선적분 계산기
매개변수 곡선을 따라 스칼라장·벡터장의 선적분을 계산합니다. 장 식, 곡선 식, 구간을 넣으면 호의 길이와 단계별 풀이를 봅니다.
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선적분 계산기 정보
선적분 계산기는 2D 및 3D 공간의 매개변수 곡선을 따라 스칼라 선적분 \(\int_C f\,ds\)와 벡터 선적분 \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)을 모두 평가합니다. 필드, 매개변수 방정식 및 매개변수 범위를 입력하여 기호 결과, 호의 길이 계산 및 애니메이션 곡선 시각화가 포함된 전체 단계별 풀이를 확인하세요.
선적분 공식
| 유형 | 공식 | 설명 |
|---|---|---|
| 스칼라 ∫f ds | \(\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt\) | 속도에 가중치를 두어 곡선을 따라 스칼라 함수 적분 |
| 벡터 ∫F·dr | \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\) | 일 또는 순환을 측정하는 내적 적분 |
| 호의 길이 | \(L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\) | 매개변수 곡선의 총 길이 |
| 보존적 필드 | \(\int_C \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{r}(b)) - \phi(\mathbf{r}(a))\) | 선적분의 기본 정리 |
선적분 계산기 사용 방법
- 적분 유형 선택. 스칼라 선적분의 경우 "∫f ds"를, 벡터(일/순환) 선적분의 경우 "∫F·dr"을 선택합니다.
- 차원 선택. 곡선과 필드에 따라 2D 또는 3D를 선택합니다.
- 필드 입력. 스칼라 적분의 경우 함수 f(x, y) 또는 f(x, y, z)를 입력합니다. 벡터 적분의 경우 각 성분 P, Q, R을 입력합니다.
- 매개변수 곡선 정의. x(t), y(t) 및 선택적으로 z(t)를 입력합니다.
cos(t),t^2,sin(t)등 표준 수학 표기법을 사용하세요. - 범위 설정. t의 시작값과 끝값을 입력합니다.
pi또는2*pi와 같은 표현식을 사용할 수 있습니다. - 계산하기 클릭하여 단계별 풀이, 수치 결과, 호의 길이 및 곡선 애니메이션을 확인합니다.
일반적인 매개변수 곡선
| 곡선 | 매개변수화 | 범위 |
|---|---|---|
| 원 (반지름 R) | x = R cos(t), y = R sin(t) | t ∈ [0, 2π] |
| 선분 A→B | r(t) = (1−t)A + tB | t ∈ [0, 1] |
| 포물선 y = x² | x = t, y = t² | t ∈ [a, b] |
| 나선 | x = cos(t), y = sin(t), z = t | t ∈ [0, 2π] |
| 타원 | x = a cos(t), y = b sin(t) | t ∈ [0, 2π] |
결과 이해하기
계산기는 결과에서 다음과 같은 정보를 제공합니다:
- 적분값: 가능한 경우 정확한 기호 결과와 그 수치 근사값입니다.
- 호의 길이: \(\int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\)로 계산된 곡선의 총 길이입니다.
- 속도 |r'(t)|: 호의 길이 요소로 작용하는 속도 벡터의 크기입니다.
- 보존적 필드 확인: 벡터 적분의 경우, 계산기는 ∇×F = 0(필드가 보존적임)인지 확인합니다. 보존적 필드는 경로에 무관한 적분을 갖습니다.
- 곡선 시각화: 이동하는 점이 경로를 따라가며 횡단 방향을 보여주는 매개변수 곡선의 애니메이션 플롯입니다.
자주 묻는 질문
선적분이란 무엇인가요?
선적분은 곡선을 따라 함수의 적분을 계산합니다. 스칼라 필드의 경우 호의 길이(∫f ds)로 가중치가 부여된 f의 값을 합산합니다. 벡터 필드의 경우 접선 방향(∫F·dr)을 따른 F의 성분을 합산하며, 흔히 힘의 장에 의해 수행된 일로 해석됩니다.
스칼라 선적분과 벡터 선적분의 차이점은 무엇인가요?
스칼라 선적분 ∫C f ds는 호의 길이 요소 ds로 가중치가 부여된 곡선을 따라 스칼라 함수 f를 적분하여 경로를 따른 f의 총 누적값을 제공합니다. 벡터 선적분 ∫C F·dr은 접선 벡터 dr과의 내적을 취하여 곡선을 따라 벡터 필드 F를 적분하며, F가 곡선 방향을 따라 얼마나 밀어주는지를 측정합니다. 스칼라 적분은 질량 및 평균값 문제에 사용되며, 벡터 적분은 일과 순환을 계산하는 데 사용됩니다.
선적분을 위해 곡선을 어떻게 매개변수화하나요?
매개변수 곡선 r(t)는 각 좌표를 단일 매개변수 t의 함수로 표현합니다. 예를 들어, 반지름이 R인 원은 t가 0에서 2π까지일 때 x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t)로 매개변수화됩니다. 그런 다음 선적분 공식은 곡선 적분을 t에 대한 표준 정적분으로 변환합니다.
벡터 선적분이 경로에 무관할 때는 언제인가요?
벡터 선적분은 벡터 필드 F가 보존적일 때 경로에 무관합니다. 즉, 단순히 연결된 영역의 모든 곳에서 컬(curl)이 0임을 의미합니다. 이 경우 F는 포텐셜 함수 φ의 그래디언트와 같으며, 적분은 취해진 특정 경로가 아니라 끝점에서의 φ 값에만 의존합니다. 계산기는 이 조건을 자동으로 확인합니다.
선적분의 물리적 의미는 무엇인가요?
물리적으로 스칼라 선적분은 밀도가 변하는 와이어의 질량 또는 경로를 따른 총 열량을 나타낼 수 있습니다. 벡터 선적분은 일반적으로 곡선을 따라 이동하는 입자에 대해 힘의 장이 수행한 일 또는 루프 주변의 유체 속도 필드의 순환을 나타냅니다. 전자기학에서 선적분은 앙페르 법칙과 패러데이 법칙에 나타납니다.
계산기는 어떤 수학 표기법을 허용하나요?
표준 수학 표기법을 사용하세요: 지수에는 ^ (x^2), 곱셈에는 * (2*x, 다만 2x와 같은 암시적 곱셈도 작동함), 그리고 sin, cos, tan, exp, log, sqrt와 같은 표준 함수 이름을 사용합니다. 매개변수 범위에는 pi, 2*pi 또는 수치 값을 입력할 수 있습니다.
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