Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Trang chủ > Toán học > Đại số Tuyến tính > Máy tính Giá trị riêng và Vectơ riêng
 

Máy tính Giá trị riêng và Vectơ riêng

Tính toán giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận 2x2 và 3x3 với lời giải chi tiết từng bước, tìm đa thức đặc trưng, trực quan hóa tương tác và phân tích tính chất ma trận.

Máy tính Giá trị riêng và Vectơ riêng
Thử ma trận ví dụ
Đối xứng 2×2 Đơn giản 2×2 Phép quay Ví dụ 3×3 Ma trận chéo 3×3
Kích thước ma trận:
[
a₁₁
a₁₂
a₁₃
a₂₁
a₂₂
a₂₃
a₃₁
a₃₂
a₃₃
]

Embed Máy tính Giá trị riêng và Vectơ riêng Widget

Giới thiệu về Máy tính Giá trị riêng và Vectơ riêng

Chào mừng bạn đến với Máy tính giá trị riêng và vectơ riêng, một công cụ toàn diện để tính toán giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận 2×2 và 3×3. Máy tính này cung cấp lời giải chi tiết từng bước, tìm đa thức đặc trưng, phân tích tính chất ma trận và trực quan hóa hình học của phép biến đổi. Đây là công cụ lý tưởng cho sinh viên, giáo viên, kỹ sư và nhà nghiên cứu làm việc với đại số tuyến tính.

Giá trị riêng và vectơ riêng là gì?

Trong đại số tuyến tính, giá trị riêng và vectơ riêng là các đặc tính cơ bản của ma trận vuông, cho biết cách ma trận đó biến đổi các vectơ. Một vectơ riêng là một vectơ khác không mà khi ma trận tác động lên nó, nó chỉ thay đổi về độ lớn (co giãn) chứ không thay đổi hướng. Hệ số co giãn chính là giá trị riêng tương ứng.

Phương trình giá trị riêng - vectơ riêng
$$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$$

Trong đó:

Về mặt hình học, các vectơ riêng chỉ các hướng không đổi (chỉ bị co giãn) dưới phép biến đổi tuyến tính được đại diện bởi ma trận. Điều này làm cho chúng cực kỳ hữu ích trong việc hiểu hành vi của các hệ thống phức tạp.

Cách tính giá trị riêng

Việc tìm các giá trị riêng bao gồm việc giải phương trình đặc trưng:

Phương trình đặc trưng
$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Quy trình từng bước:

  1. Lập ma trận (A - λI): Lấy A trừ đi λ lần ma trận đơn vị
  2. Tính định thức: Tìm det(A - λI), kết quả sẽ cho một đa thức đặc trưng
  3. Giải đa thức: Đặt định thức bằng không và giải tìm λ
  4. Các nghiệm là giá trị riêng: Mỗi nghiệm của đa thức đặc trưng là một giá trị riêng

Ví dụ: Ma trận 2×2

Đối với ma trận 2×2, đa thức đặc trưng luôn là phương trình bậc hai:

Đa thức đặc trưng 2×2
$$\lambda^2 - \text{trace}(A)\lambda + \det(A) = 0$$

Cách tính vectơ riêng

Với mỗi giá trị riêng λ, tìm vectơ riêng tương ứng bằng cách giải:

Phương trình vectơ riêng
$$(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$$

Đây là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Vectơ riêng v là bất kỳ vectơ khác không nào nằm trong không gian hạt nhân (null space) của (A - λI). Lưu ý rằng vectơ riêng không phải là duy nhất; bất kỳ bội số vô hướng nào của một vectơ riêng cũng là một vectơ riêng cho cùng giá trị riêng đó.

Cách sử dụng máy tính này

  1. Chọn kích thước ma trận: Chọn ma trận 2×2 hoặc 3×3
  2. Nhập các phần tử ma trận: Nhập các giá trị (số nguyên, số thập phân hoặc phân số như 1/2)
  3. Nhấp Tính toán: Máy tính sẽ tính toán các giá trị riêng và vectơ riêng
  4. Xem kết quả: Kiểm tra giá trị riêng, vectơ riêng, tính chất ma trận và hình ảnh trực quan
  5. Nghiên cứu các bước: Theo dõi lời giải chi tiết từng bước để hiểu rõ quy trình

Ứng dụng của giá trị riêng và vectơ riêng

Phân tích thành phần chính (PCA)

Trong khoa học dữ liệu, các vectơ riêng của ma trận hiệp phương sai xác định các thành phần chính để giảm chiều dữ liệu.

Cơ học lượng tử

Các đại lượng quan sát được tương ứng với các giá trị riêng của các toán tử Hermitian; các vectơ riêng đại diện cho các trạng thái lượng tử.

Phân tích rung động

Tần số tự nhiên của các hệ thống cơ học là các giá trị riêng; các dạng dao động là các vectơ riêng.

Google PageRank

Thuật toán PageRank sử dụng vectơ riêng trội của ma trận liên kết web để xếp hạng các trang web.

Phương trình vi phân

Các hệ phương trình vi phân tuyến tính được giải bằng cách sử dụng giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận hệ số.

Nén hình ảnh

Eigenfaces và phân tích giá trị suy biến (SVD) sử dụng các vectơ riêng để biểu diễn hình ảnh một cách hiệu quả.

Các tính chất quan trọng của giá trị riêng

Tính xác định của ma trận

Đối với ma trận đối xứng, các giá trị riêng quyết định tính xác định:

Câu hỏi thường gặp

Giá trị riêng và vectơ riêng là gì?

Giá trị riêng và vectơ riêng là các khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính. Đối với một ma trận vuông A, một vectơ riêng v là một vectơ khác không mà khi nhân với A sẽ cho kết quả là một bội số vô hướng của chính nó: Av = λv. Số vô hướng λ được gọi là giá trị riêng. Về mặt hình học, các vectơ riêng chỉ các hướng không thay đổi (chỉ bị co giãn) dưới phép biến đổi tuyến tính được biểu diễn bởi ma trận.

Làm thế nào để tìm giá trị riêng?

Để tìm giá trị riêng: 1) Lập ma trận (A - λI) trong đó I là ma trận đơn vị. 2) Thiết lập định thức det(A - λI) = 0 để có đa thức đặc trưng. 3) Giải phương trình đa thức này để tìm λ. Các nghiệm tìm được chính là các giá trị riêng của ma trận A.

Làm thế nào để tìm vectơ riêng?

Với mỗi giá trị riêng λ, tìm vectơ riêng bằng cách giải hệ phương trình thuần nhất (A - λI)v = 0. Điều này có nghĩa là tìm các vectơ trong không gian hạt nhân (null space) của (A - λI). Lời giải cho ta hướng của vectơ riêng; bất kỳ bội số vô hướng khác không nào cũng là một vectơ riêng cho cùng một giá trị riêng đó.

Đa thức đặc trưng là gì?

Đa thức đặc trưng của một ma trận A là det(A - λI), trong đó λ là biến số và I là ma trận đơn vị. Đối với ma trận 2×2, nó là một đa thức bậc hai; đối với ma trận 3×3, nó là một đa thức bậc ba. Các nghiệm của đa thức này là các giá trị riêng của A.

Giá trị riêng được sử dụng để làm gì?

Giá trị riêng và vectơ riêng có vô số ứng dụng: giải hệ phương trình vi phân, Phân tích thành phần chính (PCA) trong khoa học dữ liệu, thuật toán PageRank của Google, cơ học lượng tử (các quan sát và trạng thái), phân tích rung động trong kỹ thuật, phân tích độ ổn định của các hệ động lực và nén ảnh.

Giá trị riêng có thể là số phức không?

Có, giá trị riêng có thể là số phức, đặc biệt là đối với các ma trận không đối xứng. Tuy nhiên, các ma trận đối xứng luôn có giá trị riêng thực. Các giá trị riêng phức luôn xuất hiện theo từng cặp liên hợp đối với các ma trận có các phần tử thực. Giá trị riêng phức thường biểu thị các thành phần quay trong phép biến đổi.

Tài liệu tham khảo bổ sung

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính Giá trị riêng và Vectơ riêng" tại https://MiniWebtool.com/vi/máy-tính-giá-trị-riêng-và-vectơ-riêng/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 22 tháng 1, 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Các công cụ liên quan khác:

Máy Tính Định Thức
Máy tính phân số
Máy tính Gram-SchmidtMới
Máy tính Phân phối Dừng Chuỗi MarkovMới
Máy Tính Ma Trận
Máy tính Phân tích LU Ma trậnMới
Máy tính căn bậc của đa thức với các bước chi tiết
Máy tính xác suấtNổi bật
Máy tính Tỷ lệ
Máy tính Vector

Đại số Tuyến tính:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoCông cụ đổi Pound sang KilogramCông cụ Mã hóa CaesarCông cụ chuyển đổi kg sang lbsMáy tính giảm giá phần trămTrình Tạo Mã MorseMáy tính thương và số dưCông cụ chuyển đổi chữ số La MãĐảo ngược văn bảnTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânMáy tính phân số tối giảnCông cụ đếm hàngMáy tính thập phân sang phân sốTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênCon số may mắn của tôi là gì?Trình tạo tên ngẫu nhiênXóa dấu cáchMáy tính xác suất xúc xắcCông cụ chia ảnhBộ chuyển đổi FPSMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốBộ chuyển đổi Feet và Inch sang Cmmáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-caoTrình Tạo Màu Ngẫu NhiênBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânMáy phát động vật ngẫu nhiênMáy tính căn bậc haiTrình tạo mê cungTrình tạo số xổ sốSắp xếp sốMáy tính HEXCông cụ chuyển đổi kPa sang psiCông cụ tạo Sự thật hay Thách đốMáy tính So sánh Phân sốMáy tính thời gianTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênMáy tính xác suấtCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchMáy tính giai thừaMáy tính nhị phânMáy tính Cạnh huyềnBộ lặp MP3Máy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămTrình tạo đồ vật ngẫu nhiênTung đồng xuBộ giải mã Base64Công cụ chuyển đổi inch sang centimetMáy tính Ước số chung lớn nhấtBộ Giải Mã Mã MorseSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiTrình tạo Hash MD5Bộ chuyển đổi hex sang thập phânBộ Chuyển Đổi Nhị PhânTrình tạo bài tây ngẫu nhiên📅 Máy tính ngàyMáy tính hoán vịTrình chuyển đổi SRT sang TXTBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexChọn tên ngẫu nhiênMáy tính tương hợp tình yêuTrình trích xuất âm thanhTrình tạo oẳn tù tìTrình tạo PIN ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânDanh sách các số nguyên tốTrình tạo anagramCông cụ chuyển đổi centimet sang inchBộ chuyển đổi HEXCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânGhép Videochuyển đổi từ sang số điện thoạiCông cụ chuyển đổi bát phân sang thập phânMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Máy Tính Giờ Làm ViệcMáy tính Kiểm tra Chia hếtMáy tính độ lệch chuẩn - Độ chính xác caoTrình nén VideoBộ chọn màu hình ảnhBộ chọn số ngẫu nhiênMáy tính ModuloMáy tính số thiên thầnBộ chuyển đổi hệ cơ sốMáy tính LogaritMáy tính rượu tiệc cướiĐây có phải là Số Nguyên Tố?AI Trình thêm dấu câuBộ Chuyển Đổi Mã Nhị Phân Sang Mã XámBộ nén hình ảnhDanh sách năm nhuậnMáy tính BitwiseMáy tính Log Base 10Điều chỉnh tốc độ videoBộ Chuyển Đổi Thời Gian Sang Thập PhânCông cụ cắt ảnhMáy tính One Rep Max (1RM)Máy tính Bội số chung nhỏ nhất (BCNN)Trình tạo tần số âm thanh ngẫu nhiênTrình tạo hợp âm ngẫu nhiênTrình tạo loadout ngẫu nhiênTrình tạo bài Poker ngẫu nhiênTrình tạo khai cuộc cờ vua ngẫu nhiênTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiênMáy tính Phân tích Giá trị Kỳ dị (SVD)Máy tính Hệ số GiniMáy tính Phân phối Dừng Chuỗi MarkovMáy tính Nguyên lý Chuồng bồ câuMáy tính số StirlingMáy tính Hoán vị lệch (Giai thừa phụ)Trình tạo Số CatalanTrình xác thực dãy bậc đồ thịMáy tính Cây khung nhỏ nhấtMáy tính Đường đi Ngắn nhất DijkstraTrình tạo Ma phươngMáy tính Số Hạnh phúcMáy tính Phỏng đoán CollatzMáy tính Độ congMáy tính Bán kính Hội tụMáy tính Phân tích LU Ma trậnMáy tính Phép chiếu VectorMáy tính Gram-SchmidtMáy tính Phương trình Hình cầuMáy tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳngMáy tính Trực tâm Tam giácMáy tính Trọng tâm Tam giácMáy tính Công thức Dây giàyMáy tính Phân số liên tụcMáy tính Nghịch đảo Nhân theo Mô-đunMáy tính Thuật toán Euclid Mở rộngMáy tính Hàm Phi EulerMáy tính Định lý Số dư Trung QuốcCông cụ tạo Biểu đồ Venn (3 Tập hợp)Máy tính lý thuyết tập hợpCông cụ tạo bảng chân trịCông cụ chuyển đổi cân nặng người sang kiếnMáy tính Calo cho MèoMáy tính tiết kiệm bóng đènMáy tính Chi phí TắmMáy tính chi phí điện đào BitcoinMáy tính Giá trị Giấy vệ sinhTra cứu ID người dùng InstagramMáy tính Quãng đường Bàn phímTrình tạo Bingo từ thông dụngMáy tính Xác suất Ngày nghỉ ốmMáy tính lương thực tế theo giờMáy tính Cà phê vs. Giấc ngủMáy tính thời gian trả lời emailMáy tính FIRE - Tự do Tài chính, Nghỉ hưu sớmMáy tính thời gian lãng phí đi làmBộ đếm Chi phí Cuộc họpMáy tính lương trong nhà vệ sinhTrình tạo KakuroTrình tạo KenKen (Calcudoku)trình-tạo-nonogram-picrossGiải và luyện trò chơi 24Tạo và giải SudokuMáy tính khay phô maiMáy tính đài phun sô cô laMáy tính ABV CocktailMáy tính khẩu phần mì SpaghettiMáy tính thời gian làm lạnh biaMáy tính Taco BarMáy tính BBQMáy tính quá liều CaffeineCông cụ lập kế hoạch tiệc pizzaMáy tính Nhà gạch LegoMáy tính Lấp đầy Phòng Bỏng ngôMáy tính va chạm đồng xu rơiMáy tính rơi xuyên Trái đấtMáy tính bức xạ chuốiMáy tính năng lượng Chuột HamsterMáy tính Tỷ lệ Lỗi Dịch chuyển Tức thờiMáy tính nấu gà bằng năng lượng động năngMáy tính lực nâng bóng bay HeliMáy tính Thời gian Sống sót ZombieTrình Kiểm Tra Kích Thước Thu Thập GooglebotMáy tính tỷ lệ bãi đỗ xeMáy tính Cây thông NoelMáy Tính Ngày Tận Thế Ma Cà RồngMáy tính giá trị PizzaMáy tính Quầy nước chanhTrình tạo tiểu bang Mỹ ngẫu nhiênTrình tạo lý do ngẫu nhiênTrình tạo hoạt động ngẫu nhiênTrình tạo công thức cocktail ngẫu nhiênCông cụ chọn phim ngẫu nhiênTrình tạo tên miền ngẫu nhiênTrình tạo siêu năng lực ngẫu nhiênTrình tạo Haiku ngẫu nhiênTrình tạo lời nhắc viết ngẫu nhiênTrình tạo IMEI Ngẫu nhiênTrình tạo chân dung người dùng ngẫu nhiênTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênTrình tạo số cổng ngẫu nhiênTrình tạo NanoID ngẫu nhiênMáy tính tuổi thọ pinMáy tính độ rộng đường mạch PCBMáy tính sụt ápMáy tính định luật OhmMáy tính mã màu điện trởTrình tạo chuyển hướng HtaccessCông cụ tối ưu SVGCông cụ tạo faviconCông cụ tạo biểu thức CrontabTrình định dạng SQLCông cụ chuyển đổi cURL sang JSONBộ giải mã JWTCông cụ chuyển đổi JSON sang YAMLMáy tính Chuyển đổi MenCông cụ chuyển đổi kích thước khuôn bánhMáy tính độ ẩm bột nhàomáy-tính-tỷ-lệ-bánh-mìMáy tính kích thước thêu chữ thậpMáy tính vảiMáy tính sợi lenMáy tính nước muối và độ mặnMáy tính tỷ lệ pha cà phêMáy tính ABV bia thủ côngMáy tính sáp và tinh dầu thơm nếnMáy tính xút làm xà phòng (SAP)Máy tính kích thước in và độ phân giải (DPI/PPI)Máy tính Golden Hour và Blue HourMáy tính độ sâu trường ảnh (DoF)Máy tính khoảng cách trồng câyMáy tính Chuyển đổi Tỷ lệ Mô hìnhMáy tính vật liệu nền bể cáMáy tính thể tích và mật độ cá bểQuay vòng quayĐổ xúc xắcQuả cầu Thần kỳ 8Công cụ tạo địa chỉ IP ngẫu nhiênTrình tạo thời gian ngẫu nhiênTrình tạo ngày ngẫu nhiênCông cụ tạo tọa độ ngẫu nhiênCông cụ tạo User-Agent ngẫu nhiênTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình tạo JSON ngẫu nhiênTrình tạo quốc gia ngẫu nhiênCông cụ tạo bảng màu ngẫu nhiênCông cụ tạo Emoji ngẫu nhiênCông cụ tạo bữa ăn ngẫu nhiênTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênCông Cụ Tạo Phân Phối GaussMáy tính Giá trị PipMáy tính Lãi kép Hàng ngàyMáy tính Chiến lược MartingaleMáy tính Tiêu chí KellyMáy tính Stop Loss & Take ProfitMáy tính mở rộng Fibonaccimáy-tính-điểm-xoayMáy tính đòn bẩy tiền điện tửBộ chuyển đổi Satoshi sang Đô laMáy Tính Chênh Lệch Giá Tiền Điện TửMáy tính tổn thất tạm thờiMáy Tính Lợi Nhuận Quyền ChọnMáy Tính Biến Động Ngầm ĐịnhMáy tính Greek Quyền chọnMáy tính Định giá Quyền chọn Black-ScholesMáy tính rủi ro phá sảnMáy tính lợi nhuận bán khốngMáy tính Margin CallMáy Tính Kích Thước Vị Thếmáy tính giá trung bình cổ phiếuCông cụ xóa ký tự vô hìnhCông cụ Chuyển đổi Văn bản sang Danh sách SQLCông cụ trích xuất cột văn bảnMáy tính sự khác biệt danh sáchCông cụ tạo văn bản ZalgoCông cụ tạo nghệ thuật ASCIICông cụ tạo văn bản vô hình