Kalkulator Distribusi Stasioner Rantai Markov

Selamat datang di Kalkulator Distribusi Stasioner Rantai Markov, alat matematika yang kuat untuk menghitung distribusi stasioner jangka panjang dari rantai Markov berhingga mana pun. Masukkan matriks transisi Anda dan lihat secara instan probabilitas stasioner, diagram transisi status interaktif, visualisasi konvergensi, dan solusi mendetail langkah demi langkah. Ideal untuk mahasiswa, peneliti, dan profesional yang bekerja dengan proses stokastik.

Apa itu Distribusi Stasioner?

Distribusi stasioner (juga disebut distribusi steady-state) dari sebuah rantai Markov adalah vektor probabilitas \(\pi\) sedemikian hingga:

Ini berarti jika sistem dimulai pada distribusi \(\pi\), ia akan tetap berada di \(\pi\) setelah sejumlah transisi. Secara intuitif, \(\pi_i\) mewakili proporsi waktu jangka panjang yang dihabiskan sistem dalam status \(i\).

Konsep Kunci

Cara Menyelesaikan Distribusi Stasioner

Vektor stasioner \(\pi\) dapat ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linear yang diturunkan dari \(\pi P = \pi\):

1. Tulis ulang persamaan: \(\pi P = \pi\) menjadi \(\pi(P - I) = 0\), atau setara dengan \((P^T - I)\pi^T = 0\).
2. Tambahkan normalisasi: Ganti satu persamaan yang redundan dengan \(\pi_1 + \pi_2 + \cdots + \pi_n = 1\).
3. Selesaikan sistem: Gunakan eliminasi Gaussian atau metode matriks untuk menemukan \(\pi\).

Untuk rantai ergodik, perkalian berulang akan konvergen ke distribusi stasioner yang unik terlepas dari distribusi awalnya.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan matriks transisi: Masukkan matriks Anda dengan setiap baris pada baris baru. Nilai dapat dipisahkan dengan koma atau spasi. Setiap baris harus berjumlah 1.
2. Tambahkan label status (opsional): Berikan nama deskriptif untuk status Anda (misalnya, Cerah, Hujan) yang dipisahkan oleh koma.
3. Atur presisi desimal: Pilih jumlah tempat desimal (2-15) untuk hasil.
4. Hitung: Klik "Hitung Distribusi Stasioner" untuk melihat analisis lengkap termasuk distribusi stasioner, grafik konvergensi, diagram status, dan solusi langkah demi langkah.

Memahami Hasil Anda

Vektor Distribusi Stasioner

Output utamanya adalah vektor \(\pi = (\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_n)\), di mana setiap \(\pi_i\) mewakili probabilitas jangka panjang berada di status \(i\). Status dengan probabilitas tertinggi adalah status dominan.

Grafik Konvergensi

Ini menunjukkan bagaimana distribusi probabilitas berkembang dari awal yang seragam melalui perkalian berurutan dengan P. Konvergensi yang lebih cepat menunjukkan rantai yang bercampur lebih kuat.

Diagram Transisi Status

Representasi visual interaktif di mana:

• Ukuran node mencerminkan probabilitas stasioner
• Ketebalan tepi mewakili probabilitas transisi
• Panah melengkung menunjukkan arah transisi
• Loop mandiri (self-loops) menunjukkan probabilitas tetap berada di status yang sama

Aplikasi Dunia Nyata

Kapan Distribusi Stasioner yang Unik Ada?

Rantai Markov berhingga memiliki distribusi stasioner yang unik jika tidak dapat direduksi, dan setiap distribusi awal akan konvergen ke sana jika rantai itu juga aperiodik. Rantai dengan kedua sifat ini disebut ergodik:

• Tidak Dapat Direduksi (Irreducible): Setiap status dapat dicapai dari status lainnya (tidak ada komponen yang terputus)
• Aperiodik: FPB dari semua panjang siklus melalui status mana pun adalah 1 (tidak ada periodisitas tetap)

Rantai yang periodik tetapi tidak dapat direduksi tetap memiliki tepat satu distribusi stasioner; pangkat Pᵏ-nya hanya berosilasi alih-alih konvergen. Rantai yang dapat direduksi hanya memiliki distribusi stasioner unik jika memiliki satu kelas tertutup (ditambah status transien, bila ada); dengan dua kelas tertutup atau lebih, terdapat tak hingga banyak distribusi stasioner.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu distribusi stasioner dari rantai Markov?

Distribusi steady-state (atau stasioner) adalah vektor probabilitas π sedemikian hingga πP = π, di mana P adalah matriks transisi. Ini mewakili proporsi waktu jangka panjang yang dihabiskan sistem di setiap status, terlepas dari status awal. Untuk rantai Markov yang tidak dapat direduksi dan aperiodik, distribusi stasionernya adalah unik.

Bagaimana cara menghitung probabilitas stasioner?

Untuk menemukan vektor stasioner π, selesaikan sistem πP = π dengan batasan bahwa semua probabilitas berjumlah 1 (Σπᵢ = 1). Ini setara dengan menyelesaikan (Pᵀ - I)π = 0 dengan batasan normalisasi. Anda juga dapat menggunakan iterasi daya: mengalikan distribusi awal dengan P secara berulang hingga konvergen.

Kapan rantai Markov memiliki distribusi stasioner yang unik?

Rantai Markov berhingga memiliki distribusi stasioner yang unik jika memiliki tepat satu kelas komunikasi tertutup — khususnya, setiap kali rantai itu tidak dapat direduksi (setiap status dapat dicapai dari status lainnya). Sifat aperiodik tidak diperlukan untuk keunikan: rantai periodik [[0, 1], [1, 0]] memiliki distribusi stasioner unik (½, ½). Yang ditambahkan oleh sifat aperiodik adalah konvergensi: rantai yang tidak dapat direduksi dan aperiodik (ergodik) akan mendekati distribusi itu dari titik awal mana pun.

Apa itu waktu kembali rata-rata dalam rantai Markov?

Waktu kembali rata-rata untuk status i adalah jumlah langkah yang diharapkan untuk kembali ke status i dimulai dari status i. Untuk rantai Markov ergodik, waktu kembali rata-rata sama dengan 1/πᵢ, di mana πᵢ adalah probabilitas stasioner status i. Status dengan probabilitas stasioner yang lebih tinggi memiliki waktu kembali rata-rata yang lebih pendek.

Apa perbedaan antara matriks transisi dan vektor stasioner?

Matriks transisi P adalah matriks n×n di mana P(i,j) memberikan probabilitas berpindah dari status i ke status j dalam satu langkah. Setiap baris berjumlah 1. Vektor stasioner π adalah vektor probabilitas 1×n yang mewakili distribusi jangka panjang di seluruh status. Sementara P menjelaskan dinamika langkah tunggal, π menjelaskan perilaku kesetimbangan.

Sumber Daya Tambahan

• Rantai Markov - Wikipedia
• Matriks Stokastik - Wikipedia