散度計算機

散度計算機

散度計算機可以計算任何 2D 或 3D 向量場的散度 ∇·F，並提供完整的偏導數逐步計算過程。輸入您的向量場分量 P、Q（以及 3D 的 R），可選擇在特定點進行評估，即可獲得符號散度、源/匯分類；對於 2D 向量場，還能獲得帶有散度熱圖和粒子流動畫的互動式視覺化呈現。

什麼是散度？

向量場 \(\mathbf{F}\) 的散度是一個純量值算子，用於測量該向量場從某一點「擴散」出去的速率。對於一個 3D 向量場 \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\)：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

對於一個 2D 向量場 \(\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\)，其散度為 \(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)。散度是向量微積分、流體動力學、電磁學和微分方程式中的基本概念。

散度的物理意義

散度公式與座標系

涉及散度的重要恆等式

散度的應用

如何使用散度計算機

1. 選擇維度： 使用切換按鈕選擇 2D 向量場 F = ⟨P, Q⟩ 或 3D 向量場 F = ⟨P, Q, R⟩。
2. 輸入分量函數： 使用標準符號輸入每個分量函數（P、Q，以及可選的 R）。使用 ^ 表示指數，* 表示乘法，並可使用 sin(x)、cos(y)、exp(x)、ln(x)、sqrt(x) 等函數。支援隱式乘法（例如 2x = 2*x）。
3. 輸入評估點（可選）： 提供以逗號分隔的座標以進行散度的數值評估，並將該點分類為源、匯或不可壓縮。
4. 點擊「計算散度」： 查看符號散度公式、逐步偏導數計算過程、數值評估以及源/匯分類。
5. 探索視覺化： 對於 2D 向量場，可以查看帶有顏色編碼散度熱圖（紅色 = 源，藍色 = 匯）的向量場箭頭，以及顯示場行為的粒子流動畫。

計算範例

求向量場 \(\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle\) 在點 \((1, 1)\) 處的散度：

步驟 1： 確定分量：\(P = x\)，\(Q = y\)。

步驟 2： 計算偏導數：\(\frac{\partial P}{\partial x} = 1\)，\(\frac{\partial Q}{\partial y} = 1\)。

步驟 3： 將它們相加：\(\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2\)。

結果解釋： 由於 \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0\)，因此每個點都是一個源。該向量場均勻地向外擴散 — 想像流體在平面上的每個地方都被抽出來。

常見問題