặt Trời.

Chu kỳ quỹ đạo của các hành tinh

Tại sao chu kỳ quỹ đạo không phụ thuộc vào độ lệch tâm

Một trong những hệ quả đáng ngạc nhiên nhất từ Định luật thứ ba của Kepler là hai quỹ đạo có cùng bán trục lớn sẽ có cùng chu kỳ quỹ đạo, bất kể hình dạng của chúng khác nhau ra sao. Một quỹ đạo gần như tròn và một quỹ đạo hình elip hẹp dẹt dài như điếu xì-gà đều mất cùng một lượng thời gian để hoàn thành một vòng quay, miễn là bán trục lớn của chúng bằng nhau. Độ lệch tâm chỉ làm thay đổi vị trí thiên thể tăng tốc hoặc giảm tốc (Định luật thứ hai của Kepler), chứ không ảnh hưởng đến tổng thời gian quay hết một vòng.

Yếu tố nào ảnh hưởng đến chu kỳ quỹ đạo?

Cách sử dụng bộ máy tính này

1. Nhập bán trục lớn: Nhập bán trục lớn của quỹ đạo và chọn đơn vị tương ứng — AU, triệu km, km, mét hoặc bán kính Mặt Trời (R☉).
2. Nhập khối lượng trung tâm: Nhập khối lượng của thiên thể được quay quanh và chọn đơn vị tương ứng — khối lượng Mặt Trời, khối lượng Trái Đất, khối lượng Sao Mộc hoặc kilôgam.
3. Nhấp Tính toán: Công cụ sẽ áp dụng công thức \( T = 2\pi\sqrt{a^3 / G(M+m)} \) và trả về kết quả chu kỳ ngay lập tức.
4. Xem kết quả: Bạn có thể theo dõi chu kỳ được quy đổi ra tất cả đơn vị thời gian, vận tốc quỹ đạo trung bình, sơ đồ quỹ đạo chuyển động trực quan, và biểu đồ so sánh trực quan của bạn với các quỹ đạo thực tế từ ISS cho đến Sao Hải Vương.

Ví dụ thực tế: Trái Đất quanh Mặt Trời

Với bán trục lớn là 1 AU (\( 1.496 \times 10^{11} \) m) và khối lượng trung tâm là 1 lần khối lượng Mặt Trời (\( 1.989 \times 10^{30} \) kg), áp dụng công thức ta có \( T = 2\pi\sqrt{a^3/G(M+m)} \approx 3.156 \times 10^{7} \) giây, tương đương với 365.25 ngày — chính xác là một năm giống như thực tế.

Các câu hỏi thường gặp

Định luật thứ ba của Kepler là gì?

Mô hình Newton hai vật cô lập: T = 2π√[a³/G(M+m)]. a là bán trục lớn quỹ đạo tương đối, không phải quỹ đạo riêng quanh khối tâm. m trống nghĩa là m=0, gần đúng khi m≪M. Hình biểu diễn chuyển động tương đối. v=2πa/T là tốc độ tròn tương đối, không phải trung bình trên elip. Không xét nhiễu loạn và tương đối tính.

Bộ máy tính cần những dữ liệu đầu vào nào?

Chỉ cần hai thông số: bán trục lớn của quỹ đạo và khối lượng của vật thể trung tâm mà nó quay quanh. Chu kỳ quỹ đạo không phụ thuộc vào khối lượng của vật thể quay hay độ lệch tâm của quỹ đạo, vì vậy các thông số đó là không bắt buộc.

Tại sao chu kỳ quỹ đạo lại không phụ thuộc vào độ lệch tâm?

Định luật thứ ba của Kepler sử dụng bán trục lớn, tức là giá trị trung bình của khoảng cách quỹ đạo gần nhất và xa nhất. Hai quỹ đạo có cùng bán trục lớn sẽ có chu kỳ hoàn toàn giống nhau ngay cả khi một quỹ đạo gần như là hình tròn hoàn hảo và quỹ đạo còn lại là một hình elip dẹt dài. Độ lệch tâm chỉ làm thay đổi hình dạng và vận tốc tại các thời điểm khác nhau trên quỹ đạo, chứ không làm thay đổi tổng thời gian hoàn thành một vòng quay.

Tôi có thể sử dụng những đơn vị nào?

Đối với bán trục lớn, bạn có thể sử dụng đơn vị thiên văn (AU), triệu km, km, mét hoặc bán kính Mặt Trời. Đối với khối lượng trung tâm, bạn có thể sử dụng khối lượng Mặt Trời, khối lượng Trái Đất, khối lượng Sao Mộc hoặc kilôgam. Bộ máy tính sẽ tự động chuyển đổi tất cả sang đơn vị SI và trả về chu kỳ dưới dạng giây, phút, giờ, ngày và năm.

Phiên bản rút gọn cho hệ Mặt Trời là gì?

M+m ≈ 1 M☉: T(yr) ≈ a(AU)^(3/2). Mô hình Newton hai vật cô lập: T = 2π√[a³/G(M+m)]. a là bán trục lớn quỹ đạo tương đối, không phải quỹ đạo riêng quanh khối tâm. m trống nghĩa là m=0, gần đúng khi m≪M. Hình biểu diễn chuyển động tương đối. v=2πa/T là tốc độ tròn tương đối, không phải trung bình trên elip. Không xét nhiễu loạn và tương đối tính.

Tôi có thể dùng công cụ này cho các vệ tinh nhân tạo và mặt trăng không?

Được chứ. Hãy thiết lập khối lượng trung tâm là Trái Đất (or một hành tinh khác) và nhập bán kính quỹ đạo làm bán trục lớn. Đối với quỹ đạo Trái Đất tầm thấp (LEO) khoảng 6.791 km, bộ máy tính sẽ trả về chu kỳ khoảng 93 phút, khớp chính xác với chu kỳ quỹ đạo thực tế của Trạm vũ trụ quốc tế ISS.

Tài nguyên bổ sung

• Các định luật Kepler về chuyển động thiên thể - Wikipedia
• Chu kỳ quỹ đạo - Wikipedia