二重積分電卓

詳細なステップごとの解説と3D曲面可視化を備えた二重積分計算機。多項式、三角関数、指数関数、双曲線関数の定積分および不定積分をサポートしています。

二重積分電卓

∬

クイックサンプル

積分する関数

標準的な記法で f(x,y) を入力してください

f(x, y) =

サポート: sin, cos, tan, exp, ln, sinh, cosh, ^, *, +, -, /

積分変数

積分の順序を定義します

第1変数（内側）

最初に積分されます（内側積分）

第2変数（外側）

次に積分されます（外側積分）

積分境界

不定積分の場合は空白のままにします

第1変数の境界

下限

上限

第2変数の境界

下限

上限

数値、pi、e、または pi/2, 2*pi のような式を使用できます

Embed 二重積分電卓 Widget

二重積分電卓

二重積分電卓へようこそ。この電卓は、包括的なステップバイステップの解答と3D可視化を備えた、二重積分を評価するための強力な計算ツールです。多変数微積分を学習中の方、物理の問題を解いている方、あるいは工学の応用に取り組んでいる方を問わず、この電卓は積分のプロセスを詳細に分解し、作業の理解と検証を支援します。

二重積分とは何ですか？

二重積分は、1変数積分の概念を2変数関数に拡張したものです。単一の積分が曲線の下の面積を計算するのに対し、二重積分はxy平面上の領域 R における曲面 f(x,y) の下の体積を計算します。二重積分は多変数微積分の基礎であり、物理学、工学、確率論、経済学において幅広い応用があります。

二重積分の表記

$$\iint_R f(x,y) \, dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx$$

二重積分は逐次積分を通じて評価されます。まず一方の変数を定数として扱い、もう一方の変数（内側積分）で積分し、次にその結果を第2の変数（外側積分）で積分します。

二重積分の種類

定二重積分

定二重積分は両方の変数に指定された境界があり、数値を生成します。これは、領域 [a,b] × [c,d] 上の曲面 z = f(x,y) と xy 平面の間の符号付き体積を表します：

定二重積分

$$\int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx = V$$

不定二重積分

不定二重積分は指定された境界がなく、関数（原始関数）と積分定数を生成します：

不定二重積分

$$\int \int f(x,y) \, dy \, dx = F(x,y) + C$$

この電卓の使い方

関数を入力する： 標準的な数学記法を使用して f(x,y) を入力します。サポートされている関数には、多項式、三角関数 (sin, cos, tan)、指数関数 (exp, e^x)、双曲線関数 (sinh, cosh)、および対数関数 (ln) が含まれます。
積分変数を指定する： 第1変数（最初に積分する変数）と第2変数（次に積分する変数）を入力します。一般的には x と y が使用されますが、任意の1文字が使用可能です。
境界を設定する（任意）： 定積分の場合は、各変数の下限と上限を入力します。数値、pi、e、または pi/2 のような式を使用できます。不定積分の場合は空白のままにします。
計算する： ボタンをクリックして積分を計算し、完全なステップバイステップの解答を表示します。
結果を確認する： 各積分のステップを示す詳細な解答と、定積分のための3D可視化を確認します。

二重積分の応用例

体積の計算

曲面の下、曲面の間、または固体領域の体積を計算します。工学設計や3Dモデリングに不可欠です。

面積と質量

不規則な領域の面積や、2D曲面上に密度分布が変化する物体の質量を計算します。

物理学への応用

重心、慣性モーメント、電束、重力場、および変化する力によって行われる仕事を計算します。

確率論

連続確率変数における同時確率分布、期待値、および相関を評価します。

ステップバイステップの積分プロセス

この電卓は、二重積分を明確なステップに分解します：

問題の特定： 評価する積分を表示し、積分の順序を特定します。
内側積分： 第2の変数を定数として扱い、第1の変数で積分します。
内側境界の適用： 定積分の場合は、内側の限界値を代入して評価します。
外側積分： 得られた式を第2の変数で積分します。
外側境界の適用： 定積分の場合は、外側の限界値を代入して評価します。
最終結果： 計算された数値または原始関数を表示します。

サポートされている関数と記法

電卓は標準的な数学記法を認識します：

多項式： x^2, x*y, x^3 + y^2, xy (暗黙の乗算をサポート)
三角関数： sin(x), cos(y), tan(x), sec(x), csc(x), cot(x)
指数関数： exp(x), e^x, exp(x+y), exp(x*y)
双曲線関数： sinh(x), cosh(y), tanh(x)
対数関数： ln(x), log(x) (自然対数)
定数： pi (π ≈ 3.14159), e (≈ 2.71828)
演算： + - * / ^ (累乗)

積分境界

定積分の境界は、以下を使用して指定できます：

数値： 0, 1, 2, -1, 0.5
定数： pi, e
式： pi/2, pi/4, 2*pi, e/2

注意： 各変数について、下限は上限より小さくなければなりません。

よくある質問

二重積分とは何ですか？

二重積分は、積分の概念を2変数関数に拡張したものです。xy平面上の領域における曲面 f(x,y) の下の体積を計算します。表記は ∬f(x,y)dA または ∫∫f(x,y)dydx であり、まず一方の変数（内側積分）で積分し、次にもう一方の変数（外側積分）で積分します。

二重積分をステップバイステップで解くにはどうすればよいですか？

二重積分を評価するには：1) 積分の順序（dydx または dxdy）を決定します。2) もう一方の変数を定数として扱い、内側の積分を実行します。3) 内側積分の境界値を代入します。4) その結果に対して外側の積分を実行します。5) 外側積分の境界値を代入して最終的な答えを得ます。

定二重積分と不定二重積分の違いは何ですか？

定二重積分は両方の変数に指定された境界があり、曲面の下の体積を表す数値を生成します。不定二重積分は境界がなく、関数（原始関数）と積分定数を生成します。定積分は実際の体積、面積、および累積量の計算に使用されます。

積分の限界に pi や e のような式を使用できますか？

はい！この電卓は、pi (π)、e (ネイピア数)、pi/2 や pi/4 のような分数、算術式を含む境界の数学式をサポートしています。例えば、三角関数の積分では 0 から pi、標準的な単位領域では 0 から 1 などの制限を設定できます。

この電卓で積分できる関数は何ですか？

この電卓は、多項式 (x^2, x*y)、三角関数 (sin, cos, tan)、指数関数 (exp, e^x)、双曲線関数 (sinh, cosh)、対数関数 (ln, log)、およびこれらの組み合わせを含む幅広い関数をサポートしています。標準的な数学記法を使用し、暗黙の乗算もサポートされています（xy は x*y を意味します）。