特異値分解SVD電卓

特異値分解SVD電卓へようこそ。これは、あらゆる行列をその基本成分に分解する強力な線形代数ツールです。この電卓は行列を A = UΣVᵀ に分解し、ステップバイステップの解決策、インタラクティブな可視化、ランク分析、条件数、低ランク近似の品質、および擬似逆行列の計算を提供します。線形代数を勉強している学生、機械学習に取り組んでいるエンジニア、データを分析している研究者のいずれにとっても、この電卓はプロフェッショナルな行列分解機能を提供します。

特異値分解とは何ですか？

特異値分解（SVD）は、任意のm×n行列Aを3つの行列に因数分解することです：

ここで：

• A は元の m×n 行列です
• U は m×m 直交行列です（左特異ベクトル、AAᵀの固有ベクトル）
• Σ (Sigma) は非負の特異値 σ₁ ≥ σ₂ ≥ ... ≥ 0 を持つ m×n 対角行列です
• Vᵀ は n×n 直交行列です（右特異ベクトル、AᵀAの固有ベクトル）

固有値分解とは異なり、SVDは長方形の行列や特異行列を含む、あらゆる行列に対して常に存在します。この普遍性により、応用数学において最も重要な分解の一つとなっています。

SVDの計算方法

1. AᵀAを形成： n×n 対称行列 AᵀA を計算します
2. 固有値を求める： det(AᵀA − λI) = 0 を解いて固有値 λ₁ ≥ λ₂ ≥ ... ≥ 0 を得ます
3. 特異値： σᵢ = √λᵢ （固有値の平方根）を計算します
4. 右特異ベクトル (V)： AᵀA の固有ベクトルを求め、正規直交化して V の列とします
5. 左特異ベクトル (U)： 0でない各特異値について uᵢ = Avᵢ/σᵢ を計算し、完全な正規直交基底に拡張します

主な性質

行列のランク

行列 A のランクは、0でない特異値の数に等しくなります。これはランクを決定するための数値的に最も安定した方法であり、浮動小数点エラーによって誤った結果が出る可能性がある行基本変形よりもはるかに信頼性が高いです。

条件数

条件数は、線形システム Ax = b の解が摂動に対してどれほど敏感であるかを測定します。κ が大きい場合は行列が悪条件であることを示し、κ = 1 が理想的なケース（直交行列）です。

SVDによる行列ノルム

• スペクトルノルム (2-ノルム)： \(\|A\|_2 = \sigma_1\) — 最大特異値
• フロベニウスノルム： \(\|A\|_F = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \cdots}\)
• 核ノルム： \(\|A\|_* = \sigma_1 + \sigma_2 + \cdots\) — すべての特異値の合計

SVDの応用

低ランク近似（エッカート・ヤングの定理）

エッカート・ヤング・ミルスキーの定理は、Aの最良のランクk近似（フロベニウスノルムまたはスペクトルノルムにおいて）は、上位k個の特異値のみを保持することで得られると述べています：

近似誤差は次の通りです： \(\|A - A_k\|_F = \sqrt{\sigma_{k+1}^2 + \cdots + \sigma_r^2}\)

SVD vs 固有値分解

よくある質問

特異値分解（SVD）とは何ですか？

特異値分解（SVD）は、任意のm×nの実数行列Aを3つの行列に分解する行列分解の一種です。A = UΣVᵀと表され、Uは左特異ベクトルのm×m直交行列、Σは特異値のm×n対角行列、Vᵀは右特異ベクトルのn×n直交行列です。SVDはどんな行列に対しても必ず存在します。

特異値は何に使われますか？

特異値は行列の基本的な性質を明らかにします。具体的には、ランク（0でない特異値の数）、条件数（最大特異値と最小特異値の比）、行列ノルムなどです。データ圧縮（大きな特異値のみを保持）、主成分分析（PCA）、ノイズ除去、レコメンデーションシステム、最小二乗法の解決などに広く利用されています。

SVDと固有値分解の違いは何ですか？

固有値分解は正方行列にのみ適用可能で、行列が対角化可能である必要があります。一方、SVDは（長方形の行列を含む）任意のm×n行列に適用でき、常に存在します。対称な正定値行列の場合、SVDと固有値分解は一致します。SVDは2つの異なる直交基底（UとV）を使用しますが、固有値分解は1つの基底を使用します。

SVDはPCAとどのように関係していますか？

PCA（主成分分析）はSVDを使用して直接計算されます。データ行列Xの中心化を行い、X = UΣVᵀとしてSVDを計算すると、Vの列が主成分（最大分散の方向）となり、Σの特異値が各成分に沿った標準偏差を表し、UΣが新しい座標系における投影データを与えます。 中心化した N 個の観測値（N > 1）では、 Var(PCᵢ) = σᵢ²/(N−1), SD(PCᵢ) = σᵢ/√(N−1).

低ランク近似とは何ですか？

行列Aのランクk近似は、k個の最大の特異値とそれに対応するベクトルのみを保持することです：A_k = U_k Σ_k V_k^T。エッカート・ヤングの定理によれば、これはフロベニウスノルムとスペクトルノルムの両方において最良のランクk近似となります。これは画像圧縮、潜在意味解析、次元削減の数学的基礎となっています。

行列の条件数とは何ですか？

条件数 κ(A) = σ_max / σ_min は、最大特異値と最小特異値の比です。これは、線形システム Ax = b の解が摂動に対してどれほど敏感であるかを測定します。条件数が大きい場合は行列が悪条件であることを意味し、入力のわずかな誤差が解に大きな誤差を生じさせる可能性があります。条件数が1（直交行列）であるのが理想的です。

参考リソース

• 特異値分解 - Wikipedia
• 低ランク近似 - Wikipedia (英語)
• ムーア・ペンローズ擬似逆行列 - Wikipedia