Kalkulator Distribusi Stasioner Rantai Markov

Hitung distribusi stasioner (steady-state) dari rantai Markov melalui matriks transisinya. Termasuk diagram status interaktif, visualisasi konvergensi, solusi langkah demi langkah, dan analisis iterasi daya.

Gratis digunakanTidak perlu mendaftarDiperbarui Feb 2026

Kalkulator Distribusi Stasioner Rantai MarkovCoba sekarang — gratis ▼

Embed Kalkulator Distribusi Stasioner Rantai Markov Widget

Tentang Kalkulator Distribusi Stasioner Rantai Markov

Selamat datang di Kalkulator Distribusi Stasioner Rantai Markov, alat matematika yang kuat untuk menghitung distribusi stasioner jangka panjang dari rantai Markov berhingga mana pun. Masukkan matriks transisi Anda dan lihat secara instan probabilitas stasioner, diagram transisi status interaktif, visualisasi konvergensi, dan solusi mendetail langkah demi langkah. Ideal untuk mahasiswa, peneliti, dan profesional yang bekerja dengan proses stokastik.

Apa itu Distribusi Stasioner?

Distribusi stasioner (juga disebut distribusi steady-state) dari sebuah rantai Markov adalah vektor probabilitas $\pi$ sedemikian hingga:

Persamaan Distribusi Stasioner

$$\pi P = \pi \quad \text{dan} \quad \sum_{i=1}^{n} \pi_i = 1$$

Ini berarti jika sistem dimulai pada distribusi $\pi$, ia akan tetap berada di $\pi$ setelah sejumlah transisi. Secara intuitif, $\pi_i$ mewakili proporsi waktu jangka panjang yang dihabiskan sistem dalam status $i$.

Konsep Kunci

Matriks Transisi

Matriks n×n P di mana entri P(i,j) adalah probabilitas berpindah dari status i ke status j. Setiap baris berjumlah 1.

Ketidaktereduksian (Irreducibility)

Rantai Markov bersifat tidak dapat direduksi jika setiap status dapat dicapai dari status lainnya. Ini diperlukan untuk distribusi stasioner yang unik.

Aperiodisitas

Sebuah rantai bersifat aperiodik jika tidak bersiklus dengan periode tetap. Bersama dengan irreducibility, ini menjamin konvergensi.

Waktu Kembali Rata-rata

Untuk status i, jumlah langkah yang diharapkan untuk kembali adalah 1/π_i. Probabilitas stasioner yang lebih tinggi berarti waktu kembali yang lebih pendek.

Cara Menyelesaikan Distribusi Stasioner

Vektor stasioner $\pi$ dapat ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan linear yang diturunkan dari $\pi P = \pi$:

Tulis ulang persamaan: $\pi P = \pi$ menjadi $\pi(P - I) = 0$, atau setara dengan $(P^T - I)\pi^T = 0$.
Tambahkan normalisasi: Ganti satu persamaan yang redundan dengan $\pi_1 + \pi_2 + \cdots + \pi_n = 1$.
Selesaikan sistem: Gunakan eliminasi Gaussian atau metode matriks untuk menemukan $\pi$.

Alternatif: Iterasi Daya

$$\pi^{(k+1)} = \pi^{(k)} P \quad \text{dimulai dari } \pi^{(0)} \text{ awal mana pun}$$

Untuk rantai ergodik, perkalian berulang akan konvergen ke distribusi stasioner yang unik terlepas dari distribusi awalnya.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

Masukkan matriks transisi: Masukkan matriks Anda dengan setiap baris pada baris baru. Nilai dapat dipisahkan dengan koma atau spasi. Setiap baris harus berjumlah 1.
Tambahkan label status (opsional): Berikan nama deskriptif untuk status Anda (misalnya, Cerah, Hujan) yang dipisahkan oleh koma.
Atur presisi desimal: Pilih jumlah tempat desimal (2-15) untuk hasil.
Hitung: Klik "Hitung Distribusi Stasioner" untuk melihat analisis lengkap termasuk distribusi stasioner, grafik konvergensi, diagram status, dan solusi langkah demi langkah.

Memahami Hasil Anda

Vektor Distribusi Stasioner

Output utamanya adalah vektor $\pi = (\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_n)$, di mana setiap $\pi_i$ mewakili probabilitas jangka panjang berada di status $i$. Status dengan probabilitas tertinggi adalah status dominan.

Grafik Konvergensi

Ini menunjukkan bagaimana distribusi probabilitas berkembang dari awal yang seragam melalui perkalian berurutan dengan P. Konvergensi yang lebih cepat menunjukkan rantai yang bercampur lebih kuat.

Diagram Transisi Status

Representasi visual interaktif di mana:

Ukuran node mencerminkan probabilitas stasioner
Ketebalan tepi mewakili probabilitas transisi
Panah melengkung menunjukkan arah transisi
Loop mandiri (self-loops) menunjukkan probabilitas tetap berada di status yang sama

Aplikasi Dunia Nyata

Bidang	Aplikasi	Contoh
Pemodelan Cuaca	Memprediksi pola cuaca jangka panjang	Probabilitas transisi Cerah → Hujan → Berawan
PageRank	Algoritma peringkat halaman web Google	Distribusi stasioner dari matriks transisi tautan web
Genetika	Memodelkan perubahan frekuensi alel	Ekuilibrium Hardy-Weinberg melalui generasi
Keuangan	Migrasi peringkat kredit	Probabilitas obligasi berpindah antar kategori peringkat
Teori Antrean	Analisis beban server dan waktu tunggu	Jumlah pelanggan dalam sistem layanan dari waktu ke waktu
Bahasa Alami	Generasi dan prediksi teks	Prediksi kata berikutnya berdasarkan kata saat ini

Kapan Distribusi Stasioner yang Unik Ada?

Rantai Markov memiliki distribusi stasioner yang unik ketika ia bersifat ergodik (tidak dapat direduksi dan aperiodik):

Tidak Dapat Direduksi (Irreducible): Setiap status dapat dicapai dari status lainnya (tidak ada komponen yang terputus)
Aperiodik: FPB dari semua panjang siklus melalui status mana pun adalah 1 (tidak ada periodisitas tetap)

Jika rantai tersebut dapat direduksi atau periodik, ia mungkin masih memiliki distribusi stasioner, tetapi mungkin tidak unik, dan konvergensi tidak dijamin dari semua distribusi awal.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu distribusi stasioner dari rantai Markov?

Distribusi steady-state (atau stasioner) adalah vektor probabilitas π sedemikian hingga πP = π, di mana P adalah matriks transisi. Ini mewakili proporsi waktu jangka panjang yang dihabiskan sistem di setiap status, terlepas dari status awal. Untuk rantai Markov yang tidak dapat direduksi dan aperiodik, distribusi stasionernya adalah unik.

Bagaimana cara menghitung probabilitas stasioner?

Untuk menemukan vektor stasioner π, selesaikan sistem πP = π dengan batasan bahwa semua probabilitas berjumlah 1 (Σπᵢ = 1). Ini setara dengan menyelesaikan (Pᵀ - I)π = 0 dengan batasan normalisasi. Anda juga dapat menggunakan iterasi daya: mengalikan distribusi awal dengan P secara berulang hingga konvergen.

Kapan rantai Markov memiliki distribusi stasioner yang unik?

Rantai Markov memiliki distribusi stasioner yang unik ketika ia bersifat tidak dapat direduksi (setiap status dapat dicapai dari status lainnya) dan aperiodik (rantai tidak bersiklus dengan periode tetap). Secara bersama-sama, properti ini membuat rantai tersebut ergodik, menjamin konvergensi ke distribusi stasioner yang unik.

Apa itu waktu kembali rata-rata dalam rantai Markov?

Waktu kembali rata-rata untuk status i adalah jumlah langkah yang diharapkan untuk kembali ke status i dimulai dari status i. Untuk rantai Markov ergodik, waktu kembali rata-rata sama dengan 1/πᵢ, di mana πᵢ adalah probabilitas stasioner status i. Status dengan probabilitas stasioner yang lebih tinggi memiliki waktu kembali rata-rata yang lebih pendek.

Apa perbedaan antara matriks transisi dan vektor stasioner?

Matriks transisi P adalah matriks n×n di mana P(i,j) memberikan probabilitas berpindah dari status i ke status j dalam satu langkah. Setiap baris berjumlah 1. Vektor stasioner π adalah vektor probabilitas 1×n yang mewakili distribusi jangka panjang di seluruh status. Sementara P menjelaskan dinamika langkah tunggal, π menjelaskan perilaku kesetimbangan.

Sumber Daya Tambahan

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Distribusi Stasioner Rantai Markov" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-distribusi-stasioner-rantai-markov/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 20 Feb 2026

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.