向量外積計算機

向量外積計算機

這款向量外積計算機使用行列式公式計算兩個 3D 向量的向量積。輸入兩個向量的分量即可立即獲得產生的垂直向量、其模長（平行四邊形面積）、輸入向量間的夾角、行列式的逐步展開、垂直性驗證，以及一個可通過拖曳旋轉的互動式 3D 圖表。

向量外積公式

兩個 3D 向量 \(\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) 和 \(\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\) 的外積定義為下列行列式：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

沿第一行進行餘因子展開得到：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

實際應用

關鍵公式

外積與內積的比較

主要性質

理解右手定則

外積的方向遵循右手定則：將右手的四指沿著第一個向量 \(\vec{a}\) 方向，向第二個向量 \(\vec{b}\) 彎曲，大拇指所指的方向即為 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 的方向。這就是為什麼外積具有反交換性 —— 反轉順序會反轉大拇指的方向，得到 \(\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})\)。

模長 \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) 代表由這兩個向量組成的平行四邊形面積。當向量平行（\(\theta = 0°\) 或 \(180°\)）時，面積塌陷為零。當它們垂直（\(\theta = 90°\)）時，面積達到最大值 \(|\vec{a}| \times |\vec{b}|\)。

如何使用向量外積計算機

1. 輸入向量 a： 輸入以逗號分隔的三個分量 (x, y, z) —— 例如：2, 3, 4。您也可以點擊快速範例來自動填充兩個向量。
2. 輸入向量 b： 以相同的格式輸入第二個向量的三個分量。
3. 觀看即時預覽： 3D 預覽會即時更新，顯示兩個向量、外積向量以及平行四邊形。
4. 點擊計算： 按下按鈕即可獲得完整結果，包括垂直的結果向量、平行四邊形面積、夾角、逐步行列式展開以及互動式 3D 圖表。
5. 探索圖表： 拖曳以旋轉 3D 視圖，切換圖層（平行四邊形、外積向量、軸線、標籤）以進行不同的視覺化觀察。

常見問題