三角恒等式計算機
使用 MiniWebtool 的三角恒等式計算機，從已知的三角函數值推算相關函數值。輸入已知函數值、象限及恒等式類型，即可計算其他函數值與步驟，精度最高可選至小數點後 100 位。
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在下方輸入一個已知的三角函數值及其所在象限，即可求出 sin、cos、tan、csc、sec、cot，並顯示步驟。
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三角恒等式計算機
歡迎使用三角恒等式計算機，這是一個使用基本恒等式計算所有三角函數值的綜合工具。當您知道一個三角函數值（如 $\sin(x)$ 或 $\cos(x)$）和象限時，此計算機將找到所有其他值，並應用各種恒等式公式，並提供完整的逐步解法。
功能概覽
三角恒等式計算機可由一個已知三角函數值與所在象限，求出六個三角函數的全部數值。它也能套用倍角與半角公式，提供步驟解說，並可設定至小數點後100位。
| 功能 | 提供內容 | 適用情境 |
|---|---|---|
| 已知值 | 選擇 sin、cos、tan、csc、sec 或 cot 其中之一並輸入數值。sin 與 cos 的值必須介於 -1 與 1 之間，csc 與 sec 的絕對值則至少為 1。 | 從題目給定的任一比值出發 |
| 象限符號 | 選擇第一至第四象限，其他函數的正負號會依 ASTC 規則決定。 | 正確判定正根或負根 |
| 恒等式類型 | 可選擇僅畢氏定理、倍角、半角或全部。結果包含 2x 與 x/2 的 sin、cos 及 tan。 | 核對倍角與半角的作業 |
| 六個數值 | 回傳 sin、cos、tan、csc、sec 與 cot，以及以度與弧度表示的角度，並檢驗 sin² + cos² 是否等於 1。 | 一次取得所有相關數值 |
| 精確度 | 可選擇 1 至 100 位小數。 | 需要高精確度結果的情況 |
| 單位圓與步驟 | 單位圓圖示顯示所在象限，逐步解答則列出所用的公式。 | 想循序了解計算過程的人 |
此計算機的功能
給定已知的三角函數值和角度所在的象限，此計算機：
- 計算所有六個基本三角函數： $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$, $\csc(x)$, $\sec(x)$, $\cot(x)$
- 應用倍角公式： 查找 $\sin(2x)$, $\cos(2x)$, 和 $\tan(2x)$
- 應用半角公式： 查找 $\sin(x/2)$, $\cos(x/2)$, 和 $\tan(x/2)$
- 確定精確角度： 包括角度和弧度
- 驗證恒等式： 確認勾股恒等式 $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
關鍵三角恒等式
- $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$
- $$1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$$
- $$1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)$$
- $$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$
- $$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$$
- $$\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$$
- $$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$$
- $$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}$$
- $$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$$
了解象限 (ASTC 規則)
每個三角函數的符號取決於角度所在的象限。記住助記符 "All Students Take Calculus" (ASTC)：
- 第一象限 (0° 到 90°)： All (所有) 函數均為正
- 第二象限 (90° 到 180°)： 只有 Sin (正弦，及其餘割) 為正
- 第三象限 (180° 到 270°)： 只有 Tan (正切，及其餘切) 為正
- 第四象限 (270° 到 360°)： 只有 Cos (餘弦，及其正割) 為正
倒數恒等式
- $\\csc(x) = \frac{1}{\\sin(x)}$
- $\\sec(x) = \frac{1}{\\cos(x)}$
- $\\cot(x) = \frac{1}{\\tan(x)} = \frac{\\cos(x)}{\\sin(x)}$
如何使用此計算機
- 選擇已知函數： 選擇您知道的三角函數值（sin, cos, tan, csc, sec 或 cot）。
- 輸入已知值： 輸入數值。對於 sin 和 cos，必須在 -1 和 1 之間。對於 csc 和 sec，絕對值必須至少為 1。
- 選擇象限： 選擇角 x 所在的象限。這將使用 ASTC 規則確定其他函數的符號。
- 選擇恒等式類型： 選擇要應用的恒等式（僅勾股、倍角、半角或所有）。
- 設置精度： 選擇您想要的小數位數 (1-100)。
- 點擊計算： 查看帶有逐步解法和視覺表示的完整結果。
常見問題
什麼是三角恒等式？
三角恒等式是涉及三角函數的方程式，對於變量的所有值都成立。最基本的是勾股恒等式：$\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1$。其他重要的恒等式包括倍角公式、半角公式、和差公式和倒數恒等式。
如何從一個已知值找到所有三角函數值？
要從一個已知值找到所有六個三角函數值：1) 使用勾股恒等式找到 sin 或 cos。2) 使用 ASTC 規則根據象限確定正確的符號。3) 使用倒數和商恒等式計算剩餘函數。
什麼是象限的 ASTC 規則？
ASTC 代表 All-Sin-Tan-Cos，是一個助記符，用於記住每個象限中哪些三角函數是正值。在第一象限，所有函數均為正。在第二象限，只有正弦 (及餘割) 為正。在第三象限，只有正切 (及餘切) 為正。在第四象限，只有餘弦 (及正割) 為正。
什麼是倍角公式？
倍角公式用 x 的函數表示 2x 的三角函數。主要公式為：$\\sin(2x) = 2\\sin(x)\\cos(x)$，$\\cos(2x) = \\cos^2(x) - \\sin^2(x)$，以及 $\\tan(2x) = \\frac{2\\tan(x)}{1 - \\tan^2(x)}$。
什麼是半角公式？
半角公式用 cos(x) 表示 x/2 的三角函數。公式為：$\\sin(x/2) = \\pm\\sqrt{\\frac{1-\\cos(x)}{2}}$，$\\cos(x/2) = \\pm\\sqrt{\\frac{1+\\cos(x)}{2}}$，以及 $\\tan(x/2) = \\frac{\\sin(x)}{1+\\cos(x)}$。符號取決於 x/2 落在哪個象限。
應用領域
- 教育： 在數學課程中學習和驗證三角恒等式
- 工程學： 信號處理、波形分析和電路設計
- 物理學： 簡諧運動、振盪和波動力學
- 航海： 計算角度、距離和方位
- 計算機圖形學： 旋轉矩陣和變換計算
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由 miniwebtool 團隊編寫。更新日期：2026年1月13日
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