旋度計算機

旋度計算機

這款旋度計算機可以計算任何 2D 或 3D 向量場的旋度 ∇×F，並提供完整的外積行列式展開步驟。輸入您的向量場分量 P, Q（3D 場則增加 R），可選擇在特定點進行評估，即可獲得符號形式的旋度、旋轉分類。對於 2D 場，還提供了帶有渦度熱圖和動畫粒子流的互動式視覺化，展示場的旋轉行為。

什麼是旋度？

向量場 \(\mathbf{F}\) 的旋度衡量場中每一點的無窮小旋轉。對於 3D 場 \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\)，旋度是透過外積計算的：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

展開行列式即可得到旋度向量：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

對於 2D 場 \(\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\)，旋度簡化為純量 \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\)，代表 xy 平面上的旋轉。

旋度的物理意義

不同座標系中的旋度公式

涉及旋度的重要恆等式

旋度的應用

如何使用旋度計算機

1. 選擇維度： 使用切換按鈕選擇 2D 場 F = ⟨P, Q⟩（純量旋度）或 3D 場 F = ⟨P, Q, R⟩（向量旋度）。
2. 輸入分量函數： 使用標準記法輸入每個分量函數（P、Q，以及可選的 R）。使用 ^ 表示指數，* 表示乘法，並可使用 sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x) 等函數。支援隱式乘法（例如 2x = 2*x）。
3. 輸入評估點（可選）： 提供以逗號分隔的座標，以數值化評估旋度並分類旋轉方向。
4. 點擊「計算旋度」： 查看符號形式旋度、逐步的外積行列式展開、數值評估及旋轉分類。
5. 探索視覺化： 對於 2D 場，可以查看帶有渦度熱圖（橙色 = 逆時針，紫色 = 順時針）和動畫粒子流的向量場箭頭圖。

解題範例

求向量場 \(\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle\) 在點 \((1, 2, 3)\) 處的旋度：

第 1 步： 寫出行列式： \(\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}\)

第 2 步： 展開：\(\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle\)

第 3 步： 旋度恆為零 — 該場為無旋場（保守場）。事實上，\(\mathbf{F} = \nabla(xyz)\)，證實了位能函數的存在。

旋度 vs. 散度

常見問題 (FAQ)