瞬時變化率計算機

瞬時變化率計算機

瞬時變化率計算器使用極限定義計算任何函數 f(x) 在特定點 x₀ 的導數。輸入如 \(x^2\)、\(\sin(x)\) 或 \(e^x\) 的函數，指定一個 x 值，即可立即獲得導數、切線方程、顯示差商如何隨 h → 0 趨近極限的收斂表，以及具有動畫割線到切線轉換的互動式圖表。

什麼是瞬時變化率？

函數 \(f(x)\) 在點 \(x = a\) 的 瞬時變化率 即為 導數 \(f'(a)\)。它代表該點曲線 切線 的斜率。正式定義為：

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

與平均變化率（在區間上使用割線）不同，瞬時變化率捕捉單一點上的 精確 變化率。這是微分學背後的核心思想。

關鍵概念

極限定義 — 視覺化

想像曲線上的兩個點：\((a, f(a))\) 和 \((a+h, f(a+h))\)。通過這兩點的直線是 割線，其斜率為：

$$\text{割線斜率} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

當您讓 \(h\) 變得越來越小時，第二個點會向第一個點滑動。割線旋轉並趨近 切線。它所收斂的斜率就是導數 — 即瞬時變化率。此計算器的「動畫展示 h → 0」功能可讓您實時觀察這一過程。

導數的數值方法

本計算器使用 中心差分 法作為最終結果，因為它的收斂速度快得多（二階收斂）。收斂表顯示了所有三種方法，以便您比較它們在每個步長 h 下的精確度。

現實世界應用