开普勒第三定律计算器

开普勒第三定律计算器只需两个数字，即可找出任何轨道运行天体（如行星、卫星、人造卫星或绕黑洞运行的恒星）的轨道周期：轨道的半长轴和中心天体的质量。它使用牛顿推广后的开普勒第三定律形式，并显示每个计算步骤、动画轨道图以及与真实太阳系轨道的对比。

什么是开普勒第三定律？

1619 年，约翰内斯·开普勒发现行星轨道周期的平方与其距太阳的轨道距离的立方成正比。艾萨克·牛顿后来根据他的万有引力定律推导出了这一定律，使其变得精确且具有普适性，并用中心天体的质量取代了比例关系。这一定律适用于宇宙中任何处于引力束缚轨道上的物体。

开普勒第三定律公式

本计算器使用的牛顿形式为：

其中 T 是轨道周期，a 是半长轴（平均轨道半径），M 是中心天体的质量，G 是万有引力常数，\( 6.674 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2} \)。请注意，轨道天体自身的质量和轨道的偏心率并不会出现在公式中。

简化的太阳系版本

当中心天体为太阳时，如果你以年为单位测量周期，以天文单位（AU）为单位测量距离，这些常数就会塌缩成一个极其简单的关系：

因此地球（a = 1 AU）的 T = 1 年，火星（a = 1.52 AU）的 T ≈ 1.88 年，木星（a = 5.20 AU）的 T ≈ 11.86 年。每当你将中心质量设置为一个太阳质量时，本计算器都会自动报告此快捷公式。

行星的轨道周期

为什么周期会忽略偏心率

开普勒第三定律最令人惊讶的推论之一是，两个具有相同半长轴的轨道具有相同的周期，无论它们的形状有多大差异。只要两者的半长轴一致，一个近乎圆形的轨道和一个细长如雪茄的椭圆轨道完成一圈所需的时间完全相同。偏心率只改变天体在何处加速和减速（开普勒第二定律），而不改变总的轨道运行时间。

哪些因素会影响轨道周期？

如何使用此计算器

1. 输入半长轴： 输入轨道的半长轴并选择单位 — AU、百万公里、公里、米或太阳半径。
2. 输入中心天体质量： 输入被绕转天体的质量并选择单位 — 太阳质量、地球质量、木星质量或千克。
3. 点击计算： 工具将应用 \( T = 2\pi\sqrt{a^3 / GM} \) 并立即返回周期结果。
4. 查看结果： 查看每个单位下的周期、平均轨道速度、动画轨道图，以及您的轨道与从国际空间站到海王星的真实轨道的对比。

计算示例：地球绕太阳运行

半长轴为 1 AU (\( 1.496 \times 10^{11} \) m)，中心天体质量为一个太阳质量 (\( 1.989 \times 10^{30} \) kg)，公式得出 \( T = 2\pi\sqrt{a^3/GM} \approx 3.156 \times 10^{7} \) 秒，即 365.25 天 — 正好是一年，与预期完全相符。

常见问题解答

什么是开普勒第三定律？

开普勒第三定律指出，天体轨道周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比。牛顿将其推广为 T = 2π√(a³ / GM)，其中 a 是半长轴，M 是中心天体的质量，G 是万有引力常数。这让你可以计算任何行星、卫星、人造卫星或恒星的周期。

该计算器需要哪些输入？

只需要两个：轨道的半长轴和它所绕转的中心天体的质量。周期并不取决于轨道天体自身的质量或轨道的偏心率，因此不需要这些内容。

为什么周期不取决于偏心率？

开普勒第三定律使用的是半长轴，它是最近和最远轨道距离的平均值。两个具有相同半长轴的轨道具有完全相同的周期，即使一个是近圆形，而另一个是细长的椭圆形。偏心率会改变形状和在不同位置的速度，但不会改变一个轨道的总时间。

我可以使用哪些单位？

对于半长轴，你可以使用天文单位（AU）、百万公里、公里、米或太阳半径。对于中心天体质量，你可以使用太阳质量、地球质量、木星质量或千克。计算器内部会将所有数据转换为国际单位制（SI）单位，并以秒、分钟、小时、天和年为单位报告周期。

什么是简化的太阳系版本？

当中心天体是太阳（一个太阳质量）时，开普勒第三定律简化为 T²（以年为单位）= a³（以 AU 为单位）。因此，以年为单位的周期就是以 AU 为单位的半长轴的 1.5 次方。对于地球，a = 1 AU 得到 T = 1 年；对于木星，a = 5.2 AU 得到约 11.9 年。

我可以把它用于人造卫星和卫星吗？

可以。将中心天体质量设置为地球（或其他行星），并将轨道半径作为半长轴输入。对于约 6,791 公里的近地轨道，计算器返回的周期约为 93 分钟，这与国际空间站的实际轨道周期相吻合。

其他资源

• 开普勒行星运动定律 - 维基百科
• 轨道周期 - 维基百科