Nullraum-Rechner

Nullraum-Rechner

Der Nullraum-Rechner berechnet den Nullraum (Kern) einer beliebigen Matrix durch Lösen des homogenen Gleichungssystems Ax = 0. Geben Sie eine Matrix beliebiger Größe bis zu 8×8 ein und erhalten Sie die vollständige Nullraum-Basis mit exakter Brucharithmetik, eine Schritt-für-Schritt-Gauß-Elimination zur RREF, die Spaltenklassifizierung (Pivot vs. Frei) sowie die Verifizierung des Rangsatzes.

Was ist der Nullraum einer Matrix?

Der Nullraum (auch als Kern bezeichnet) einer \(m \times n\) Matrix \(A\) ist die Menge aller Vektoren \(\mathbf{x}\) in \(\mathbb{R}^n\), die folgende Gleichung erfüllen:

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

Als Menge geschrieben: \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\). Der Nullraum ist immer ein Untervektorraum von \(\mathbb{R}^n\), das heißt, er enthält den Nullvektor und ist abgeschlossen gegenüber Addition und skalarer Multiplikation.

So berechnen Sie den Nullraum

Schritt 1. Legen Sie die Anzahl der Zeilen (m) und Spalten (n) für Ihre Matrix mit den +/− Steuerelementen fest oder klicken Sie auf ein Schnellbeispiel, um eine vordefinierte Matrix zu laden.

Schritt 2. Geben Sie Ihre Matrixwerte in das Gitter ein. Sie können ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche wie 1/3 oder -5/2 eingeben. Nutzen Sie Tab, Enter oder die Pfeiltasten zur Navigation.

Schritt 3. Klicken Sie auf Nullraum berechnen. Der Rechner führt die Gauß-Elimination durch, um Ihre Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform (RREF) zu bringen.

Schritt 4. Identifizieren Sie Pivot-Spalten und freie Spalten. Jede freie Spalte entspricht einer freien Variable, die jeden beliebigen Wert annehmen kann.

Schritt 5. Setzen Sie für jede freie Variable nacheinander eine Variable auf 1 und alle anderen freien Variablen auf 0 und lösen Sie nach den Pivot-Variablen auf. Die resultierenden Vektoren bilden eine Basis für den Nullraum.

Nullraum vs. Spaltenraum

Der Rangsatz (Dimensionssatz)

Für jede \(m \times n\) Matrix \(A\) gilt:

$$\text{Rang}(A) + \text{Defekt}(A) = n$$

Der Rang ist die Anzahl der Pivot-Spalten in der RREF, und der Defekt (Nullity) ist die Anzahl der freien Spalten. Zusammen machen sie jede Spalte der Matrix aus. Dieser Satz ist auch als Dimensionssatz für lineare Abbildungen bekannt.

Spezialfälle

Anwendungen des Nullraums

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Nullraum einer Matrix?

Der Nullraum (oder Kern) einer Matrix A ist die Menge aller Vektoren x, für die Ax = 0 gilt. Er ist ein Unterraum von R^n, wobei n die Anzahl der Spalten ist. Der Nullraum enthält immer den Nullvektor und kann unendlich viele Nicht-Null-Vektoren enthalten, wenn die Matrix freie Variablen besitzt.

Wie findet man den Nullraum?

Bringen Sie die Matrix A durch Gauß-Elimination in die reduzierte Zeilenstufenform (RREF). Identifizieren Sie Pivot-Spalten und freie Spalten. Setzen Sie für jede freie Variable nacheinander eine Variable auf 1 und alle anderen freien Variablen auf 0, und lösen Sie dann nach den Pivot-Variablen auf. Die resultierenden Vektoren bilden eine Basis für den Nullraum.

Was besagt der Rangsatz?

Der Rangsatz besagt, dass für eine m x n Matrix A gilt: Rang(A) + Defekt(A) = n, wobei n die Anzahl der Spalten ist. Der Rang entspricht der Anzahl der Pivot-Spalten und der Defekt der Dimension des Nullraums (Anzahl der freien Variablen).

Was bedeutet es, wenn der Nullraum trivial ist?

Ein trivialer Nullraum bedeutet, dass die einzige Lösung für Ax = 0 der Nullvektor x = 0 ist. Dies tritt ein, wenn jede Spalte eine Pivot-Spalte ist (voller Spaltenrang). Es bedeutet, dass die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.

Können nicht-quadratische Matrizen einen Nullraum haben?

Ja. Jede Matrix besitzt einen Nullraum. Bei einer m x n Matrix mit m < n ist der Nullraum garantiert nicht-trivial (Dimension mindestens n - m), da es mehr Unbekannte als Gleichungen gibt und somit zwangsläufig freie Variablen existieren.