Calculadora de fracciones continuas

Bienvenido a la Calculadora de Fracciones Continuas — una potente herramienta que convierte cualquier número decimal, fracción o raíz cuadrada en su representación de fracción continua. Vea la famosa notación [a₀; a₁, a₂, ...], explore aproximaciones racionales (convergentes) y visualice la estructura de la fracción anidada de forma interactiva.

¿Qué es una fracción continua?

Una fracción continua es una forma de expresar un número como una secuencia anidada de partes enteras y fracciones:

Donde a₀, a₁, a₂, ... son enteros no negativos llamados cocientes parciales. La notación estándar es [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]. Algunos ejemplos notables:

• π (pi) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] — el 292 significa que pi está extremadamente bien aproximado por 355/113
• φ (proporción áurea) = [1; 1, 1, 1, ...] — la fracción continua de convergencia más lenta
• √2 = [1; 2, 2, 2, ...] — periódica, como predice el teorema de Lagrange
• e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] — un patrón hermoso

Cómo funciona el algoritmo

Para cualquier decimal x

1. Calcula a₀ = ⌊x⌋ (suelo de x)
2. Establece x₁ = 1/(x − a₀), luego calcula a₁ = ⌊x₁⌋
3. Repite: xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
4. Detente cuando la parte fraccionaria sea cero (racional) o cuando tengas suficientes términos

Para una fracción p/q (Algoritmo de Euclides)

Para una fracción, el algoritmo es idéntico al algoritmo de Euclides para el MCD:

Cada paso de división del algoritmo de Euclides produce un cociente parcial de la fracción continua.

Convergentes: Las mejores aproximaciones racionales

Los convergentes pₙ/qₙ se obtienen truncando la fracción continua en cada paso. Satisfacen una propiedad notable: pₙ/qₙ es la mejor aproximación racional a x con un denominador ≤ qₙ.

Fracciones continuas periódicas

Según el teorema de Lagrange, un número real tiene una fracción continua periódica si y solo si es un irracional cuadrático (solución de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros). Esto incluye todas las raíces cuadradas de números enteros que no son cuadrados perfectos.

• √2 = [1; 2] — periodo de longitud 1
• √3 = [1; 1, 2] — periodo de longitud 2
• √7 = [2; 1, 1, 1, 4] — periodo de longitud 4
• √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] — periodo de longitud 16

Cómo usar esta calculadora

1. Ingrese un valor: decimal (p. ej. 2.71828), fracción (p. ej. 355/113) o raíz cuadrada (p. ej. sqrt(7))
2. Establezca los términos máximos: más términos proporcionan más cocientes parciales y convergentes
3. Haga clic en Calcular: vea la notación de fracción continua, los términos animados, la visualización anidada, la tabla de convergentes y los pasos de Euclides (para fracciones)

Preguntas Frecuentes

¿Qué es una fracción continua?

Una fracción continua es una expresión de la forma a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)) donde a₀, a₁, a₂, ... son enteros llamados cocientes parciales. Todo número real tiene una expansión en fracción continua. Los números racionales tienen expansiones finitas; los números irracionales tienen expansiones infinitas. Los irracionales cuadráticos (como las raíces cuadradas) tienen expansiones periódicas.

¿Cómo se convierte un decimal a una fracción continua?

Tome la parte entera como el primer término. Réstela del número, tome el recíproco y repita. Por ejemplo, π ≈ 3.14159...: parte entera = 3, resto = 0.14159..., recíproco = 7.062..., parte entera = 7, resto = 0.062..., recíproco = 15.996..., parte entera = 15, lo que da [3; 7, 15, ...].

¿Por qué sqrt(2) tiene una fracción continua periódica?

Por el teorema de Lagrange, un número real tiene una fracción continua periódica exactamente cuando es un irracional cuadrático. √2 satisface x² = 2, por lo que es un irracional cuadrático, resultando en [1; 2, 2, 2, ...]. La proporción áurea φ = (1 + √5)/2 da [1; 1, 1, 1, ...] — el periodo más simple posible.

¿Qué son los convergentes y por qué son importantes?

Los convergentes son las fracciones obtenidas al truncar la fracción continua. Son las mejores aproximaciones racionales: ninguna fracción con un denominador más pequeño está más cerca del número objetivo. Es por esto que 22/7 y 355/113 son aproximaciones famosas de π: son convergentes de la fracción continua de π.

¿Cómo se relaciona el algoritmo de fracción continua con el algoritmo de Euclides?

Cuando la entrada es una fracción p/q, calcular su fracción continua es idéntico al algoritmo de Euclides para el MCD. Cada paso de resto y cociente produce exactamente un cociente parcial. La fracción continua termina exactamente cuando se encuentra el MCD.

Recursos adicionales

• Fracción continua - Wikipedia