Bagaimana cara menghitung invers modular?

Metode yang paling efisien adalah Algoritma Euklides yang Diperluas, yang menemukan bilangan bulat x dan y sedemikian hingga ax + my = fpb(a, m). Ketika fpb(a, m) = 1, x adalah invers modular. Alternatifnya, jika m adalah bilangan prima, Teorema Kecil Fermat memberikan a⁻¹ ≡ a^(m-2) (mod m).

Kapan invers modular TIDAK ada?

Invers modular dari a (mod m) tidak ada ketika fpb(a, m) > 1. Sebagai contoh, invers dari 6 (mod 9) tidak ada karena fpb(6, 9) = 3 ≠ 1.

Apa kegunaan praktis dari invers modular?

Invers modular sangat mendasar bagi enkripsi RSA, pertukaran kunci Diffie-Hellman, kriptografi kurva eliptik, penyelesaian kongruensi linear, komputasi Teorema Sisa Tiongkok, dan penghitungan pecahan modular.

Kalkulator Invers Multiplikatif Modular

Q: Apa itu invers multiplikatif modular?

Invers multiplikatif modular dari bilangan bulat a modulo m adalah bilangan bulat x sedemikian hingga a·x ≡ 1 (mod m). Ini dilambangkan sebagai a⁻¹ (mod m) dan ada jika dan hanya jika fpb(a, m) = 1 (a dan m adalah koprima).

Hitung invers multiplikatif modular dari bilangan bulat a dalam modulo m menggunakan Algoritma Euclidean yang Diperluas, lengkap dengan tabel langkah demi langkah, verifikasi, dan visualisasi jam.

Gratis digunakanTidak perlu mendaftarDiperbarui Feb 2026

Kalkulator Invers Multiplikatif ModularCoba sekarang — gratis ▼

Embed Kalkulator Invers Multiplikatif Modular Widget

Tentang Kalkulator Invers Multiplikatif Modular

Apa Itu Invers Multiplikatif Modular?

Invers multiplikatif modular dari bilangan bulat a terhadap modulus m adalah bilangan bulat x dalam rentang [0, m-1] sedemikian hingga:

\( a \cdot x \equiv 1 \pmod{m} \)

Ini ditulis sebagai a⁻¹ (mod m) dan analog dengan invers multiplikatif dalam aritmatika biasa (yaitu, 1/a), namun dalam dunia aritmatika modular.

Syarat utama: Invers ada jika dan hanya jika fpb(a, m) = 1 — artinya, a dan m haruslah koprima.

Bagaimana Cara Menghitungnya: Algoritma Euklides yang Diperluas

Metode yang paling efisien menggunakan Algoritma Euklides yang Diperluas. Metode ini menemukan bilangan bulat x dan y yang memenuhi identitas Bézout:

\( a \cdot x + m \cdot y = \gcd(a, m) = 1 \)

Ketika fpb(a, m) = 1, mengambil kedua sisi mod m memberikan a·x ≡ 1 (mod m), sehingga x adalah invers modularnya.

Contoh: Cari 3⁻¹ (mod 7):

FPB yang diperluas memberikan: 3·(5) + 7·(-2) = 15 − 14 = 1, jadi 3⁻¹ ≡ 5 (mod 7). Verifikasi: 3 × 5 = 15 = 2×7 + 1 ≡ 1 (mod 7) ✓

Aplikasi dalam Kriptografi & Matematika

🔐

Enkripsi RSA

Mencari kunci privat d = e⁻¹ (mod φ(n)) dari eksponen publik e

📈

Diffie-Hellman

Protokol pertukaran kunci berdasarkan logaritma diskrit dalam aritmatika modular

🇮

Affine Cipher

Dekripsi menggunakan a⁻¹ (mod 26) untuk membalikkan kunci enkripsi

🔢

CRT & Teori Bilangan

Teorema Sisa Tiongkok dan penyelesaian kongruensi linear ax ≡ b (mod m)

👑

Kurva Eliptik

Rumus penjumlahan titik pada ECC memerlukan invers modular untuk perhitungan kemiringan

📋

Pecahan Modular

Menghitung a/b (mod m) sebagai a · b⁻¹ (mod m) ketika fpb(b, m) = 1

Pertanyaan yang Sering Diajukan (FAQ)

T: Mengapa invers tidak selalu ada?

Karena aritmatika modular bersifat "berputar," beberapa kelipatan dari a mungkin tidak pernah mendarat pada 1 mod m. Ini terjadi tepat ketika a dan m memiliki faktor persekutuan — yaitu, fpb(a, m) > 1.

T: Apakah ada rumus untuk modulus prima?

Ya! Jika m adalah prima dan a bukan kelipatan m, Teorema Kecil Fermat memberikan: a⁻¹ ≡ a^m-2 (mod m). Ini sering digunakan dalam pemrograman kompetitif.

T: Apakah hasilnya unik?

Ya, hasilnya unik modulo m. Kami selalu memberikan hasil kanonik dalam rentang [0, m-1]. Invers valid lainnya adalah x + km untuk bilangan bulat k apa pun, tetapi semuanya setara dalam mod m.

T: Bagaimana jika a bernilai negatif?

Algoritma ini menangani bilangan bulat negatif. Secara internal kami menghitung a (mod m) untuk mendapatkan representasi non-negatif terlebih dahulu, lalu mencari inversnya. Hasilnya selalu dalam rentang [0, m-1].

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Invers Multiplikatif Modular" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-invers-multiplikatif-modular/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 18 Feb 2026

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.