Máy tính đạo hàm riêng

Giới thiệu về Máy tính đạo hàm riêng

Chào mừng bạn đến với Máy tính đạo hàm riêng của chúng tôi, một công cụ toàn diện để tính đạo hàm riêng của các hàm nhiều biến với lời giải chi tiết từng bước. Cho dù bạn là sinh viên giải tích đang học về đạo hàm nhiều biến, một kỹ sư đang giải các bài toán tối ưu hóa hay một nhà khoa học làm việc với các phương trình tốc độ thay đổi, máy tính này đều cung cấp kết quả chính xác với các giải thích toán học đầy đủ.

Đạo hàm riêng là gì?

Đạo hàm riêng đo lường mức độ thay đổi của một hàm nhiều biến khi một trong các biến đầu vào của nó thay đổi trong khi tất cả các biến khác được giữ không đổi. Không giống như đạo hàm thông thường áp dụng cho hàm một biến, đạo hàm riêng là nền tảng của giải tích nhiều biến và xuất hiện trong toàn bộ các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, kinh tế và học máy.

Định nghĩa toán học

Đối với hàm \( f(x, y) \) của hai biến, đạo hàm riêng theo \( x \) được định nghĩa là:

Khi tính \( \frac{\partial f}{\partial x} \), chúng ta coi \( y \) là hằng số và chỉ đạo hàm theo biến \( x \). Tương tự, \( \frac{\partial f}{\partial y} \) coi \( x \) là hằng số.

Các khái niệm chính

Cách sử dụng máy tính này

1. Nhập hàm số của bạn: Nhập hàm nhiều biến bằng ký hiệu tiêu chuẩn. Ví dụ: x**2*y, sin(x*y), e**x * cos(y), x**3 + y**3 - 3*x*y.
2. Chỉ định các biến đạo hàm: Nhập biến cần đạo hàm theo:
   • x — đạo hàm bậc nhất theo x
   • x:2 — đạo hàm bậc hai theo x
   • x,y — đạo hàm riêng hỗn hợp (trước tiên theo x, sau đó theo y)
   • x:2,y:1 — bậc hai theo x, bậc nhất theo y
3. Nhấp vào Tính toán: Máy tính sẽ tính đạo hàm riêng với lời giải chi tiết từng bước cho thấy các quy tắc đạo hàm nào đã được áp dụng.

Các hàm số và cú pháp được hỗ trợ

Các quy tắc đạo hàm được áp dụng

Máy tính này xác định và hiển thị các quy tắc đạo hàm được sử dụng ở mỗi bước:

• Quy tắc lũy thừa: \( \frac{\partial}{\partial x}(x^n) = nx^{n-1} \)
• Quy tắc tổng: \( \frac{\partial}{\partial x}(f + g) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} \)
• Quy tắc tích: \( \frac{\partial}{\partial x}(fg) = f\frac{\partial g}{\partial x} + g\frac{\partial f}{\partial x} \)
• Quy tắc thương: \( \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\frac{\partial f}{\partial x} - f\frac{\partial g}{\partial x}}{g^2} \)
• Quy tắc hàm hợp: \( \frac{\partial}{\partial x}f(g(x,y)) = f'(g) \cdot \frac{\partial g}{\partial x} \)
• Quy tắc nhân với hằng số: \( \frac{\partial}{\partial x}(cf) = c\frac{\partial f}{\partial x} \)

Ứng dụng của đạo hàm riêng

Gradient và Tối ưu hóa

Các đạo hàm riêng tạo thành vectơ gradient, điều này rất cần thiết để tìm cực đại, cực tiểu và điểm yên ngựa của các hàm nhiều biến. Đặt tất cả các đạo hàm riêng bằng không để xác định các điểm tới hạn.

Vật lý và Kỹ thuật

Đạo hàm riêng mô tả cách các đại lượng vật lý thay đổi: gradient nhiệt độ, điện thế, động lực học chất lưu và phương trình sóng đều dựa trên đạo hàm riêng.

Học máy (Machine Learning)

Các thuật toán giảm gradient sử dụng đạo hàm riêng để cực tiểu hóa các hàm mất mát. Mỗi trọng số trong mạng thần kinh được cập nhật bằng cách sử dụng đạo hàm riêng của hàm mất mát theo trọng số đó.

Kinh tế học

Phân tích biên sử dụng đạo hàm riêng để đo lường sự thay đổi của đầu ra so với một đầu vào (lao động, vốn) trong khi các yếu tố khác được giữ cố định.

Các câu hỏi thường gặp

Đạo hàm riêng là gì?

Đạo hàm riêng đo lường mức độ thay đổi của một hàm nhiều biến khi một biến thay đổi trong khi tất cả các biến khác được giữ không đổi. Đối với hàm f(x,y), đạo hàm riêng theo x, được viết là df/dx, coi y là một hằng số và chỉ đạo hàm theo biến x.

Làm thế nào để tính đạo hàm riêng bậc hai?

Để tính đạo hàm riêng bậc hai, bạn đạo hàm hai lần. Bạn có thể đạo hàm hai lần theo cùng một biến (như d2f/dx2), hoặc theo các biến khác nhau (đạo hàm riêng hỗn hợp như d2f/dxdy). Nhập định dạng như 'x:2' cho đạo hàm bậc hai theo x, hoặc 'x,y' cho đạo hàm hỗn hợp.

Sự khác biệt giữa đạo hàm riêng và đạo hàm thông thường là gì?

Đạo hàm thông thường áp dụng cho các hàm một biến, đo lường tốc độ thay đổi theo biến duy nhất đó. Đạo hàm riêng áp dụng cho các hàm nhiều biến và đo lường tốc độ thay đổi theo một biến trong khi coi tất cả các biến khác là hằng số.

Đạo hàm riêng hỗn hợp là gì?

Đạo hàm riêng hỗn hợp liên quan đến việc đạo hàm theo các biến khác nhau một cách liên tiếp. Ví dụ, d2f/dxdy có nghĩa là trước tiên đạo hàm f theo y, sau đó đạo hàm kết quả theo x. Theo định lý Clairaut, đối với hầu hết các hàm số d2f/dxdy = d2f/dydx.

Làm cách nào để nhập các hàm số vào máy tính?

Sử dụng ký hiệu toán học tiêu chuẩn: x**2 hoặc x^2 cho lũy thừa, sin(x), cos(x), tan(x) cho các hàm lượng giác, exp(x) hoặc e**x cho hàm mũ, log(x) hoặc ln(x) cho lôgarit tự nhiên, sqrt(x) cho căn bậc hai. Phép nhân có thể là ẩn (xy) hoặc hiện (x*y).

Tài nguyên bổ sung

• Đạo hàm riêng - Wikipedia
• Giới thiệu về đạo hàm riêng - Khan Academy

Các công cụ liên quan khác:

Giải tích:

• Máy tính toán chập
• Máy tính Đạo hàm
• Máy tính đạo hàm theo hướng
• Máy tính tích phân kép
• Máy tính đạo hàm ẩn
• Máy tính Tích phân
• Máy tính biến đổi Laplace ngược
• Máy tính biến đổi Laplace
• Máy tính giới hạn
• Máy tính đạo hàm riêng
• Máy tính Đạo hàm Biến số đơn
• Máy tính chuỗi Taylor
• Máy tính tích phân ba lớp
• Máy tính Bán kính Hội tụ Mới
• Máy tính Độ cong Mới