正弦定理計算機

正弦定理計算機

歡迎使用 正弦定理計算機。此工具利用正弦定理，協助你在已知部分邊與角的情況下，求出三角形其餘未知的邊長與角度。支援 ASA、AAS 與 SSA 等多種條件組合，並能自動處理 SSA 可能出現的兩個解。

什麼是正弦定理？

正弦定理是三角學中常用的重要定理，描述三角形三邊與其對角正弦值之間的關係：

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

其中 $a$、$b$、$c$ 分別為對應角 $A$、$B$、$C$ 的對邊長度。透過正弦定理，只要已知足夠的邊與角資訊，即可求出其餘未知量。

本工具的主要特色

• 多種題型支援：可解 ASA、AAS 以及 SSA 三種解三角形題型。
• SSA 不唯一檢查：自動判斷 SSA 條件下是無解、唯一解或兩個解。
• 角度單位彈性：可選擇使用度（degrees）或弧度（radians）。
• 逐步計算過程：將每一步計算與公式清楚顯示，方便學習與檢查。
• 三角形圖形化顯示：根據結果在畫布上繪製三角形，幫助你視覺化理解。
• 嚴謹的輸入檢查：對不合理的邊長與角度給出明確錯誤訊息。
• 適合作為教學輔助：非常適合在學習三角函數與解三角形時使用。

已知條件類型說明

ASA（角-邊-角）

已知兩個角以及夾在其間的一條邊時，三角形唯一確定。可先利用內角和求出第三個角，再利用正弦定理求出其餘兩邊。

• 已知：角 $A$、角 $C$ 與夾邊 $b$。
• 求：角 $B$ 與邊 $a$、$c$。
• 解的個數：1 個。

AAS（角-角-邊）

已知兩個角與任一邊（不一定是夾邊），同樣可以唯一決定一個三角形。

• 已知：角 $A$、角 $B$ 與邊 $a$。
• 求：角 $C$ 與邊 $b$、$c$。
• 解的個數：1 個。

SSA（邊-邊-角）— 不唯一情況

當已知兩邊以及一個對其中一邊的角時（SSA），可能出現下列情況：

• 無解：無法構成任何三角形。
• 唯一解：只能構成一個三角形。
• 兩個解：可構成兩個不同的三角形，這便是 SSA 的不唯一情況。

已知：邊 $a$、邊 $b$ 與角 $A$。

本工具會自動判斷屬於上述哪一種情況，並列出所有可能的解。

如何使用正弦定理計算機

1. 選擇題型：在下拉選單中選擇 ASA、AAS 或 SSA。
2. 選擇角度單位：選擇使用「度」或「弧度」。
3. 輸入數值：
   • ASA：輸入 1 = ∠A，輸入 2 = 邊 b，輸入 3 = ∠C。
   • AAS：輸入 1 = ∠A，輸入 2 = ∠B，輸入 3 = 邊 a。
   • SSA：輸入 1 = 邊 a，輸入 2 = 邊 b，輸入 3 = ∠A。
4. 按下「計算」按鈕：即可看到計算結果、步驟說明與圖形。

正弦定理的應用

正弦定理在許多領域中都相當實用：

• 導航與定位：透過三角測量求出位置與距離。
• 測量與地理資訊：計算難以直接測量的距離或高度。
• 工程設計：結構分析、桁架與斜梁等相關計算。
• 物理學：力的分解與合成、向量分析。
• 電腦圖學：在 3D 建模與繪圖時進行幾何運算。

數學推導背景

正弦定理可以由三角形面積公式推導而來。對任意三角形，其面積 $K$ 可寫成：

$$K = \frac{1}{2}ab\sin(C) = \frac{1}{2}bc\sin(A) = \frac{1}{2}ac\sin(B)$$

將這些等式互相相等並化簡，便可得到正弦定理：

$$\dfrac{a}{\sin(A)} = \dfrac{b}{\sin(B)} = \dfrac{c}{\sin(C)}$$

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