เครื่องคำนวณกฎข้อที่สามของเคปเลอร์

เครื่องคำนวณกฎข้อที่สามของเคปเลอร์ ใช้สำหรับหา คาบการโคจร ของวัตถุใดๆ ที่กำลังโคจร ไม่ว่าจะเป็นดาวเคราะห์ ดวงจันทร์ ดาวเทียมจินตภาพ หรือดาวฤกษ์ที่โคจรรอบหลุมดำ โดยใช้ข้อมูลเพียงสองค่า คือ กึ่งแกนเอก ของวงโคจรและ มวลของวัตถุศูนย์กลาง เครื่องคำนวณนี้ใช้กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ในรูปทั่วไปของนิวตัน พร้อมทั้งแสดงขั้นตอนการคำนวณในแต่ละสเต็ป แผนภาพวงโคจรแบบเคลื่อนไหว และการเปรียบเทียบกับวงโคจรจริงในระบบสุริยะ

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์คืออะไร?

ในปี ค.ศ. 1619 โยฮันเนส เคปเลอร์ (Johannes Kepler) ได้ค้นพบว่า กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์จะแปรผันตรงกับกำลังสามของระยะห่างของวงโคจร จากดวงอาทิตย์ ต่อมา ไอแซก นิวตัน (Isaac Newton) ได้พิสูจน์กฎนี้จากกฎความโน้มถ่วงสากลของเขาและทำให้มันมีความแม่นยำและเป็นสากลมากขึ้น โดยแทนที่ความสัมพันธ์เชิงแปรผันตรงด้วยมวลของวัตถุศูนย์กลาง ผลลัพธ์นี้สามารถใช้ได้กับวัตถุใดๆ ก็ตามที่อยู่ในวงโคจรภายใต้แรงโน้มถ่วง ไม่ว่าจะอยู่ที่ใดในจักรวาล

สูตรกฎข้อที่สามของเคปเลอร์

รูปแบบของนิวตันที่เครื่องคำนวณนี้ใช้คือ:

โดยที่ T คือ คาบการโคจร, a คือ กึ่งแกนเอก (รัศมีวงโคจรเฉลี่ย), M คือ มวลของวัตถุศูนย์กลาง และ G คือ ค่าคงที่โน้มถ่วงสากล ซึ่งมีค่าเท่ากับ \( 6.674 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2} \) โปรดสังเกตว่ามวลของวัตถุที่กำลังโคจรและความรีของวงโคจรจะไม่ได้ปรากฏอยู่ในสูตรนี้

เวอร์ชันระบบสุริยะแบบย่อ

เมื่อวัตถุศูนย์กลางคือดวงอาทิตย์ ค่าคงที่ต่างๆ จะรวมกันกลายเป็นความสัมพันธ์ที่เรียบง่ายและสวยงาม หากคุณวัดคาบการโคจรเป็นปี และระยะทางเป็นหน่วยดาราศาสตร์ (AU):

ดังนั้น โลก (a = 1 AU) จะมี T = 1 ปี, ดาวอังคาร (a = 1.52 AU) จะมี T ≈ 1.88 ปี และดาวพฤหัสบดี (a = 5.20 AU) จะมี T ≈ 11.86 ปี เครื่องคำนวณนี้จะรายงานผลลัพธ์จากทางลัดนี้โดยอัตโนมัติทุกครั้งที่คุณตั้งค่ามวลศูนย์กลางให้เป็นหนึ่งมวลดวงอาทิตย์

คาบการโคจรของดาวเคราะห์

ทำไมคาบการโคจรถึงไม่สนใจความรี

หนึ่งในผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจที่สุดของกฎข้อที่สามของเคปเลอร์คือ วงโคจรสองวงที่มีกึ่งแกนเอกเท่ากันจะมีคาบการโคจรเท่ากัน ไม่ว่ารูปร่างของมันจะแตกต่างกันเพียงใดก็ตาม วงโคจรที่เกือบเป็นวงกลมและวงรีที่ยาว แคบ และมีรูปร่างเหมือนซิการ์ จะใช้เวลาเท่ากันเป๊ะในการโคจรครบรอบหนึ่งรอบ ตราบใดที่กึ่งแกนเอกของพวกมันยาวเท่ากัน ความรีจะเปลี่ยนเพียงแค่จุดที่วัตถุเคลื่อนที่เร็วขึ้นหรือช้าลง (กฎข้อที่สองของเคปเลอร์) แต่จะไม่ส่งผลต่อเวลารวมในการโคจร

สิ่งที่มีผลต่อคาบการโคจรคืออะไรบ้าง?

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

1. ป้อนค่ากึ่งแกนเอก: พิมพ์ค่ากึ่งแกนเอกของวงโคจรและเลือกหน่วย เช่น AU, ล้านกิโลเมตร, กิโลเมตร, เมตร หรือรัศมีดวงอาทิตย์
2. ป้อนค่ามวลศูนย์กลาง: พิมพ์ค่ามวลของวัตถุที่กำลังถูกโคจรรอบและเลือกหน่วย เช่น มวลดวงอาทิตย์, มวลโลก, มวลดาวพฤหัสบดี หรือกิโลกรัม
3. คลิก คำนวณ: เครื่องมือจะใช้สูตร \( T = 2\pi\sqrt{a^3 / GM} \) และคืนค่าคาบการโคจรกลับมาทันที
4. ตรวจสอบผลลัพธ์: ดูคาบการโคจรในทุกหน่วยวัด ความเร็ววงโคจรเฉลี่ย ภาพเคลื่อนไหวของวงโคจร และเปรียบเทียบวงโคจรของคุณกับวงโคจรจริงตั้งแต่สถานีอวกาศนานาชาติ (ISS) ไปจนถึงดาวเนปจูน

ตัวอย่างการคำนวณ: โลกรอบดวงอาทิตย์

เมื่อกำหนดให้กึ่งแกนเอกเท่ากับ 1 AU (\( 1.496 \times 10^{11} \) เมตร) และมวลศูนย์กลางเป็นหนึ่งมวลดวงอาทิตย์ (\( 1.989 \times 10^{30} \) กิโลกรัม) จากสูตรจะได้ผลลัพธ์เป็น \( T = 2\pi\sqrt{a^3/GM} \approx 3.156 \times 10^{7} \) วินาที ซึ่งเมื่อแปลงแล้วจะเท่ากับ 365.25 วัน หรือเท่ากับหนึ่งปีพอดีตามที่คาดไว้

คำถามที่พบบ่อย

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์คืออะไร?

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ระบุว่า กำลังสองของคาบการโคจรของวัตถุจะแปรผันตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร นิวตันได้ขยายกฎนี้ให้เป็นรูปทั่วไปคือ T = 2π√(a³ / GM) โดยที่ a คือกึ่งแกนเอก M คือมวลของวัตถุศูนย์กลาง และ G คือค่าคงที่โน้มถ่วงสากล สิ่งนี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณคาบการโคจรของดาวเคราะห์ ดวงจันทร์ ดาวเทียม หรือดาวฤกษ์ดวงใดก็ได้

เครื่องคำนวณนี้ต้องการข้อมูลนำเข้าอะไรบ้าง?

ต้องการเพียงสองค่าเท่านั้น ได้แก่ กึ่งแกนเอกของวงโคจรและมวลของวัตถุศูนย์กลางที่มันโคจรรอบ คาบการโคจรไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุที่กำลังโคจรหรือความรีของวงโคจร ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องใช้ค่าเหล่านั้น

ทำไมคาบการโคจรถึงไม่ขึ้นอยู่กับความรีของวงโคจร?

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ใช้กึ่งแกนเอก ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของระยะวงโคจรที่ใกล้ที่สุดและไกลที่สุด วงโคจรสองวงที่มีกึ่งแกนเอกเท่ากันจะมีคาบการโคจรเท่ากันทุกประการ แม้ว่าวงหนึ่งจะเกือบเป็นวงกลมและอีกวงหนึ่งจะเป็นรูปวงรีที่ยาวและแคบก็ตาม ความรีจะเปลี่ยนรูปร่างและความเร็วในจุดต่างๆ แต่จะไม่เปลี่ยนเวลารวมที่ใช้ในการโคจรครบรอบ

ฉันสามารถใช้หน่วยอะไรได้บ้าง?

สำหรับกึ่งแกนเอก คุณสามารถใช้หน่วยดาราศาสตร์ (AU), ล้านกิโลเมตร, กิโลเมตร, เมตร หรือรัศมีดวงอาทิตย์ สำหรับมวลศูนย์กลาง คุณสามารถใช้มวลดวงอาทิตย์, มวลโลก, มวลดาวพฤหัสบดี หรือกิโลกรัม เครื่องคำนวณจะแปลงทุกอย่างเป็นหน่วย SI ภายในระบบ และรายงานผลคาบการโคจรในหน่วยวินาที นาที ชั่วโมง วัน และปี

เวอร์ชันระบบสุริยะแบบย่อคืออะไร?

เมื่อวัตถุศูนย์กลางคือดวงอาทิตย์ (หนึ่งมวลดวงอาทิตย์) กฎข้อที่สามของเคปเลอร์จะลดรูปเหลือ T² (ในหน่วยปี) = a³ (ในหน่วย AU) ดังนั้นคาบการโคจรในหน่วยปีคือ กึ่งแกนเอกในหน่วย AU ยกกำลัง 1.5 สำหรับโลก a = 1 AU จะได้ T = 1 ปี สำหรับดาวพฤหัสบดี a = 5.2 AU จะได้ประมาณ 11.9 ปี

สามารถใช้กับดาวเทียมจินตภาพและดวงจันทร์ได้ไหม?

ได้ ให้ตั้งค่ามวลศูนย์กลางเป็นโลก (หรือดาวเคราะห์ดวงอื่น) แล้วป้อนรัศมีวงโคจรเป็นกึ่งแกนเอก สำหรับวงโคจรต่ำของโลกใกล้ 6,791 กม. เครื่องคำนวณจะให้ผลลัพธ์คาบการโคจรประมาณ 93 นาที ซึ่งตรงกับคาบการโคจรจริงของสถานีอวกาศนานาชาติ (ISS)

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

• Kepler's Laws of Planetary Motion - Wikipedia
• Orbital Period - Wikipedia