行空間計算機

行空間計算機

行空間計算機可透過執行列化簡至列簡化階梯形矩陣 (RREF)，來尋找任何矩陣的行空間（也稱為值域或像）。它會識別樞軸列，從原始矩陣中提取相應的基底向量，並計算秩（Rank）和零度（Nullity）。逐步播放器顯示了每一項列運算 — 交換、縮放和消去 — 以便您跟隨整個過程。對於 2D 和 3D 矩陣，互動式視覺化會將行空間顯示為直線、平面或完整空間。

什麼是行空間？

矩陣 A 的 行空間（記作 Col(A) 或 Range(A)）是 A 的列向量之所有線性組合的集合。換句話說，它是列向量的生成空間 (Span)：

$$\text{Col}(A) = \{ A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \} = \text{span}(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n)$$

行空間是 \(\mathbb{R}^m\) 的子空間，其中 m 是行數。其維度等於矩陣的秩。

如何找到行空間

1. 寫出矩陣 A — 將您的向量排列為列。
2. 列化簡至 RREF — 應用高斯消去法（列交換、縮放和消去），直到矩陣呈現列簡化階梯形矩陣。
3. 識別樞軸列 — 在 RREF 中包含主導 1（樞軸）的列。
4. 從原始矩陣中提取基底 — 原始矩陣 A 在樞軸位置上的列即構成行空間的基底。

核心概念

行空間 vs. 列空間 (Row Space) vs. 零空間 (Null Space)

如何使用行空間計算機

1. 設定維度 — 選擇矩陣的行數和列數（最多為 6×6）。
2. 輸入數值 — 在每個儲存格中輸入數字。使用快速範例來載入具有不同秩的預設矩陣。
3. 計算 — 點擊「計算行空間」以查看完整分析。
4. 探索結果 — 使用步驟播放器觀察每一項列運算。查看醒目提示的樞軸列、基底向量以及秩-零度分解。對於小型矩陣，請查看幾何視覺化。

常見問題

什麼是矩陣的行空間？

矩陣 A 的行空間是其所有列向量之線性組合的集合。它也被稱為矩陣的值域或像。在幾何上，它代表了透過應用矩陣變換可以到達的所有向量。

如何找到矩陣的行空間？

將矩陣化簡為列簡化階梯形矩陣 (RREF)。識別 RREF 中的樞軸列。原始矩陣中對應位置的列即構成行空間的基底。

秩與行空間之間的關係是什麼？

矩陣的秩等於其行空間的維度。它是線性獨立列的數量，等於 RREF 中樞軸列的數量。

什麼是秩-零度定理？

秩-零度定理指出，對於一個 m×n 矩陣 A，rank(A) + nullity(A) = n，其中 n 是列數。秩是行空間的維度，而零度是零空間的維度。

行空間可以是空的嗎？

行空間始終至少包含零向量。如果矩陣是零矩陣，則行空間僅為零向量集合。對於任何非零矩陣，行空間是一個非平凡子空間。